计算方法-95线性多步法

1、2021-9-2519.5 线性多步法线性多步法 单步法计算时只用到前一步的结果，因此只要给定初值，计算就可以进行下去。但是Euler等单步法的精度都较低，龙格-库塔方法虽然可以得到较高的精度，但这类算法为了提高精度，需要增加一些非节点非节点处的函数值的计算，在每一步都需要先预报这些非节点上的斜率值，计算量比较大。考虑到计算yi+1之前已得出一系列节点上的斜率值，能否利用这些已知值来减少计算量呢？这就是线性多步法的线性多步法的设计思想设计思想，可以在计算量增加不多的情况下获得较高的精度。用已知的若干节点处的 y 及 y 值的线性组合线性组合来近似y(xn+1)。线性多步法通式可写为：2021-

2、9-252rnrrnrnnnyayayayay111101.).(11011rnrnnnffffhrkknkrkknkfhya10).,.,1 , 0 , 1)(,(,rkyxffknknkn其中当 1 0 时，为隐式公式隐式公式； 1=0 则为显式公式显式公式。 基于数值积分的构造法基于数值积分的构造法将 在 上积分，得到),(yxfy ,1nrnxx1)(,()()(1nrnxxrnndxxyxfxyxy只要近似地算出右边的积分近似地算出右边的积分 ，则可通过 近似y(xn+1) 。而选用不同近选用不同近似式似式 Ir，可得到不同的计算公式，可得到不同的计算公式。1)(,(nrnxxrdx

3、xyxfIrrnnIyy12021-9-253 构造线性多步法的主要方法：数值积分法和泰勒展开法。2021-9-254 对积分式分别采用矩形公式和梯形公式可得到欧拉公式欧拉公式和改进欧拉公式改进欧拉公式，截断误差分别为O(h2)和O(h3)。为此，我们自然可以想到，若用更高次的插值多项式来代替f(x,y)，则所得公式的精度会更高。这就是基于数值积分方法构造线性多步法的起源思想。公式。这就是著名的故有只能是近似值由于每一步得到的略去误差项有形公式对右端定积分采用左矩Euler,.)2 , 1 , 0(),(,)()(,()()(,) 1 (111nyxhfyyxyxyxhfxyxynnnnnnn

4、nn2021-9-255有望提高精度。则值多项式代替被积函数）如果对右端用高次插（。这就是熟知的梯形公式（略去误差项有公式对右端定积分采用梯形,3,.)2 , 1 , 0(),(),(2,)2(111nyxfyxfhyynnnnnn1)()!1()(1) 2(nrnxxqqdxxqy1)( nrnxxdxxy若积分用节点qnnnxxx,1作为积分点，则有1110)( )( )( )( 1nqnqnnxxhRxyaxyaxyahdxxynrn)(,()( nnnxyxfxy101)(,()()(nqjjnjnjrnnhRxyxfahxyxy积分系数1)(nrnxxjjdxxlha这是显式格式，q

5、+1阶r+1步格式。局部截断误差2021-9-256例：建立r=1，q=2的显式格式r=1，积分区间为q=2，显式格式，积分节点为11)( nnxxdxxy21,nnnxxxhdxxxxxxxxxhannxxnnnnnn37)()(1121210所以2021-9-257同样，若以 为积分节点，可以构造r+1步q+1阶隐格式11,qnnnxxxhdxxxxxxxxxhannxxnnnnnn32)()(1121121hdxxxxxxxxxhannxxnnnnnn31)()(11122122021-9-25811)()()!3()(21)4(1nnxxnnnndxxxxxxxyR)(31)4(4yh

6、)(31)(32)(37)()(2111nnnnnxyhxyhxyhxyxy例：建立r=2，q=2的隐格式r=2，积分区间为q=2，隐式格式，积分节点为12)( nnxxdxxy11,nnnxxxhdxxxxxxxxxhannxxnnnnnn43)()(1211110所以0)()(1211111nnxxnnnnnndxxxxxxxxxha2021-9-25911)()()!3()(11)4(1nnxxnnnndxxxxxxxyRhdxxxxxxxxxhannxxnnnnnn49)()(1211112它的截断误差较显式格式小，通常也具有更好的稳定性。2021-9-2510)(83)4(4yh)(

7、49)(43)()(1121nnnnxyhxyhxyxy Adams方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式进行积分得出来的，这样构造线性多步法的方法称为数值求积法数值求积法，它是构造线性多步法的一种途径，另外还有Taylor法。(1)(1)显式显式Adams方法方法2021-9-2511r=0，积分区间为1)( nnxxdxxyq=1，显式格式，积分节点为1,nnxx从简单情况入手 Adams公式公式 r=0 时候的多步法时候的多步法2021-9-2512hdxxxxxhannxxnnn23)()(1110所以hdxxxxxhannxxnnn21)()(111)(21)(23)()(1

8、1nnnnxyhxyhxyxy1)(! 2)(1)3(1nnxxnnndxxxxxyR)(125)3(3yh二阶显式二阶显式Adams方法方法2021-9-2513类似方法可通过增加节点得到更高精度的三阶显式Adams公式r=0，积分区间为1)( nnxxdxxyq=2，显式格式，积分节点为21,nnnxxxhdxxxxxxxxxhannxxnnnnnn1223)()(121210所以hdxxxxxxxxxhannxxnnnnnn34)()(1211212021-9-2514hdxxxxxxxxxhannxxnnnnnn125)()(112212)(125)(34)(1223)()(211nn

9、nnnxyhxyhxyhxyxy1)()(! 3)(21)4(1nnxxnnnndxxxxxxxyR)(83)4(4yh三阶显式三阶显式Adams方法方法2021-9-2515同理再增加节点得到四阶显式Adams公式r=0，积分区间为1)( nnxxdxxyq=3，显式格式，积分节点为321,nnnnxxxxhdxxxxxxxxxxxxxhannxxnnnnnnnnn2455)()()()(13213210所以hdxxxxxxxxxxxxxhannxxnnnnnnnnn2459)()()()(1312113212021-9-2516hdxxxxxxxxxxxxxhannxxnnnnnnnnn2

10、437)()()()(132122312hdxxxxxxxxxxxxxhannxxnnnnnnnnn249)()()()(123133213)(2459)(2455)()(11nnnnxyhxyhxyxy)(249)(243732nnxyhxyh四阶显式四阶显式Adams方法方法2021-9-2517其对应的局部截断误差为1)()()(! 4)(321)5(1nnxxnnnnndxxxxxxxxxyR)(720251)5(5yh注：注：一般有一般有 ，其中，其中Bq与与yn+1 计算公式计算公式中中 fn , , fn q 各项的各项的系数系数均可查表得到均可查表得到 。 )() 2(21ik

11、kknyhBR10123q2123122324552112162459125243724912583720251fnfn 1fn 2fn 3Bq常用的是常用的是 q = 3 的的4阶阿当姆斯显式公式阶阿当姆斯显式公式)9375955(243211nnnnnnffffhyy(2)(2)隐式隐式Adams方法方法2021-9-2519隐式格式表明构造定积分 的近似公式中包含了节点xn+1。1)( nnxxdxxy类似显式公式的推导过程，可得到不同精度的隐式Adams公式r=0，积分区间为1)( nnxxdxxyq=1，显式格式，积分节点为1,nnxx二阶隐式二阶隐式Adams方法方法)(21)(2

12、1)()(11nnnnxyhxyhxyxy)(121)3(31yhRn2021-9-2520r=0，积分区间为1)( nnxxdxxyq=2，显式格式，积分节点为11,nnnxxx三阶隐式三阶隐式Adams方法方法)(121)(32)(125)()(111nnnnnxyhxyhxyhxyxy)(241)4(41yhRnr=0，积分区间为1)( nnxxdxxyq=2，显式格式，积分节点为211,nnnnxxxx四阶隐式四阶隐式Adams方法方法)(241)(245)(2419)(249)()(2111nnnnnnxyhxyhxyhxyhxyxy)(72019)5(51yhRn利用利用q+1 个

13、节点上的被积函数值个节点上的被积函数值 fn+1 , fn , , fn q+1 构造构造 q 阶阶牛顿牛顿前插前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列隐式公式隐式公式，并有，并有 ，其中，其中 与与 fn+1 , fn , , fn q+1 的系数亦可查表得到。的系数亦可查表得到。)()2(21iqqqnyhBRqB10123q21 21125249211282419121 245 241121 241 72019 fn+1fnfn 1fn 2Bq常用的是常用的是 q = 3 的的4阶阿当姆斯隐式公式阶阿当姆斯隐式公式)5199(242111n

14、nnnnnffffhyy较同阶显较同阶显式式稳定稳定2021-9-2522 基于基于Taylor展开的构造法（待定系数法）展开的构造法（待定系数法）rnrrnrnnnyayayayay111101.).(11011rnrnnnffffh 将上式中的右端各项 yn 1, , yn r ; fn+1, fn 1, , fn r 分别在 xn点作泰勒展开泰勒展开，与精确解 y(xn+1) 在 xn 点的泰勒展开作比较比较。通过令同类项系数相等同类项系数相等，得到足以确定待定系数a0, , ar ; 1, 0, , r 的等式，则可构造出各阶线性多步法的公式。2021-9-2523例例：推导最高阶的二

15、步线性多步法二步显式多步法为二步显式多步法为)(1101101nnnnnffhyayay左端展开后相同项系数相等，得到101aa 1011 a112121a11216161a2021-9-2524解得, 2, 4, 5, 41010aa因此得阶数最高的二步显式线性多步法为)24(54111nnnnnffhyyy其局部截断误差为)(61)4(41yhRn是三阶三阶方法,34,31, 1, 001110aa对应的二步隐式线性多步法为)4(3111nnnnnfffhyy二步隐式多步法为)(110111101nnnnnnfffhyayay五个可选参数101aa 10111a1112121a111212

16、16161a1116161241241a)(901)5(51yhRn是四阶四阶方法2021-9-25252021-9-2526由泰勒展开推导由泰勒展开推导Adams公式公式)(3221101nnnnffffh33221101nnnnnyayayayay 确定式中待定系数 ，使公式具有四阶精度。2101210,aaa由泰勒展开得由泰勒展开得21012121aa2101aaa2021-9-2527210213222121aa2102129221346161aa2102129346142241241aa, 0321aaa这里有7个未知量，5个方程，若令求解该方程即得四步四阶显式Adams公式：)93

17、75955(243211nnnnnnffffhyy2021-9-2528Adams预估校正公式预估校正公式 由于隐式Adams公式需要用迭代法进行求解，比较麻烦，仿照欧拉预估校正公式，常把阿当姆斯显式及隐式联立使用，即构造所谓阿当姆斯预估校正公式。以四阶阿当姆斯为例，将显式和隐式相结合，用显式公式做预报，再用隐式公式做校正，可构成阿当姆斯预报-校正格式 。2021-9-2529)9375955(24321)0(1nnnnnnyyyyhyy)5199 (2421)0(11nnninnyyyyhyy预报：预报：校正：校正： , 5 , 4 , 3n 这种预报-校正格式是四步法，它在计算yn+1时不

18、但用到前一步的信息yn, ,yn ，而且要用到再前面三步的信息yn-1, ,yn-2 , ,yn-3，因此它不能自行启动。在实际计算时，可借助于某种单步法，譬如四阶龙格库塔法提供开始值y1, , y2, , y3。与同阶的龙格库塔方法相比较，阿达姆斯方法计算量小，公式简单，程序易于实现。 2021-9-2531)()(4514)22(34Milne2)()(901)49(3算式simpson16)5(5121316)5(511111hOyhRfffhyyhOyhRfffhyynnnnnnnnnnnn算式）（）（其他一些常见的算式：2021-9-25322),(83)9(81)22(34)4()()(401)2(83)9(81Hamming31)(112)(1213)(16)5(511121nnpnnnnCnnnnnPnnnnnnnnffyxfhyyyfffhyyhOyhRfffhyyy校正预估校正系统预估算式）（解常微分方程初值问题小结 本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法。包括单步法和多步法。单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格库塔方法。多步法是阿当姆斯法。它们都是基于把一个连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。 实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差