简单线性规划专题

1、例例1 作不等式组作不等式组 表示的平面区域表示的平面区域02022yxyxy0 1 2 3 x 2 112解：解：022 yx不等式不等式 表示表示的区域是直线的区域是直线 左下半平面区域并且包括直左下半平面区域并且包括直线线 ；022 yx022 yx022 yx不等式不等式 表示表示的区域是直线的区域是直线 右下半平面区域并且包括直右下半平面区域并且包括直线线 ；02 yx02 yx02 yx所以黑色阴影部分即所以黑色阴影部分即为所求。为所求。02 yx例例2 2 画出不等式组画出不等式组 表示的平面区域。表示的平面区域。xyox-4y=-33x+5y=25x=1问题：问题：2 2+ +

2、有无最大有无最大( (小小) )值？值？cab3x+5y25x- -4y- -3x1 设z z2 2+ +, ,式中变量、满足下列条件 ， 求的最大值和最小值。xyox-4y=-3x=1c3x+5y253x+5y25x-4y-3x-4y-3x1x1b3x+5y=25问题问题 1: 将z z2 2+ +变形?问题问题 2: z几何意义是_。斜率为斜率为-2的直线在的直线在y轴上的截距轴上的截距 则直线 l：2 2+ +=z=z是一簇与 l0平行的直线,故直线 l 可通过平移直线l0而得，当直线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点b(1,1)时,z最小,即zmin=3 当l 过点a(5,2)时

3、,z最大,即 zmax25+212 。 析析: 作直线l0 ：2 2+ +=0 ,=0 , -2-2+ z+ z设z z2 2+ +, ,式中变量、满足下列条件，求的最大值和最小值。xyox=1cb3x+ +5y25x- -4y- -3x1x-4y=-3x-4y=-33x+5y=253x+5y=25最优解最优解：使使目标函数达到目标函数达到最大值最大值或或 最小值最小值 的可的可 行行 解。解。 线性约束条件：线性约束条件：约束条件中均为关于约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。的一次不等式或方程。有关概念有关概念约束条件约束条件：由、的不等式（方程）构成的不等式组。由、的不等式（方程）

4、构成的不等式组。目标函数：目标函数：欲求最值的关于欲求最值的关于x、y的一次解析式的一次解析式。线性目标函数：线性目标函数：欲求最值的解析式是关于欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。的一次解析式。线性规划：线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。可行解：可行解：满足线性约束条件的解（满足线性约束条件的解（x，y）。）。 可行域：可行域：所有可行解组成的集合。所有可行解组成的集合。xyox-4y=-3x=1cb3x+5y=25 设z2+,式中变量、 满足下列条件 ， 求的最大值和最小值。3x+5y25x-4y-3x1若题设更换

5、若题设更换 z2xy, 其中其中x、y满足下列条件满足下列条件 求的最大值和最小值。求的最大值和最小值。b cxyox4y=33x+5y=25x=13x+5y25x 4y3x1解：作出可行域如图解：作出可行域如图：当当0时，设直线时，设直线 l l0 0：2xy0 当当l l0 0经过可行域上点经过可行域上点a时，时，z 最小，即最小，即最大。最大。 当当l l0 0经过可行域上点经过可行域上点c时，时，最大，即最大，即最小。最小。由由 得得a点坐标点坐标_； x4y3 3x5y25由由 得得c点坐标点坐标_； x=1 3x5y25zmax2528 zmin214.4 2.4(5,2)(5,2

6、)(1,4.4)(1,4.4)平移平移l l0 0，平移平移l l0 0 ，(5,2)2xy0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： 2 2、 在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中，用平移的方法找出与可行域有公中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线；共点且纵截距最大或最小的直线； 3 3、 通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解； 4 4、 作出答案。作出答案。 1 1、 画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；画画移移求求答答 副例：已知副例：已知x、y满足满足

7、 ，设，设zaxy (a0)， 若若 取得最大值时，对应点有无数个，求取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。的值。3x+5y=253x+5y25 x 4y3x1xyox-4y=-3x=1cb b解：解：当直线当直线 l l ：y ax z 与与直线重合时，有无数个点，使直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有：函数值取得最大值，此时有： k l l kac 535124 . 4 kack l l = -a53 -a = a =53例例3：满足线性约束条件：满足线性约束条件 的可行域中共有的可行域中共有 多少个整数解。多少个整数解。x+4y113x +y10 x0y01223314

8、455xy03x +y=10 x +4y=11解：解：由题意得可行域如图由题意得可行域如图: 由图知满足约束条件的由图知满足约束条件的可行域中的整点为可行域中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2) 故有四个整点可行解故有四个整点可行解.5315,1,53.xyyxxy 351abxyo5315xy1yx53xy(1.5,2.5)(-2,-1)z max=17z min=-11求求z=3x+5y的最大值和最小值的最大值和最小值,使使x、y满足约束条件满足约束条件c3x+5y=0练习练习351abxyo5315xy1yx53xy(1.5,2.5)(-2,-1)c3x+5y=0变式变式1.若求若求z=x-2y的最大值和最小值呢？的最大值和最小值呢？1222zz xyyx -z/2最小时，最小时，z最大最大 -z/2最大时，最大时，z最小最小故过点故过点c时，时，z最大，最大， 过点过点b时，时，z最小最小.zmax=3zmin=-