数学练习题新课标地区高考数学试题汇编数列部分

1、2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列1.(2009 年广东卷文)已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a= A. 21 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B【解析】设公比为q,由已知得22841112a qa qa q,即22q ,又因为等比数列na的公比为正数，所以2q ,故211222aaq,选 B2.（2009 广东卷 理）已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252 (3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaaA. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n【解析】由2525

2、2 (3)nnaan得nna222，0na，则nna2， 3212loglogaa 2122) 12(31lognnan ，选 C.3.（2009 安徽卷文）已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 【解析】135105aaa 即33105a 335a 同理可得433a 公差432daa 204(204)1aad .选 B。【答案】B4.（2009 福建卷理）等差数列na的前 n 项和为nS，且3S =6，1a=4， 则公差 d 等于A1 B 53 C.- 2 D 3【答案】：C解析31336()2Saa且3112 =4 d=2aad a.故选 C5.（2009 辽宁卷文）已知 na为等差数

3、列，且7a24a1, 3a0,则公差 d（A）2 （B）12 （C）12 （D）2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d12【答案】B6.（2009 辽宁卷理）设等比数列 na的前 n 项和为nS ，若 63SS=3 ，则 69SS =（A） 2 （B） 73 （C） 83 （D）3【解析】设公比为 q ,则36333(1)Sq SSS1q33 q32 于是63693112471123SqqSq【答案】B7.（2009 宁夏海南卷理）等比数列 na的前 n 项和为ns，且 41a，22a，3a成等差数列。若1a=1，则4s=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：41a，22

4、a，3a成等差数列，22132111444,44,440,215aaaaa qa qqqq即，S,选 C.8.（2009 宁夏海南卷文）等差数列 na的前 n 项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9【答案】C【解析】因为 na是等差数列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa，得：2ma2ma0，所以，ma2，又2138mS，即2)(12(121maam38，即（2m1）238，解得 m10，故选.C。9.（2009 安徽卷理）已知 na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示 na的前n项和

5、，则使得nS达到最大值的n是（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18解析：由1a+3a+5a=105 得33105,a 即335a ，由246aaa=99 得4399a 即433a ，2d ，4(4) ( 2)41 2naann ，由100nnaa得20n ，选 B10.（2009 浙江理）设等比数列na的公比12q ，前n项和为nS，则44Sa 答案：15【解析】对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq11.（2009 浙江文）设等比数列na的公比12q ，前n项和为nS，则44Sa 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数

6、列知识点的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系【解析】对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq12.（2009 浙江文）设等差数列na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612TT成等比数列答案： 81248,TTTT【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 nb的前n项积为nT，则4T，81248,TTTT，1612TT成

7、等比数列13.（2009 江苏卷）设 na是公比为q的等比数列，| 1q ，令1(1,2,)nnban，若数列 nb有连续四项在集合53, 23,19,37,82中，则6q= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 na有连续四项在集合54, 24,18,36,81，四项24,36, 54,81成等比数列，公比为32q ，6q= -914.(2009 山东卷文)在等差数列na中,6, 7253aaa,则_6a.【解析】:设等差数列na的公差为d,则由已知得6472111dadada解得132ad,所以61513aad.答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公

8、式以及基本计算.15.（2009 辽宁卷理）等差数列 na的前n项和为nS，且53655,SS则4a 【解析】Snna112n(n1)d S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】3116.（2009 宁夏海南卷理）等差数列na前 n 项和为nS。已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,则 m=_解析：由1ma+1ma-2ma=0 得到1212212120,0,22138102mmmmmmmaaaaaSmam又。答案 1017.（2009 宁夏海南卷文）等比数列na的公比0q , 已知2a=1，216nn

9、naaa，则na的前 4 项和4S= 【答案】152【解析】由216nnnaaa得：116nnnqqq，即062 qq，0q ，解得：q2，又2a=1，所以，112a ，21)21 (2144S152。18.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分）已知点（1，31）是函数, 0()(aaxfx且1a）的图象上一点，等比数列na的前n项和为cnf)(,数列nb)0(nb的首项为c，且前n项和nS满足nS1nS=nS+1nS（2n ）.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若数列11nnbb前n项和为nT，问nT20091000的最小正整数n是多少?【解析】 （1） 113faQ, 13

10、xf x 1113afcc , 221afcfc29 , 323227afcfc .又数列 na成等比数列，22134218123327aaca ，所以 1c ；又公比2113aqa，所以12 1123 33nnna *nN ；1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ 2n 又0nb ,0nS , 11nnSS；数列 nS构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，111nSnn ， 2nSn当2n ， 221121nnnbSSnnn ；21nbn(*nN)；（2）1 22 33 411111nnnTbbb bb bb bL11111 33 55 7(21)21nnK 111 111 111

11、111232 352 572 2121nnK 11122121nnn； 由1000212009nnTn得10009n ，满足10002009nT 的最小正整数为 112.19.（2009 浙江文） （本题满分 14 分）设nS为数列na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数 （I） 求1a及na； （II）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值解析：（）当1, 111kSan， 12)1() 1(, 2221kknnnknknSSannnn（） 经验，, 1n（）式成立， 12kknan （）mmmaaa42,成等比数列，mmmaaa422.，即) 18)(12(

12、) 14(2kkmkkmkkm，整理得：0) 1(kmk，对任意的 Nm成立， 10kk或20.（2009 江苏卷） （本小题满分 14 分） 设 na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS。（1）求数列 na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmma aa为数列 na中的项。【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分 14 分。（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433 ()()d aad aa，因为0d ，所以430aa，即1250ad，又由77S 得176772

13、ad，解得15a ，2d ,(2) （方法一）12mmma aa=(27)(25)23mmm,设23mt，则12mmma aa=(4)(2)86ttttt , 所以t为 8 的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86mmmmmmmma aaaaaaa为数列 na中的项，故m+28 a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm 即经检验，符合题意的正整数只有2m 。21.（2009 江苏卷） （本题满分 10 分）对于正整数n2，用nT表示关于x的一元二次方程220 xaxb有实数根的有序数组( , )a b的组数，其中,1,2,a bn（a和b可以相等） ；对于随

14、机选取的,1,2,a bn（a和b可以相等） ，记nP为关于x的一元二次方程220 xaxb有实数根的概率。（1）求2nT和2nP；（2）求证：对任意正整数n2，有11nPn .【解析】 必做题必做题本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。22.(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分）等比数列na的前 n 项和为nS， 已知对任意的nN ，点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 22(log1)()nnbanN 证明：对任意的nN ，不等式12121111nnbbb

15、nbbb成立解:因为对任意的nN,点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb rnnSbr,当1n 时,11aSbr,当2n 时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb ,又因为na为等比数列,所以1r ,公比为b,1(1)nnabb（2）当 b=2 时，11(1)2nnnabb, 1222(log1)2(log 21)2nnnban则1212nnbnbn,所以12121113 5 7212 4 62nnbbbnbbbn下面用数学归纳法证明不等式12121113 5 72112 4 62nnbbbnnbbbn成立. 当1n 时,左边=32,右边=2,因为32

16、2,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即12121113 5 72112 4 62kkbbbkkbbbk1nk时,左边=11212111113 5 721 232 4 6222kkkkbbbbkkbbbbkk2223(23)4(1)4(1) 111(1) 1(1) 1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk 所以当1nk时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.23.(2009 山东卷文)（本小题满分 12 分）等比数列na的前 n

17、项和为nS， 已知对任意的nN ，点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 1()4nnnbnNa 求数列 nb的前n项和nT解:因为对任意的nN,点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb rnnSbr,当1n 时,11aSbr,当2n 时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb ,又因为na为等比数列, 所以1r , 公比为b, 所以1(1)nnabb（2）当 b=2 时，11(1)2nnnabb, 1111144 22nnnnnnnba则234123412222

18、nnnT3451212341222222nnnnnT相减,得23451212111112222222nnnnT 31211(1)112212212nnn12311422nnn所以113113322222nnnnnnT【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和nT.24.（2009 广东卷 理） （本小题满分 14 分）已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn从点( 1,0)P 向曲线nC引斜率为(0)nnk k 的切线nl，切点为(,)nnnP xy（1）求数列nnxy与的通项

19、公式；（2）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy.解：（ 1）设直线nl：) 1( xkyn，联立0222ynxx得0)22()1 (2222nnnkxnkxk，则0)1 (4)22(2222nnnkknk，12 nnkn（12 nn舍去）22222) 1(1nnkkxnnn，即1nnxn，112) 1(nnnxkynnn（2）证明： 121111111nnnnnxxnn12112125331212432112531 nnnnnxxxxnnnnxxxxxx 1112531由于nnnnxxnyx11121，可令函数xxxfsin2)(，则xxfcos21)(，令0)(xf，得2

20、2cosx，给定区间)4, 0(，则有0)(xf，则函数)(xf在)4, 0(上单调递减，0)0()( fxf，即xxsin2在)4, 0(恒成立，又4311210n，则有121sin2121nn，即nnnnyxxxsin211.25.（2009 安徽卷理） （本小题满分（本小题满分 13 分）分）首项为正数的数列 na满足211(3),.4nnaanN（I）证明：若1a为奇数，则对一切2,nna都是奇数；（II）若对一切nN都有1nnaa，求1a的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的

21、数学视野。本小题满分 13分。解：（I）已知1a是奇数，假设21kam是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得213(1) 14kkaam m是奇数。根据数学归纳法，对任何nN，na都是奇数。（II） （方法一）由11(1)(3)4nnnnaaaa知，1nnaa当且仅当1na 或3na 。另一方面，若01,ka则11 3014ka；若3ka ，则21333.4ka根据数学归纳法，1101,01,;33,.nnaanNaanN 综合所述，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a 。（方法二）由21213,4aaa得211430,aa于是101a或13a 。22111133()(),44

22、4nnnnnnnnaaaaaaaa因为21130,4nnaaa所以所有的na均大于 0，因此1nnaa与1nnaa同号。根据数学归纳法，nN ，1nnaa与21aa同号。因此，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a 。26.（2009 安徽卷文）（本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和，数列的前 n 项和（）求数列与的通项公式；（）设，证明：当且仅当 n3 时， 【思路】由11 (1) (2)nnanassn 可求出nnab和 和，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出nnab和 和后，进而得到nc ，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于114a

23、s当2n 时, 221(22 )2(1)2(1)4nnnassnnnnn*4 ()man nN又当xn时11(26 )(2)nnnmmbTTb12nnbb数列nb项与等比数列,其首项为 1,公比为1211( )2nnb(2)由(1)知22111116( )2nnCabn2(1) 121221116(1)( )(1)21216( )2nnnnnCnCnn由21(1)112nnCnCn得即221012nnn 即3n 又3n 时2(1)212nn成立,即11nnCC由于0nC 恒成立.因此,当且仅当3n 时, 1nnCC27.（2009 天津卷文） （本小题满分 12 分）已知等差数列na的公差 d

24、 不为 0，设121nnnqaqaaS*1121, 0,) 1(NnqqaqaaTnnnn（）若15, 1, 131Saq ,求数列na的通项公式；（）若3211,SSSda且成等比数列，求 q 的值。（）若*2222,1)1 (2)1 (1, 1NnqqdqTqSqqnnn）证明（【答案】 （1）34 nan（2）2q（3）略【解析】 （1）解：由题设，15, 1, 1,)2()(3121113SaqqdaqdaaS将代入解得4d，所以34 nan*Nn （2）解：当32123211,32,2,SSSdqdqdSdqdSdSda成等比数列，所以3122SSS，即)32222dqdqdddqd

25、（）（，注意到0d，整理得2q（3）证明：由题设，可得1nnqb，则12223212nnnqaqaqaaS 12223212nnnqaqaqaaT -得，)(212234222nnnnqaqaqaTS+得，)(2221223122nnnnqaqaqaTS 式两边同乘以 q，得)(2)(221223122nnnnqaqaqaTSq所以22123221)1 (2)(2)1 ()1 (qqdqqqqdTqSqnnnn（3）证明：nlklklkbaabaabaaccnn)()()(212121211=11122111)()()(nnnqdblkqdblkdblk因为0, 01bd，所以12211121

26、)()()(nnnqlkqlklkdbcc若nnlk ，取 i=n，若nnlk ，取 i 满足iilk ，且jjlk ，nji1由（1） （2）及题设知，ni 1，且12211121)()()(nnnqlkqlklkdbcc 当iilk 时，1iilk，由nq ，1,2 , 1, 1iiqlkii即111qlk，),1()(22qqqlk2211) 1()(iiiiqqqlk所以111) 1() 1() 1() 1(1112121iiiiqqqqqqqqqqdbcc因此021cc 当iilk 时，同理可得, 1121dbcc因此021cc综上，21cc 【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通

27、项公式，等比数列通项公式与前 n 项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。28.（2009 辽宁卷文） （本小题满分（本小题满分 1010 分）分）等比数列na的前 n 项和为ns，已知1S,3S,2S成等差数列 （1）求na的公比 q； （2）求1a3a3，求ns解：（）依题意有 )(2)(2111111qaqaaqaaa 由于 01a，故 022 qq 又0q，从而21q 5 分 （）由已知可得321211）（aa 故41a 从而）（）（）（nnn211382112114S 10 分29.（2009 天津卷理） （本小题满分（本小题满分 14 分）分）已知等差数

28、列na的公差为 d（d0） ，等比数列nb的公比为 q（q1） 。设ns=1 1ab+22a b.+ nna b,nT=1 1ab-22a b+.+(-11)n nna b,n N(I)若1a=1b= 1，d=2，q=3，求 3S 的值；(II)若1b=1，证明（1-q）2nS-（1+q）2nT=222(1)1ndqqq，n N；() 若正数 n 满足 2nq，设1212,., ,.,12.nnk kkl ll和是，n的两个不同的排列， 12112.nkkknca ba ba b， 12212.nlllnca ba ba b 证明12cc。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分 14 分。（）解：由题设，可得1*21,3,nnnanbnN所以