经典线代课件线性代数课件第三章矩阵的秩-003

1、三、矩阵秩的性质三、矩阵秩的性质1.0,m nr amin m n2.tr ar a abr ar b3.若,有 4.r a若p,q可逆，有r paq 5.max,r a r br a br ar b 6. r abr ar b 7.min,r abr ar b 8.0,m nn labr ar bn若有证证 因为因为例例7 7 设设a a为为n n阶矩阵，证明阶矩阵，证明r aer aen 2aeeae2r a er earen而而r ear ae所以所以,r aer aen三、小结三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)

2、(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);3.3.矩阵秩的性质矩阵秩的性质思考题思考题?)()(,是是否否相相等等与与为为任任一一实实矩矩阵阵设设araarat 思考题解答思考题解答相等相等., 0 x因因为为对对于于任任一一实实向向量量,0时时当当 ax, 0 axat必有必有有有时时反之当反之当,0 axat0 axaxtt 即即 0 axaxt; 0 ax由此可知由此可知,00同解同解与

3、与 axaaxt .araart 故故3-4 3-4 线性方程组的解线性方程组的解 .01narxannm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理一、线性方程组有解的判定条一、线性方程组有解的判定条件件的解的解讨论线性方程组讨论线性方程组的秩，的秩，和增广矩阵和增广矩阵如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵baxba 问题：问题：证证必要性必要性. . ,ndnanar阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设 ,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 ndn从而从而有非零解，有非零

4、解，设方程组设方程组0 ax这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾， .nar 即即不能成立不能成立nar )(充分性充分性. . ,nrar 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn 任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则ra证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bax ,brar 设设则则b b的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程， .,2的秩的秩阵阵的秩

5、等于增广矩的秩等于增广矩矩阵矩阵的充分必要条件是系数的充分必要条件是系数有解有解元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组定理定理bababxannm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾. .brar 因此因此并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn 即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性. . ,brar 设设 ,nrrbrar 设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rb其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量, ,rn 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量, ,

6、r小结小结有唯一解有唯一解bax nbrar nbrar 有无穷多解有无穷多解. .bax 方程组的通解方程组的通解性性程组的任一解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.0340222024321

7、43214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221a 463046301221二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 a13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0342, 0352432431xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的

8、参数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵b进行初等变换，进行初等变换， 322122351311321b13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)(, 2)( brar显然，显然，故方程组无解故方程组无解例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵b进行初

9、等变换进行初等变换 2132111311101111b 2121001420001111.00000212100211011 , 2 brar由于由于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321 xxxxxx.,42任意任意其中其中xx所以方程组的通解为所以方程组的通解为例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组. 054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxax

10、xaxx解证解证对增广矩阵对增广矩阵b进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为 543211000111000011000011000011aaaaab 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiabrar. 051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组 454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解： 544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5为为任任意意实实数数x例例 设有线性方程组设有线性方程组

11、23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解 21111111 b 11111112 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bab 2222111011011 32222120011011 22112100111011 ,11时时当当 000000001111b ., 3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 brar其通解为其通解为 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx ,12时时当当 22120011011 b这时又分两种情形：这时又分两种情形： :, 3,2)1方程组有唯一解方程组有唯一解

12、时时 brar .21,21,212321 xxx .,故故方方程程组组无无解解brar ,2)2时时 300063304211b nbrar nbrar 有无穷多解有无穷多解. .bax 非齐次线性方程组非齐次线性方程组bax 齐次线性方程组齐次线性方程组0 ax nar ;0只只有有零零解解 ax nar .0有有非非零零解解 ax三、小结三、小结;有唯一解有唯一解bax 思考题思考题.,?,12105, 3153, 363, 1324321432143214321求求出出一一般般解解况况下下情情在在方方程程组组有有无无穷穷多多解解的的有有无无穷穷多多解解有有唯唯一一解解方方程程组组无无解

13、解取取何何值值时时当当讨讨论论线线性性方方程程组组tptxxxxxxpxxxxxxxxxx 思考题解答思考题解答 tpb121051315133163113211解解 191260066402242013211tp 53000422001121013211tp;, 4)()(,2)1(方程组有唯一解方程组有唯一解时时当当 brarp 1000021000112101321153000420001121013211ttb有有时时当当,2)2( p;, 4)(3)(,1方程组无解方程组无解时时当当 brart 0000021000302108000100000210001121013211b且且.

14、, 3)()(,1方程组有无穷多解方程组有无穷多解时时当当 brart 组为组为与原方程组同解的方程与原方程组同解的方程).(203801204321rkkxxxx , 2, 32, 84321xxxx故原方程组的通解为故原方程组的通解为);(),(ccrrjiji记记作作列列对对调调矩矩阵阵的的两两行行);(,)(0 kckrkii 记记作作中中的的所所有有元元素素列列乘乘某某一一行行以以数数).(,)()( ckcrkrkjiji 记记作作对对应应的的元元素素上上去去列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行初等变换的定义初等变换的定义换法变换换法变换倍法变换倍法

15、变换消法变换消法变换初等变换初等变换逆变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji .,bababa记记作作等等价价与与称称矩矩阵阵就就矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵反身性反身性传递性传递性对称性对称性; aa;,abba则则若若.,cacbba则则若若矩阵的等价矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵初等矩阵初等矩阵由单位矩

16、阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵e).(:,)(),(rrjiaaaajiemjiijnmm 行行对对调调行行与与第第的的第第把把施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换当当于于对对矩矩阵阵相相左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用（）换法变换：对调两行（列），得初等（）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵矩阵).(:,),(,ccjiaaajienjin列列对对调调列列与与第第第第的的把把施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵用用类类似似地地),(jie（）倍法变换：以数（非零）乘

17、某行（）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵列），得初等矩阵);(,)(kriakakieim 行行第第的的乘乘相相当当于于以以数数左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(kciakakiein 列列第第的的乘乘相相当当于于以以数数右右乘乘矩矩阵阵以以k)( kie（）消法变换：以数乘某行（列）加到另（）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵);(,)(rkrikjaakijejim 行行上上加加到到第第以以行行乘乘的的第第相相当当于于把把左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(ckcjkiaakijeijn 列列上上加加到到第第以以列列乘乘的的第第相相

18、当当于于把把右右乘乘矩矩阵阵以以k)(kije经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如 00000310000111041211行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等

19、行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如 00000310003011040101行最简形矩阵行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如 00000310003011040101ccccccccc214433215334 0000000100

20、0001000001矩阵的标准形矩阵的标准形.,),(,数数梯形矩阵中非零行的行梯形矩阵中非零行的行就是行阶就是行阶其中其中三个数完全确定三个数完全确定此标准形由此标准形由化为标准形化为标准形换和列变换换和列变换行变行变总可以经过初等变换总可以经过初等变换矩阵矩阵任何一个任何一个rrnmoooerfnmnm 所有与所有与a a等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵f定义定义., 2阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所处处不

21、不改改变变它它们们在在个个元元素素行行列列交交叉叉处处的的位位于于这这些些列列行行和和任任取取中中矩矩阵阵在在kakakkkanm 矩阵的秩矩阵的秩定义定义. 0).(, 0)(1,0 并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于记记作作的的秩秩称称为为矩矩阵阵数数的的最最高高阶阶非非零零子子式式称称为为矩矩阵阵那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的话话阶阶子子式式且且所所有有阶阶子子式式的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵araradrdra ;)(,1rarra 则则阶子式都为零阶子式都为零中所有中所有如果如果);()(arart 定理定理);()(,brarba 则则若若行阶梯

22、形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数矩阵秩的性质及定理矩阵秩的性质及定理;)(,rarra 则则阶子式阶子式中有一个非零的中有一个非零的如果如果. )4(; )3(;)( )2(; )1(eaeanaraa的的标标准准形形为为单单位位矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为 则则阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为若若,na定理定理定理定理.)(0 narxannm 阵阵的的秩秩充充分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩有有非非零零解解的的元元齐齐次次线线性性方方程程组组.),( 的的秩秩的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵有有解解的的充充元元非

23、非齐齐次次线线性性方方程程组组bababxannm 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解10线性方程组的解法线性方程组的解法定理定理.,;, 阶阶初初等等矩矩阵阵相相应应的的的的右右边边乘乘以以相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列

24、列变变换换对对阶阶初初等等矩矩阵阵左左边边乘乘以以相相应应的的相相当当于于在在变变换换施施行行一一次次初初等等行行对对矩矩阵阵是是一一个个设设naamaanma 11初等矩阵与初等变换的关初等矩阵与初等变换的关系系定理定理., 2121pppapppall 使使则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵为为可可逆逆矩矩阵阵设设推论推论.,: bpaqqnpmbanm 使使得得阶阶可可逆逆矩矩阵阵及及阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等

25、变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题典型例题求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩（）用初等变换即用矩阵的初等行（或（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改

26、变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用例例求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩.34147191166311110426010021 a解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵a 34147191166311110426010021a 3514721015639010426010021,00000000005213010021

27、b . 2)()(, brar因此因此注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形当方程的个数与未知数的个数不相同时，一当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则二、求解线性方程组二、求解线性方程组例例求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组

28、的通解)1(. 2255, 1222, 132, 123, 1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使进行初等行变换，使其成为行最简单形其成为行最简单形b 2025511222111321112311321b 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00000000001113202011001012213214rrrrr 000000000015600021100010112213

29、32rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161 )1(,43214取任意常数取任意常数的通解是的通解是可得方程组可得方程组令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx 由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知量的个数是，故有一个自由未知量量的个数是，故有一个自由未知量.3)()( brar4 n . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求

30、出它的通解零解，并且求出它的通解a解法一解法一系数矩阵的行列式为系数矩阵的行列式为aaaa32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa., 0,21方程组有非零解方程组有非零解时时或者或者当当 aaa:,1化成最简形化成最简形把系数矩阵把系数矩阵时时当当aa 10000000001001011323111121211111.,01014321为任意常数为任意常数kkxxxxx 从而得到方从而得到方程组的通解程组的通解 00000300101011112323121121211111,2化为化为之变换可把之变换可把由

31、计算由计算时时当当aaa 0000010010100001.,1010 4321为为任任意意常常数数为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解kkxxxxx aaa32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形a., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 araa 2000010010101111aa.,)(,1aeeaeaa 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩

32、阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵.,1aeeaea 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法例例求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵 111211120a解解.),(施行初等行变换施行初等行变换作分块矩阵作分块矩阵ea 100111010211001120 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 11010021212101

33、0210011212r 11010021212101025232100121)1(rr.1102121212523211 a注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换间不能作任何行变换bax )1(四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法)(ba)(1bae 初初等等行行变变换换bax1 babxa )2( abe1初初等等列列变变换换bax1 )(batt)(1baett

34、 初初等等行行变变换换abx1 baxttt)(1 或者或者例例.,2,410011103 xxaaxa求矩阵求矩阵且且设设 解解,2xaax ,2100111012 ea又又,)2(axea 1002100100110011012aea由于由于,322100234010225001 初等行变换初等行变换.322234225 x第三章测试题第三章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共2424分分) )1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解程组有无穷多解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组 0302032321321xkxxxxxkxx只有零解，则