周期信号的傅里叶级数分解

1、3.2周期信号傅里叶级数分析三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系x3.2.1 三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 tntn111 sin,cos, 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=1,. 由积分可知由积分可知 )0()0(2)(0)cos()cos(1111100nmtnmtnmdttntmttt )0(2)(0)sin()sin(111100nmtnmdttntmttt),(

2、, 0)sin()cos(10011为为任任意意整整数数nmdttntmttt 1 1、三角级数、三角级数x 1112 , , tttf 基波角频率为基波角频率为周期为周期为周期信号周期信号在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 100d)(110tttttfta余弦分量的幅度余弦分量的幅度 100dcos)(211tttnttntfta正弦分量的幅度正弦分量的幅度 100dsin)(211tttnttntftb称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2 2级数形式级数形式x3 3、其他

3、形式、其他形式00aa 22nnnbaa nnnabarctan nnnaa cosnnnab sin余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntnaatfx：关系曲线称为幅度频谱图；：关系曲线称为幅度频谱图；：关系曲线称为相位频谱图。：关系曲线称为相位频谱图。可画出可画出频谱图频谱图。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 na n4 4、幅度频率特性和相位频率特性、幅度频率特性和相位频率特性的线性组合。的

4、线性组合。基波角频率的整数倍）基波角频率的整数倍）（）和各次谐波）和各次谐波，基波（，基波（周期信号可分解为直流周期信号可分解为直流:11 nx3.2.2指数函数形式的傅里叶级数指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集 2, 1, 0 e1j ntn )()(0)(1*10011nmtnmdteettttjntjm正交性如下：正交性如下：x2 2级数形式级数形式3 3系数系数 111110jj0jdeede)(ttntnttnntttff 4 e)(1jtnnnftf 5 de )(1110j1 ttnttft利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性x说明说明 变变换

5、换对对。式式是是一一对对、惟惟一一确确定定，则则如如给给出出)5()4(tffn 的线性组合。的线性组合。区间上的指数信号区间上的指数信号周期信号可分解为周期信号可分解为tn1je, 4 e)(1jtnnnftf 5 de)(1110j ttnnttftfx两种系数之间的关系两种系数之间的关系 110j1de )(1ttnnttftf 11011011dsin)(1jdcos)(1ttttntftttntft njnnneaba 21j21 11011011dsin)(1jdcos)(1ttnttntftttntftf000aaf njnnneaba 21j21x 的的奇奇函函数数关关于于的的

6、偶偶函函数数关关于于取取正正值值）的的奇奇函函数数（实实际际关关于于取取正正值值）的的偶偶函函数数（实实际际关关于于 1nfnbnannnx3.2.3函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数x1偶函数为为实实函函数数。项项。项项，只只含含直直流流项项和和余余弦弦傅傅里里叶叶级级数数中中不不含含正正弦弦nf信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf )(tfottet 0 nb 201110dcos)(4tnttntfta nnnnabanff21j21)(1 0 n x)(tft0e21t21

7、t1t1t)5cos(251)3cos(91)cos(42)(1112 ttteetfx2奇函数)()(tftf 对对称称的的：波波形形相相对对于于纵纵坐坐标标是是反反)(tfottt 11 为为虚虚函函数数。量量，傅傅里里叶叶级级数数中中无无余余弦弦分分nf 0= d)(1 221011 ttttfta 0dcos)(2221111 ttnttntfta 1011dsin)(2tnttntftb nnnnbbanffj21j21)(1 201110dsin)(4tttntftx)(tft02e21t21t1t1t)5sin(51)3sin(31)2sin(21)sin()(1111tttte

8、tf x0 6 , 4 , 2 nnban时时3奇谐函数 20111dcos)(4 5 , 3 , 1tnttntftan时时 20111dsin)(4tnttntftbf(t)的傅氏级数偶次谐波为零，只含有奇次谐波。的傅氏级数偶次谐波为零，只含有奇次谐波。)(tfottt 2t 2)(ttftf若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：00 ax)(tft0e21t21te1t1t)5cos(251)3cos(91)cos(4)(1112 tttetf)5sin(51)3sin(31)sin(2111 tttex 21ttftf112t 4偶谐函数 20111dsin)(4tnttntftb 0 5 , 3 , 1 nnban时时当当 20111dcos)(4 6 , 4 , 2tnttntftan 时时当当f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分