(自己整理)圆锥曲线常考题型总结-配有大题及练习

1、完美WORD格式.整理专业资料分享圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一.常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型H一：存在性问题（存在点，存在直线y = kx+m,存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二.热点问题1 .定义与轨迹方程问题2 .交点与中点弦问题3 .弦长及面积问题4 .对称问题5 .范围问题6 .存在

2、性问题7 .最值问题8 .定值，定点，定直线问题第二部分知识储备一.与一元二次方程ax2坨乂 = 0（2/0）相关的知识（三个“二次”问题）1 .判别式：A=b2-4ac22 .韦达te理：右一兀二次万程ax+bx+ c = 0（a #0）有两个不等的实数根x1，x2 ,则x1Tx2 =-,/ x2 =一 aa2-b .- b2 -4 acx1,23 .求根公式：若一兀二次万程ax +bx + c = 0（a=0）有两个不等的实数根不？2 ,则2a二.与直线相关的知识1 .直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2 .与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率：y =tan2，%)若

3、点 M (x, y)线段 AB的中点，则x xy1 y2x 二 ,y 二22三.圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1 .圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。2 .圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程3 .圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等_ 2_ 2 2b2b4 .圆锥曲线的其他知识： 通径：椭圆且，双曲线2b-,抛物线2P2口焦点三角形的面积:P在椭圆上时 SF1pF2=b ta

4、n p在双曲线上时 SF1PF2 =b / tan- 四.常结合其他知识进行综合考查1 .圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2 .导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识3 .向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4 .三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5 .不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五.不同类型的大题(1)圆锥曲线与圆例1.(本小题共14分)已知双曲线C :与4=1但0,b 0)的离心率为 J3,右准线方程为 a b(I)求双曲线C的方程；(n )设直线l是圆O : x

5、2 + y2 =2上动点P(x0, y0)(x0y0 r 0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点 A,B,证明/AOB的大小为定值【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.(I)由题意，得解得 a = 1,c = 33 ,2.b2=c2a2=2, 所求双曲线 C的方程为x2 - = 1 .222.(n)点 P(x0,y0 Xx0y0 #0 )在圆 x 十y =2上,圆在点P(x0,y0 )处的切线方程为y-y0 =-(x-Xo ),y。化简得 x)x , yy = 2 .2v2 y_X - = 122_

6、 一_22_2 一由 2及 X0 + y0 = 2 得(3x0-4 )x 4x0x+82x0 = 0 ,x0x yy = 2 、 ._2_;切线l与双曲线C交于不同的两点A B,且0X00 ,设A、B两点的坐标分别为(X, y, ),(x2, y2),则X1 . X2工4x03x2 -4,X,X2 =28-2片3x2 -4- OA OB cos AOB =L 1OAOBi八八OA OB =x1x2 + y1y2 =x1x2 + (2 -x0x1 2 2 -x0x2 J, y。1=X1X2 -22 - x024 -2x0 x1 x2 x0x1x28-2x21= Z2-23x0 -4 2-x014

7、一十年3x2 -43x2 -4228 -2x08 -2x02- 2= 0 .3x0 -4 3x0-4NAOB的大小为90 口【解法2】（I ）同解法1.(D)22点P（凡，y X %丫0 0 0 ）在圆x +y =2上，圆在点P（x, y）处的切线万程为y y0 =xyo2x2 - =122(xx0),化简得 x0x + y0y =2 .由2 及 + y0 = 2xx y0y = 2222_3x0 -4 x -4x0x 8-2x0 =0_ 222_3x0 -4 y -8y0x-8 2x0 =02切线l与双曲线C交于不同的两点 A、B,且0x02,23x0-4 ,0 ,设 a、B两点的坐标分别为

8、（x，yi ）,（x2, y2 ）,8 -2x22x2 -8则 x1x2=3x0W,y1y2=&二4OA OB = x1x2+y1y2 = 0 ,NAOB 的大小为 90 .222=2 且 x0y0 #0,0x0 2,0 y0 b A0)过点(72, 1),且以椭圆短轴的两个端点和 ab一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形(I )求椭圆的标准方程； (n )设M (x, y)是椭圆c上的动点，P ( p,0)是X轴上的定点，求 MP的最小值及取最小值时点M的坐标.(3)圆锥曲线与直线问题22,例3.1已知椭圆C : x +2y =4,(1)求椭圆C的离心率.(2)设O为原点，若点A在椭圆C上

9、，点B在直线y = 2上，且OA_LOB,求直线AB22与圆x + y =2的位置关系，并证明你的结论22解析：椭圆的标准方程为：土+上=1,42a =2,b =近,则c =&,离心率e =，=；a 2直线22AB与圆x y =2相切.证明如下:设点A法一:-B的坐标分别为(xo .y。).(t .2 ),其中x #0因为 OAOB,所以 OA OB=0,即 tx0 +2y0=0,解得 t=2yXo当x0 =t时，y0 =，代入椭圆C的方程，得t =322故直线AB的方程为x =士亚,圆心O到直线AB的距离d =& .22 一此时直线AB与圆x +y =2相切.当x0汽时，直线AB的方程为y

10、-2 =%-N(x t卜X0 -t即 y0 -2 x - X0 -1 y 2x0 -ty0 = 0 .圆心O到直线AB的距离“2x0 -ty0d = =y0 -2 i -Xo -t 2222 y0又 x。+2y。=4 , t =-,故x02x。+名x22 4y0/x0 y0 -2- -4x。且x4 8x； 162x；此时直线AB与圆x2 +y2 =2相切.法二: 由题意知，直线 OA的斜率存在，设为 k ,则直线OA的方程为y=kx, OA OB ,当k=0时，A(吆.0 ),易知B(0.2),此时直线 AB的方程为x + y=2或x + y = 2,原点到直线AB的距离为 笈，此时直线AB与

11、圆/+/=2相切;当k#0时，直线OB的方程为y=1x, ky =kx 联立22x 2y =4得点A的坐标2k1 2k22k、41 +2k2，Ji +2k2 八1一 . y = 一 x 联立 k得点B的坐标, “外,y=2必 2由点A的坐标的对称性知，无妨取点 A2 2k&1 +2k2 M+2k2 )进行计算,于是直线AB的方程为：y -2 =_2k_1 2k2-2上 2k.1 2k2k 12k(x+2k 尸j=(x+2k ),1 k 1 2k即(k -I1 +2k2 )x -(1 +kjl +2k2 )y +2k2 +2 =0 ,2 .原点到直线AB的距离d =2k +2(k -Ji +2k

12、2 ) +(1 +kjl +2k2 )此时直线AB与圆/ +v2 _9相切。x y 2综上知，直线 AB 一定与圆 7+、,2_0相切.x y 2当 k=o 时，A(笠.0 ),易知 B(0 .2),此时 |OA =2 .OB =2 ,AB =+2 =272 ,原点到直线AB的距离dOA1叫=当| = AB 2 2此时直线AB与圆x2 +y2 =2相切；1当k0时，直线OB的方程为y=-x,k，2 2k /22k W1 +2k2 Vl+2k2 几Ji +2k2，Ji +2k2设A(X1).B(x2 .y2 ),则 0A,|OB=5k7|y2=2,y =kx联立22 得点A的坐标x2 2y2 =

13、4于是 OA =S +/及-2L1 +k2 ， OB =2jl+k2 , V1+2kAB =4 1k2_ 21 2k244 1k =、1 2k22,1 k所以d 二21 k 2.1kOA OB 1 2k2AB2.2 1 k2=72，直线AB与圆v2 ,2 _相切;x y 2综上知，直线 AB 一定与圆x2+y2=2相切22练习1：已知椭圆 C:与十32=1(a Ab0)过点(0,1),且长轴长是焦距的 五倍.过椭 a b圆左焦点F的直线交椭圆C于A, B两点，O为坐标原点.(I )求椭圆C的标准方程；(n)若直线 AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；(出)若点

14、O在以线段AB为直径的圆内，求直线 AB的斜率k的取值范围.(4)圆锥曲线定值与证明问题例4.1已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为 弓,且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为 4.(I)求椭圆C的方程；(n)设 A为椭圆C的左顶点，过点 A的直线l与椭圆交于点 M ,与y轴交于点N ,过原点与l平行的直线与椭圆交于点 P .证明：| AM |，| AN |= 2|OP|2.22解：(i)设椭圆C的标准方程为 与+Y2=1(abA。)， a b，2, 22a =b +c ,解得 a = 2, b=1.由题意知=，3, a 22a =4,2x 2所以椭圆C的标准方程为 一 + y =1

15、.4(n)设直线 AM的方程为：y =k(x+2),则N(0,2k).y = k(x 2),2 222由 22得(1+4k2)x2+16k2x+16k2 4=。(*).x 4y = 4,设A(2,0), M (2, y)，则一2 , x是方程(*)的两个根,2 而1_2-8k2 所以X 21 4k222-8k2 4k、 所以 M (2 ,2).1 4k2 1 4k216 16k24 J k22 2 -2-(1 4k2)21 4k22-8k2 2 8k2 2 4k 21AM14k2)(1 4k2)| AN |=/4 4k2.=2,1 k2 .| AM | AN 尸4 ,1 k2 2 1 k221

16、 4k8(1 k2)21 4k设直线OP的方程为：y=kx._Ly = kx22由2 得(1 + 4k2)x2x 4y = 4,-4 = 0.设p(x0,y0),则 =41 4k22V。4k221 4k2.2所以|OP|4 4k221 4k2，2|OP|2 = 8-8k221 4k一.2所以 |AM | | AN |=2|OP| .X2y2. 3例 4.2:已知椭圆 C： f+3=1 (ab0)的离心率为 ,A (a,0) ,B(0,b) , O (0, a b20), OAB勺面积为1.(I )求椭圆C的方程；(I I)设P的椭圆C上一点，直线 PA与Y轴交于点 M直线PB与x轴交于点N。求

17、证:ANBM为定值。19. (J)由已如得.e = = y ”6 5=：山j =1.而且相=膳+ *由解料九人1.则IB圈方程为工+ 了2= 14*ai)设描上点P的坐标为2的琴团山皿3又已知A孙 R(O;lt则辽线PA的方程为y = -(X - 2)2皿2令K二九就可以得#|JN点坐标为(0.同样可以得到N的横标为【三第Q)，1 -SsHJrM|4N| -= |r-ll = 2 l-rusfl2X练习1 :已知椭圆C: -2 a(sin? - ms %)，(-28”号)y26 ,=1(a b A0)的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个b23焦点构成的三角形的面积为52(I)求椭圆C的方程;

18、(n)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.若线段AB中点的横坐标，1j一一 7十)不，为，求斜率k的值；若点M (-,0)，求证：MA MB为定值.23练习2:已知抛物线C : y 2=2 px (p 0),其焦点为F, O为坐标原点，直线 AB (不垂直 于x轴)过点F且抛物线C交于A, B两点，直线0AtlOB勺斜率之积为p .(1)求抛物线C的方程；(2)若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点 D ,求证： RD1 2|OM |1练习3:动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:x = 4的距离之比为一.2(I )求动点P的轨迹C的方程；(n) 已知定

19、点 A(2,0) , B(2,0),动点Q(4,t)在直线l上，作直线 AQ与轨迹C的另一个交点为 M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为 N ,证明：M , N, F三点共线.(5)圆锥曲线最值问题例5：已知椭圆C:勺十=1(a b 0)的离心率为 叵,椭圆C与y轴交于A, B两点, a b2| AB| = 2 .(I )求椭圆C的方程;(n)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA, PB与直线x = 4分别相交于M, N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E, F,求点P横坐标的取值范围及| EF |的最大值.解：(I)由题意可得，b =1,a2 -1一 2一斛a=4)

20、4分2椭圆C的标准方程为工十y2=1. 5分4(n)设 P(%,y0)(0o ,解得xoXo(8,2.512设交点坐标(x，O),(X2,O),则 |X1 - X2 |=2, 8(一:Xo5 b 0 )的一个焦点为F(2 , o),离心率为 。过焦a b3点F的直线l与椭圆 仅于 A B两点，线段 A冲点为D, C的坐标原点，过 Q D勺直线交椭 圆于M N两点。(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形AMBNm积的最大值。练习2:已知椭圆C： mx2+3my2 =1(m 0)的长轴长为2J6 , O为坐标原点.(I )求椭圆C的方程和离心率；(n)设点 A(3,0),动点B在y轴上，动点 P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BARBP|,求四边形OPAB面积的最小值(6)圆锥曲线存在性问题一 x2 y；2 一 一例6.已知椭圆C： xy +2