2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十二节第2课时导数与函数的零点问题教师文档教案文北师大版

1、第二课时第二课时 导数与函数的零点问题导数与函数的零点问题 授课提示：对应学生用书第 47 页 考点一 利用导数判断函数的零点个数或区间 例 已知函数 f(x)1xx22x33x44x2 0192 019， g(x)1xx22x33x44x2 0192 019， 设函数 f(x)f(x2) g(x3)，且函数 f(x)的零点均在区间a，b(ab，a，bz)内，求 ba 的最小值 解析 f(x)1xx2x3x2 0181x2 0191x0， 所以 f(x)在a，b(ab，a，bz)上为增函数，至多有一个零点 f(1)1(1)（1）22（1）33（1）2 0192 019121312 0190，

2、f(0)10，所以 f(x)的零点 x 满足1x0，所以 f(x2)的零点 x1满足1x120，则3x12. g(x)1xx2x3x2 0181x2 0191x0， 所以 g(x)在a，b(ab，a，bz)上为减函数，至多有一个零点 g(1)11121312 01812 0190，g(2)0， 所以 g(x)的零点 x 满足 1x2，所以 g(x3)的零点 x2满足 1x232，所以 4x25， 故 ba 的最小值为 5(3)8. 破题技法 判断函数零点个数的方法 (1)直接解方程法，令 f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；(2)利用零点的存在性定理，定理的使用前提不仅要求函数

3、图像在区间a，b上是连接不断的曲线，且 f(a) f(b)0，还要注意结合函数的图像与性质才能确定函数有多少个零点；(3)数形结合法，将原问题转化为两个函数图像的交点个数问题 (2019 高考全国卷)已知函数 f(x)2sin xxcos xx，f(x)为 f(x)的导数 (1)证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点； (2)若 x0，时，f(x)ax，求 a 的取值范围 解析：(1)证明：设 g(x)f(x)，则 g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x. 当 x0，2时，g(x)0；当 x2， 时，g(x)0，g()2， 故 g(x)在(0，)存在唯一零点 所以 f(x)在

4、区间(0，)存在唯一零点 (2)由题设知 f()a，f()0，可得 a0. 由(1)知， f(x)在(0， )只有一个零点， 设为 x0， 且当 x(0， x0)时， f(x)0； 当 x(x0， )时， f(x)0，所以 f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减 又 f(0)0，f()0，所以当 x0，时，f(x)0. 又当 a0，x0，时，ax0，故 f(x)ax. 因此，a 的取值范围是(，0 考点二 由函数零点或方程的根求参数问题 例 已知函数 f(x)ln xkx1(k 为常数)，若 f(x)有且只有一个零点，求 k 的取值组成的集合 解析 易知 f(x)1kxx(x

5、0) k0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增 而 f(ek2)k2k ek21k(1ek2)110，f(1)1k0，故 f(x)在(ek2，1)上存在唯一零点，满足题意 k0 时，令 f(x)0，得 x1k，则 f(x)在(0，1k)上单调递增；令 f(x)0，得 x1k，则 f(x)在(1k，)上单调递减 若 f(1k)0，即 k1，显然满足题意 若 f(1k)0，即 0k1，而 f(1e)ke0，又 f(4k2)2ln2k4k12(ln2k2k)1，令 h(x)ln xx1(x0)，则 h(x)1xx，令 h(x)0，得 x1，故 h(x)在(0，1)上单调递增；令 h(x)0

6、，得 x1，故 h(x)在(1，)上单调递减故有 h(x)h(1)0，则 h(2k)ln 2k2k10， 即 ln 2k2k1. 则 f(4k2)2(ln 2k2k)110，故 f(x)在(1e，1k)上有唯一零点，在(1k，4k2)上有唯一零点，不符合题意 易知 f(1k)0 时不符合题意 综上，k 的取值组成的集合是k|k0 或 k1 破题技法 已知函数(方程)零点的个数求参数的取值范围 (1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理 (2)若函数不是严格单调函数，则结合图像求最小值或最大值 (3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图像交点的个数 若函数 f(x)axx2(a1)有

7、三个不同的零点，求实数 a 的取值范围 解析：令 f(x)axx20，可得 axx2. (1)当 x0 时，函数 yax与 yx2的图像有一个交点； (2)当 x0 时，两边同时取自然对数得 xln a2ln x， 即 ln a2ln xx， 由题意得函数 yln a 与 g(x)2ln xx的图像在(0，)上有两个不同的交点，g(x)2（1ln x）x2，令 g(x)0，解得 0 xe，则 g(x)在(0，e)上单调递增，令 g(x)0，解得 xe，则 g(x)在(e，)上单调递减，则 g(x)maxg(e)2e，ln a2e， 1ae2e时有两个交点； 又 x0 时，必有一个交点， 1ae

8、2e时，函数 f(x)axx2(a1)有三个不同的零点 考点三 零点双变量问题 例 已知 f(x)exax 有两个零点 x1，x2，且 x1x2，则下列不等关系正确的是( ) aae bx1x22 cx1 x21 d有极小值点 x0且 x1x22x0 解析 对于选项 a， (分离参数)若 a0，不符合题意，故 a0，令 f(x)0，得1axex. 设 g(x)xex，则 g(x)(1x)ex，进而可得 g(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是减函数， 所以 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1)1e.由此可画出直线 y1a与曲线 yg(x)， 如图所示，由图知，01a1e，所以 ae，故

9、选项 a 错误 对于选项 b， (分离参数构造函数)由可得 g(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，由 g(x1)g(x2)及图可得 0 x11x2，所以 2x21.欲证 x1x22，即证 x12x2.因为函数 g(x)在(，1)上是增函数，所以即证 g(x1)g(2x2) 又 g(x1)g(x2)，所以即证 g(x2)g(2x2)，即 g(x2)g(2x2)0(x21) 设 f(x)g(x)g(2x)xex2xe2x(x1)， 可得 f(x)(x1)(ex2ex)0(x1) 所以函数 f(x)在(1，)上是增函数， 所以 f(x)f(1)0(x1) 所以 g(x2)g(2x2)(x21)，所以 x1x22，故选项 b 正确 答案 b 破题技法 求解零点双变量问题的常用策略：一是构造新函数；二是将原问题转化为极值点或拐点偏移问题 设函数 f(x)exsin x，g(x)12x.若存在 x1，x20，)使得 f(x1)g(x2)成立，则 x2x1的最小值是_ 解析：设 x2x1t，由 f(x1)g(x2)得 x22(ex1sin x1)x1t，所以 t2(ex1sin x1)x1， 所以 x2x1的最小值即函数 f(x)2(exsin x)x 在0，)