2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第二节直线的位置关系与距离公式教师文档教案文北师大版

1、第二节第二节直线的位置关系与距离公式直线的位置关系与距离公式授课提示：对应学生用书第 153 页基础梳理三种距离三种距离条件公式两点间的距离a(x1，y1)，b(x2，y2)|ab|（x1x2）2（y1y2）2点到直线的距离p(x0，y0)到直线 axbyc0 的距离为dd|ax0by0c|a2b2两平行线间的距离直线 axbyc10到直线 axbyc20 的距离为 dd|c1c2|a2b21点到直线的距离公式(1)直线方程为一般式(2)公式中分母与点无关(3)分子与点及直线方程都有关2两平行直线间的距离(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离

2、四基自测1(基础点：点到直线的距离)点(1，1)到直线 xy10 的距离是()a.12b32c.22d.3 22答案：d2(基础点：直线的交点)直线 2xy10，yx1，yax2 交于一点，则 a的值为_答案：233(基础点：两平行线间的距离)已知两平行线 l1：2x3y6，l2：2x3y10，则 l1与 l2间距离为_答案：5 13134(易错点：点到直线距离的应用)已知点 a(3，2)和 b(1，4)到直线 axy10的距离相等，则 a 的值为_答案：4 或12授课提示：对应学生用书第 154 页考点一直线的交点及应用挖掘直线交点的应用/ 自主练透例(1)经过两直线 l1：x2y40 和

3、l2：xy20 的交点 p，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程为_解析法一：由方程组x2y40 xy20得 x0，y2，即 p(0，2)因为 ll3，所以直线 l 的斜率 k43，所以直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60.法二：因为直线 l 过直线 l1和 l2的交点，所以可设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为 ll3，所以 3(1)(4)(2)0，所以11，所以直线 l 的方程为 12x9y180，即 4x3y60.答案4x3y60(2)过点 m(0，1)作直线，使它被两条直线 l1：x3y100，l2：2xy80 所截得的

4、线段恰好被 m 所平分，则此直线方程为_解析过点 m 且与 x 轴垂直的直线是 x0， 它和直线 l1， l2的交点分别是0，103 ，(0，8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为 ykx1，其图像与直线 l1，l2分别交于 a，b 两点，则有yakxa1，xa3ya100，ybkxb1，2xbyb80.由解得 xa73k1，由解得 xb7k2.因为点 m 平分线段 ab，所以 xaxb2xm，即73k17k20，解得 k14.所以所求直线为 y14x1，即 x4y40.答案x4y40(3)已知直线 l 经过点 p(3，1)，且被两条平行直线 l1：xy10 和 l2：xy60 截得的线段

5、长为 5，求直线 l 的方程解析法一：若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x3，此时与 l1，l2的交点分别为 a(3，4)，b(3，9)，截得的线段 ab的长|ab|49|5，符合题意若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 yk(x3)1.解方程组yk（x3）1，xy10，得 a3k2k1，4k1k1 ，解方程组yk（x3）1，xy60，得 b3k7k1，9k1k1 .由|ab|5，得3k2k13k7k124k1k19k1k1252.解之，得 k0，即所求的直线方程为 y1.综上可知，所求直线 l 的方程为 x3 或 y1.法二：如图所示，作直线 l1：xy10，l2：x

6、y60.l1与 x、y 轴的交点 a(1，0)、b(0，1)，l2与 x、y 轴交点 c(6，0)、d(0，6)所以|bd|5，|ac|5.过点(3，1)与 l1、l2截得的线段长为 5.即平行 x 轴或 y 轴所以所求直线方程为 x3 或 y1.破题技法1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点2求过两直线交点的直线方程的方法(1)直接法：先求出两直线的交点坐标；结合题设中的其他条件，写出直线方程；将直线方程化为一般式(2)直线系法：设过两直线 a1xb1yc10，a2xb2yc20 交点的直线方程为 a1xb1yc1(a2xb2y

7、c2)0.利用题设条件，求的值，得出直线方程验证 a2xb2yc20 是否符合题意(3)数形结合法，求直线截得的线段长考点二距离问题挖掘距离问题的应用/ 自主练透例(1)(2020昆明模拟)点 p 到点 a(1，0)和直线 x1 的距离相等，且 p 到直线 yx 的距离等于22，这样的点 p 共有()a1 个b2 个c3 个d.4 个解析设点 p(x，y)，由题意知（x1）2y2|x1|，且22|xy|2，所以y24x，|xy|1，即y24x，xy1，或y24x，xy1，解得x32 2，y22 2或x32 2，y22 2，解得x1，y2，因此，这样的点 p 共有 3 个答案c(2)已知两条平行

8、直线 l1：mx8yn0 与 l2：2xmy10 间的距离为 5，则直线 l1的方程为_解析因为 l1l2，所以m28mn1，所以m4，n2或m4，n2.当 m4 时，直线 l1的方程为 4x8yn0，把 l2的方程写成 4x8y20，所以|n2|1664 5，解得 n22 或 18.故所求直线 l1的方程为 2x4y110 或 2x4y90.当 m4 时，直线 l1的方程为 4x8yn0，把 l2的方程写成 4x8y20，所以|n2|1664 5，解得 n18 或 22.故所求直线 l1的方程为 2x4y90 或 2x4y110.答案2x4y90 或 2x4y110破题技法应用点到直线的距离

9、公式与两平行线间的距离公式时应注意：(1)用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；(2)两平行线间的距离公式，两直线方程中 x，y 的系数分别相同；(3)两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化考点三对称问题挖掘 1求对称点、直线/ 自主练透例 1已知直线 l：2x3y10，点 a(1，2)求：(1)点 a 关于直线 l 的对称点 a的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 a 的对称直线 l的方程解析(1)设对称点 a的坐标为(m，n)，由已知可得n2m1231，2m123n2210，解得m3313，n413，即 a3313

10、，413 .(2)在直线 m 上取一点， 如 b(2， 0)， 则 b 关于 l 的对称点必在 m上， 设对称点为 b(a，b)，则由2a223b0210，b0a2231，得 b613，3013 .设 m 与 l 的交点为 n，由2x3y10，3x2y60，得 n(4，3)设直线 m上任意一点的坐标为(x，y)，由两点式得直线 m的方程为y330133x46134，即 9x46y1020.(3)法一：在 l：2x3y10 上任取两点，如 m(1，1)，n(4，3)则 m，n 关于点a 的对称点 m，n均在直线 l上易知 m(3，5)，n(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x3y90.法二：

11、设直线 l 关于点 a 的对称直线 l上的任意一点 p(x，y)，则点 p(x，y)关于点a(1，2)的对称点为 p(2x，4y)点 p在直线 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.挖掘 2利用对称性求解直线方程/ 互动探究例 2(1)(2020淮安模拟)已知入射光线经过点 m(3，4)，被直线 l：xy30反射，反射光线经过点 n(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_解析设点 m(3，4)关于直线 l：xy30 的对称点为 m(a，b)，则反射光线所在直线过点 m，所以b4a（3）11，3a2b4230，解得 a1，b0.又反射光线经过点 n(2，6)所以所求直线的方程为y0

12、60 x121，即 6xy60.答案6xy60(2)已知三角形的一个顶点 a(4， 1)， 它的两条角平分线所在直线的方程分别为 l1：x y 1 0 和 l2： x 1 0 ， 则 bc 边 所 在 直 线 的 方 程 为_解析a 不在这两条角平分线上，因此 l1，l2是另两个角的角平分线点 a 关于直线 l1的对称点 a1，点 a 关于直线 l2的对称点 a2均在边 bc 所在直线 l 上设 a1(x1，y1)，则有y11x1411，x142y11210，解得x10，y13，所以 a1(0，3)同理设 a2(x2，y2)，易求得 a2(2，1)所以 bc 边所在直线方程为 2xy30.答案

13、2xy30(3)已知直线 l：x2y80 和两点 a(2，0)，b(2，4)在直线 l 上求一点 p，使|pa|pb|最小解析设 a 关于直线 l 的对称点为 a(m，n)，则n0m22，m222n0280，解得m2，n8，故 a(2，8)p 为直线 l 上的一点，则|pa|pb|pa|pb|ab|，当且仅当 b，p，a三点共线时，|pa|pb|取得最小值，为|ab|，点 p 即是直线 ab与直线 l 的交点，解方程组x2，x2y80，得x2，y3，故所求的点 p 的坐标为(2，3)破题技法有关对称问题的规律方法方法解读中心对称点关于点点 m(x1，y1)与 n(x，y)关于 p(a，b)对称

14、，利用中点x2ax1y2by1直线关于点l1关于 a 对称的直线：取 bl1，求 b 关于 a 的对称点b，利用斜率相等，求点斜式轴对称点关于直线对称点 a 关于 l1的对称点 a，利用 aa 的中点在 l1上，且aal，求 a点线 l1关于线 l 对称l1la利用 al2，且取 bl1，求 b 关于 l 的对称点 b，由 a和 b求方程若 l1l利用平行线 l1与 l，l 与 l2之间的距离相等；或者利用斜率相等考点四点、线及位置关系、距离的应用挖掘构造距离求最值(创新问题)/ 互动探究例(1)设 x0，y0，满足 2xy1，则 xx2y2的最小值为()a.45b25c1d.1 23解析因为

15、 x，yr，满足 2xy1，设 zx x2y2，其可表示为直线 2xy1 在第一象限的点 p(x，y)到 y 轴的距离 d 与到原点的距离|po|的和设原点关于直线 2xy1 的对称点 o1(m，n)，则由2m02n0210，（2）n0m01解得m45，n25，所以 o145，25 .由对称性可得|po1|po|，所以 z|po1|d，故 po1y 轴时 z 最小故当且仅当 x310，y25时 zx x2y2取最小值45，故选 a.答案a(2)已知实数 x 满足|2x1|2x5|6，则 x 的取值范围是_解析由|2x1|2x5|6 可得|x(12)|x52|3，它表示数轴上的动点 x到定点12

16、与52的距离之和为3.又定点12与52之间的距离恰好为 3， 故有x12，52答案12，52破题技法本解法利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的点之间的距离问题，使解题过程直观快捷(3)设 a0，若 f(x) x26ax10a2 x22ax5a2(xr)的最小值为 10，则 a_解析f(x) （x3a）20（a）2 （xa）2（02a）2，它表示动点 p(x，0)到点 a(3a，a)与 b(a，2a)的距离之和，即 f(x)|pa|pb|.由已知条件可知：f(x)|pa|pb|的最小值为 10.因为 a0，所以点 a，b 在 x 轴的两侧，故对 x 轴上的动点 p(x，0)，一定有|pa|pb|ab|，故|pa|pb|的最小值为|ab|.于是有|ab|10，即 3a（a）2（a2a）210，又 a0，解得 a2.答案2破题技法构造距离后，把已知条件转化为 x 轴上的动点到两定点的距离之和的最小值为 10，便于顺利得到关于 a