第23讲锐角三角函数

1、第第24讲讲解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 锐角锐角3030、4545、6060的三角函数值在有关的计算题和证明的三角函数值在有关的计算题和证明题中经常出现，必须牢记；以上锐角的正弦、余弦、正切值题中经常出现，必须牢记；以上锐角的正弦、余弦、正切值可以总结成以下口诀：可以总结成以下口诀：“1 1、2 2、3 3，3 3、2 2、1 1，3 3、9 9、2727！”即：即：12332 131 3.2222

2、223， ； ，； ， ， 。随。的值随增减性：，商数关系平方关系：同角三角函数的关系系互余两角的三角函数关costan,sin3_,cossincossin2._)90cos(_,)90sin() 1 (2200考点考点3 3 锐角三角函数的性质锐角三角函数的性质 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点4 4 解直角三角形解直角三角形 90 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦第第24讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点6 6 解直角三角形的应用常用知识解直角三角形的应用常用知识h l 越陡越陡 第第24讲讲 考点聚焦考点聚焦第第23讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一求三角函数值类型之一求

3、三角函数值 第第23讲讲 归类示例归类示例B 例 3(1) 如图， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： 用签字笔画 ADBC(D 为格点)，连结 CD； 线段 CD 的长为_； 请你在ACD 的三个内角中任选一个锐角， 若你所选的锐角是_，则它所对应的正弦函数值是_ 若 E 为 BC 中点，则 tanCAE 的值是_ 2021年10月23日4时16分 1.(20101.(2010常德中考常德中考) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90, ,若若AC=2BCAC=2BC，则，则sinAsinA的值是的值是( )( )(A) (

4、B)2 (C) (D)(A) (B)2 (C) (D)【解析】【解析】选选C.C.因为因为C=90C=90，所以所以12555222ABACBC5BC.BCBC5sinA.AB55BC2.(20102.(2010黄冈中考黄冈中考) )在在ABCABC中，中，CC9090， ，则，则tanBtanB( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析】【解析】选选B. B. 因因 ，所以，所以 ，在，在RtRtABCABC中，中，ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2, ,所以所以 ，所以，所以 . .故选故选B.B.4sinA543343545BC4sin

5、AAB54BCAB53ACAB5AC3tanBBC43.(20113.(2011福州中考福州中考)Rt)RtABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c分别是分别是AA、BB、CC的对边，那么的对边，那么c c等于等于( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)acosAbsinBasinAbsinBabsin AsinBabcosAsinB4在 RtABC 中，各边的长都扩大了 3 倍，那么 锐角 A的正弦值( ) A扩大了 3 倍 B缩小了 3 倍 C没有变化 D不能确定 (第 5 题) 5如图，AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 cosAOB

6、 的值是. 6如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的O 的圆心 O 在格点上，则AED 的正切值等于。 7. 如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，连结 CD .若O 的半径 r32，AC2，则 cosB 的值是( ) A.32 B.53 C.52 D.23 新课标新课标 考点随堂练考点随堂练9 9. .已知直角三角形纸片的两直角边长分别为已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6 6，8 8，现将，现将ABCABC如图那样折叠，使点如图那样折叠，使点A A与点与点B B重合，折痕为重合，折痕为DEDE，则，则tan CBEtan CBE的的值是值是( )( )【

7、解析解析】选选C.C.由折叠可知由折叠可知AE=BEAE=BE，利用勾股定理可求出，利用勾股定理可求出CECE，再，再根据三角函数的定义可得根据三角函数的定义可得. .1010. .如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC边上一点，以边上一点，以E E为圆心、为圆心、ECEC为为半径的半圆与以半径的半圆与以A A为圆心，为圆心，ABAB为半径的圆为半径的圆弧外切，则弧外切，则sin EABsin EAB的值为的值为( )( )【解析解析】选选D.D.根据半径相等和正方形的四边相等利用勾股定根据半径相等和正方形的四边相等利用勾股定理可得理可得AB=4CEAB=4CE，再

8、根据三角函数的定义可得，再根据三角函数的定义可得. . 类型之二特殊锐角的三角函数值的应用类型之二特殊锐角的三角函数值的应用 第第23讲讲 归类示例归类示例例例 12012济宁济宁 在在ABC 中， 若中， 若A、 B 满足满足 cosA12 sinB2220，则，则C_. 75 【例【例2 2】(2010(2010凉山中考凉山中考) )计算：计算：【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解答】原式原式= =-2.=-2.1201002cos601|28 |tan30121 112( 21)( )1 ( 82)12( 21)( 21) 22 222 22例例3 3.(2011.(2011丽水

9、中考丽水中考) )计算计算: :【解析】【解析】原式原式= =011854cos45 .2 212142.2 1在 RtABC 中，已知 sinA32，则锐角 A 的度数是( ) A30 B45 C60 D90 2如果一个直角三角形的两条边分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角 三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值( ) A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上，但有限 D有无数个 3 3.(2011.(2011乐山中考乐山中考) )计算：计算：【解析】【解析】 1312( )12.cos3031312( )12.cos3033232 322 332 35.32 4

10、 (1)sin603tan302cos45； (2)cos6022sin45tan30cos30； (3)sin60cos60sin45cos45sin30cos30； 5 5.(2010.(2010湖州中考湖州中考) )河堤横断面如图所河堤横断面如图所示，堤高示，堤高BCBC5 5米，迎水坡米，迎水坡ABAB的坡比是的坡比是 ( (坡比是坡面的铅直高度坡比是坡面的铅直高度BCBC与水平与水平宽度宽度ACAC之比之比) )，则，则ACAC的长是的长是( )( )(A) (A) 米米 (B)10 (B)10米米 (C)15 (C)15米米 (D) (D) 米米【解析】【解析】选选A. , A.

11、, 米米. .135 310 3BC AC13AC3BC5 36 6.(2011.(2011南通中考南通中考) )如图，测量河宽如图，测量河宽AB(AB(假设河的两岸平行假设河的两岸平行) )，在，在C C点测得点测得ACB=30ACB=30，在，在D D点测得点测得ADB=60ADB=60, ,又又CD=60 mCD=60 m，则河宽，则河宽ABAB为为 _m( _m(结果保留根号结果保留根号).).新课标新课标 考点随堂练考点随堂练8 8.(2011.(2011金华中考金华中考) )生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50507070时时(为梯子与地面所成的角为

12、梯子与地面所成的角) )，能够使人安，能够使人安全攀爬全攀爬. .现在有一长为现在有一长为6 6米的梯子米的梯子ABAB，试求能够使人安全攀爬，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.AC.( (结果保留两个有效数字，结果保留两个有效数字，sin70sin700.94,0.94,sin50sin500.77,cos700.77,cos700.34,cos500.34,cos500.64)0.64) 类型之三类型之三 解直角三角形解直角三角形 归类示例归类示例例例 1.路边路灯的灯柱路边路灯的灯柱 BC 垂直于地面， 灯杆垂直于地面， 灯杆 BA 的

13、长为的长为 2 米，米，灯杆与灯柱灯杆与灯柱 BC 成成 120，锥形灯罩的轴线，锥形灯罩的轴线 AD 与灯竿与灯竿 AB 垂直，垂直，且灯罩轴线且灯罩轴线 AD 正好通过道路路面的中心线正好通过道路路面的中心线(D 在中心线上在中心线上)已已知点知点 C 与点与点 D 之间的距离为之间的距离为 12 米，求灯柱米，求灯柱 BC 的高的高(结果保留结果保留根号根号) 3. 计算某些建筑物的高度计算某些建筑物的高度(或宽度或宽度)； 4. 将实际问题转化为直角三角形问题将实际问题转化为直角三角形问题 第第24讲讲 归类示例归类示例例例 2 2012凉山州凉山州 某校学生去春游，在风景区看到一棵某

14、校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：话： 小明：我站在此处看树顶仰角为小明：我站在此处看树顶仰角为 45. 小华：我站在此处看树顶仰角为小华：我站在此处看树顶仰角为 30. 小明：我们的身高都是小明：我们的身高都是 1.6 m. 小华：我们相距小华：我们相距 20 m. 请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度度(参考数据：参考数据： 21.414， 31.732，结果保留三个有效，结果保留三个有效数字数字) 新课标新课标 考点随堂练考点随堂练

15、例例4 4.(2011.(2011南通中考南通中考) )如图，测量河宽如图，测量河宽AB(AB(假设河的两岸平行假设河的两岸平行) )，在，在C C点测得点测得ACB=30ACB=30，在，在D D点测得点测得ADB=60ADB=60, ,又又CD=60 mCD=60 m，求求河宽河宽ABAB。第第24讲讲 归类示例归类示例1.(20101.(2010哈尔滨中考哈尔滨中考) )在在RtRtABCABC中，中，C C9090，B B3535，ABAB7 7，则，则BCBC的长为的长为( )( )(A)7sin35(A)7sin35 (B) (B) (C)7cos35(C)7cos35 (D)7t

16、an35 (D)7tan35【解析解析】选选C.C.由三角函数的定义可知由三角函数的定义可知. .3.3.如图，小明要测量河内小岛如图，小明要测量河内小岛B B到河边公路到河边公路l的距离，在的距离，在A A点测点测得得BAD=30BAD=30，在，在C C点测得点测得BCD=60BCD=60，又测得，又测得AC=50AC=50米，则米，则小岛小岛B B到公路到公路l的距离为的距离为( )( )(A)25(A)25米米 (B) (B) 米米(C) (C) 米米 (D)25(1+ )(D)25(1+ )米米【解析解析】选选B.B.通过解直角三角形可得通过解直角三角形可得. .100 3325 3

17、34.(20104.(2010中山中考中山中考) )如图如图, ,已知已知RtRtABCABC中中, ,斜边斜边BCBC上的高上的高AD=4, ,AD=4, ,则则AC=_.AC=_.【解析】【解析】由题意可得由题意可得B=DACB=DAC，则，则 ，因，因为为 ，所以，所以 ，得，得AC=5.AC=5.答案：答案：5 54cosB54cos DACcosB5ADcos DACAC44AC55 5.(2010.(2010日照中考日照中考) )如图，在等腰如图，在等腰RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，D D是是ACAC上一点，若上一点，若 ，则，则ADAD的的长为长

18、为( )( )(A)2 (B)(A)2 (B)(C) (D)1(C) (D)11tan DBA5327.(20107.(2010晋江中考晋江中考) )已知：如图，有一块含已知：如图，有一块含3030的直角三角的直角三角板板OABOAB的直角边长的直角边长BOBO的长恰与另一块等腰直角三角板的长恰与另一块等腰直角三角板ODCODC的斜的斜边边OCOC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3.AB=3.(1)(1)若双曲线的一个分支恰好经过点若双曲线的一个分支恰好经过点A A，求双曲线的解析式；，求双曲线的解析式；(2)(2)若把含若

19、把含3030的直角三角板绕点的直角三角板绕点O O按顺时针方向旋转后，斜按顺时针方向旋转后，斜边边OAOA恰好与恰好与x x轴重叠，点轴重叠，点A A落在点落在点AA，试求图中阴影部分的面，试求图中阴影部分的面积积( (结果保留结果保留).). 类型之五类型之五 利用直角三角形解决航海问题利用直角三角形解决航海问题 第第24讲讲 归类示例归类示例第第24讲讲 归类示例归类示例例例2 2.(2010.(2010深圳中考深圳中考) )如图如图, ,一艘海轮位一艘海轮位于灯塔于灯塔P P的东北方向的东北方向, ,距离灯塔距离灯塔 海里海里的的A A处处, ,它沿正南方向航行一段时间后它沿正南方向航行

20、一段时间后, ,到达位于灯塔到达位于灯塔P P的南偏东的南偏东3030方向上的方向上的B B处处, ,求求海轮行驶的路程海轮行驶的路程ABAB。( (结果保留根号结果保留根号).).40 2 类型之六类型之六 利用直角三角形解决坡度问题利用直角三角形解决坡度问题 第第24讲讲 归类示例归类示例新课标新课标 归类示例归类示例例例 3.3.20112011荆州荆州 某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图 25255 5 所示已知上、下所示已知上、下桥的坡面线桥的坡面线MEME、NFNF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i i1 13.