三向量的双重向量积

1、解析几何http:/1.101.10三向量的双重向量积三向量的双重向量积解析几何http:/解析几何http:/定义定义1: 给定空间三向量，给定空间三向量，先作先作其中两个向量的其中两个向量的向量积向量积，再作再作所得向量与第三个向量的所得向量与第三个向量的向量积向量积，那么最后的结果仍然是一个那么最后的结果仍然是一个向量向量，叫做所给，叫做所给三向三向量的双重向量积量的双重向量积。a bc , ,a b c 就是向量 的 双重向量积一、双重向量积的概念一、双重向量积的概念解析几何http:/双重向量积的几何关系双重向量积的几何关系()a ba bc ()abc()a baba二、双重向量积

2、的性质二、双重向量积的性质()a bb解析几何http:/定理定理1.a bca c bb c a 2a b ca bca ba b ca bcaabaaba b a.(1)aba a ba babaab22 证：若 ， 中有一个为零向量，或 ，共线，或 与 ，都垂直，定理显然成立.现在设 ， 为三个非零向量，且 ，不共线，为了证明1.10.1成立，先来证明当时成立，即有（）（） （）由于（）， ，共面，而 ，不共线，从而可设（），（ ）（ ）式2222a baa b0a bbaba ba21 两边先后与 ，作数量积得 （） （），（） （）（），于是解得=-，代入（ ）式即得（ ）式成立.1

3、.10.1解析几何http:/22aa b ba bba （ ）+（）（）+（ ）aaba b bbaba b a （）（）a cbb c a . （）22aba bcaba ba bca baba ba bab ab .1a bca ba bab aa b b 下证1.10.1成立，因为， ， 不共面，故可设，从而有（）（）（）（）利用（）式可得（）（ ）（ ）（ ）（ ）解析几何http:/abcabcabcbcacbaa c ba b c.(1.10.2)0.2abcabc 需要注意的是，在一般情况下（）（）.事实上，（） （）（）（） （）比较（）和（）可知（） 和

4、（）在一般情况下是两个不同的向量，因此向量积不满足结合律.解析几何http:/ a aa ba babb ab b 拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式对任意对任意4 4个向量，有个向量，有abaaba(a a )b(b a )a(a a )(b)(a)(b a ).bbbbb证 ： （） （） =（）解析几何http:/例例1 试证雅可比试证雅可比（jacobi）恒等式）恒等式0a bcb cacab b,abca c bb c abcaaca c bcabb c aa b c 证 ： 因 为，0.abcbcacab三式相加可得解析几何http:/ a bababb aaba baa b bba b a 例例2 证明证明证明：设()abe,则()( )( )ababeab () () e b ae a b () () abb aaba b ()() abbaaba