2021版高考数学一轮复习单元评估检测四含解析新人教B版

1、单元评估检测(四)(第八章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量m=(+1,1,2),n=(+2,2,1),若(m+n)(m-n),则= ()a.b.-c.-2d.-1【解析】选b.因为(m+n)(m-n),所以(m+n)(m-n)=m2-n2=(+1)2+12+22-(+2)2+22+12=-2-3=0,即=-.2.设x,y,z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:x,y,z均为直线;x,y是直线,z是平面;z是直线,x,y是平面;x,y,z均为平面.其中使“xz且yzxy”为真命题的是

2、()a.b. c. d.【解析】选c.由正方体模型可知为假命题;由线面垂直的性质定理可知为真命题.3.如图,正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f,m,n分别为bc,cc1,a1d1,c1d1的中点,则直线ef,mn所成角的大小为()a.b.c.d.【解析】选c.连接a1c1,bc1,a1b, 根据e,f,m,n分别为bc,cc1,a1d1,c1d1的中点,可得到mn是三角形a1c1d1的中位线,故得到mna1c1,同理可得到bc1ef,进而直线ef,mn所成角的大小,可转化为a1c1与bc1的夹角,三角形a1bc1的三边均为正方体的面对角线,是等边三角形,故a1c1与bc1的夹角为.4.

3、正四棱锥的侧棱长为2,侧棱与底面所成的角为60,则该棱锥的体积为()a.3b.6c.9d.18 【解析】选b.由已知,棱锥的高为3,底面边长为,所以该棱锥的体积v=sh=()23=6. 5.已知一圆锥的底面直径与母线长相等,一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切,则球与圆锥的表面积之比为()a.b.c.d.【解析】选b.设圆锥底面圆半径为r,球的半径为r, 由题意知,圆锥的轴截面是边长为2r的等边三角形,球的大圆是该等边三角形的内切圆,所以r=r,s球的表面积=4r2=4r2=r2,s圆锥表面积=r2r+r2=3r2,所以球与圆锥的表面积之比为=.6.已知棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d

4、1,球o与该正方体的各个面相切,则平面acd1截此球所得的截面的面积为()a.b.c.d.【解析】选d.因为球与各面相切,所以直径为2,且ac,ad1,cd1的中点在所求的切面圆上,所以所求截面为此三点构成的边长为的正三角形的外接圆,设此圆半径为r,由正弦定理知,r=,所以截面的面积s=.7.如图,直三棱柱abc-a1b1c1的六个顶点都在半径为1的半球面上,ab=ac,侧面bcc1b1是半球底面圆的内接正方形,则侧面abb1a1的面积为()a.2b.1c.d.【解析】选c.球心在面bcc1b1的中心o上,bc为abc所在截面圆的直径,所以bac=90,a1b1c1外心m在b1c1中点上,连接

5、om,oc1,设正方形bcc1b1的边长为x,在rtomc1中,om=,mc1=,oc1=r=1,所以2+2=1,即x=(负值舍去),则ab=ac=1,所以=1=.8.如图,在平面四边形abcd中,e,f分别是ad,bd的中点,ab=ad=cd=2,bd=2,bdc=90,将abd沿对角线bd折起至abd,使平面abd平面bcd,则在四面体a-bcd中,下列结论不正确的是()世纪金榜导学号a.ef平面abcb.异面直线cd与ab所成的角为90c.异面直线ef与ac所成的角为60d.直线ac与平面bcd所成的角为30【解析】选c.a选项:因为e,f分别为ad和bd两边的中点,所以efab,又ab

6、平面abc,所以ef平面abc,a正确;b选项:因为平面abd平面bcd,交线为bd,且cdbd,所以cd平面abd,即cdab,故b正确;c选项:取cd边中点m,连接em,fm,则emac,所以fem为异面直线ef与ac所成角,又ef=1,em=,fm=,即fem=90,故c错误;d选项:因为平面abd平面bcd,连接af,则afbd,所以af平面cbd,连接fc,所以acf为ac与平面bcd所成的角,又cdad,所以ac=2,又af=,sinacf=,所以acf=30,d正确.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9

7、.关于空间两条直线a,b和平面,下列命题不正确的是()a.若ab,b,则ab.若a,b,则abc.若a,b,则abd.若a,b,则ab【解析】选abc.线面平行的判定定理中的条件要求a,故a错;对于线面平行,这条直线与面内的直线的位置关系可以平行,也可以异面,故b错;平行于同一个平面的两条直线的位置关系:平行、相交、异面都有可能,故c错;垂直于同一个平面的两条直线是平行的,故d正确.10.给出以下四个命题,其中正确的为()a.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行b.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面c.如

8、果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行d.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直【解析】选abd.根据直线与平面平行的性质可知a正确.根据直线与平面垂直的判定定理可知b正确.因为平行于一个平面的两条直线可以平行,也可以相交,也可以是异面直线,所以c错误.由两个平面垂直的判定定理可知d正确.11.圆柱的侧面展开图是长12 cm,宽8 cm的矩形,则这个圆柱的体积为()a. cm3b. cm3c.288 cm3d.192 cm3【解析】选ab.当圆柱的高为8 cm时,v=8= (cm3),当圆柱的高为12 cm时,v=12= (cm3).12.已知m和n是两条不同

9、的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中不一定能推出m的是()a.且m b.且m c.mn且n d.mn且n【解析】选abd.且mm或m或m与相交,故a不一定能推出m;且mm或m或m与相交,故b不一定能推出m;mn,且nm,故c可以推出m;由mn,且n,知m或m与相交或m,故d不一定能推出m,故a、b、d符合题意.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.平行六面体abcd-a1b1c1d1中,=(1, 2, 0),=(2, 1, 0),=(0, 1, 5),则对角线ac1的长为_.【解析】因为=+=+=(0, 1, 5)+(1, 2, 0)

10、+(2, 1, 0)=(3, 4, 5),所以|=5.答案:514.如图,在三棱柱a1b1c1-abc中,已知d,e,f分别为ab,ac,aa1的中点,设三棱锥a-fed的体积为v1,三棱柱a1b1c1-abc的体积为v2,则v1v2的值为_.【解析】设三棱柱的高为h,因为f是aa1的中点,则三棱锥f-ade的高为,因为d,e分别是ab,ac的中点,所以sade=sabc,因为v1=sade,v2=sabch,所以=.答案:15.如图1,已知点e,f,g分别是棱长为a的正方体abcd-a1b1c1d1的棱aa1,bb1,dd1的中点,点m,n,p,q分别在线段ag,cf,be,c1d1上运动,

11、当以m,n,p,q为顶点的三棱锥q-pmn的俯视图是如图2所示的正方形时,则点q到平面pmn的距离为_.世纪金榜导学号【解析】根据俯视图可知,点p,q,m,n的位置如图所示.易知点q到平面pmn的距离即为正方体的高a.答案: a16.圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器内的水面下降了 cm,则这个铁球的体积为_ cm3,表面积为_ cm2.【解析】下降的水的体积即为球的体积,所以v球=102=cm3.设该铁球的半径为r,则由题意得r3=102,解得r3=53,所以r=5,所以这个铁球的表面积s=452=100(cm2).答案:100四、

12、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,四棱锥p-abcd中,平面pad平面abcd,e为线段ad的中点,且ae=ed=bc=2,pa=pd=pb=4.pbac.(1)证明:平面pbe平面pac.(2)若bcad,求三棱锥p-acd的体积.【解析】(1)因为pa=pd,e是ad的中点,所以pead,又因为平面pad平面abcd,平面pad平面abcd=ad,所以pe平面abcd,又ac平面abcd,所以peac,又pbac,pepb=p,所以ac平面pbe,又ac平面pac,所以平面pbe平面pac.(2)由(1)知ac平面pbe

13、,故acbe,因为bcad,bc=ad=de,所以四边形bcde是平行四边形,所以cd=be,cdbe,所以accd,因为pa=pd=pb=4,ae=de=bc=2,所以pe=2,所以be=2,即cd=2,所以ac=2.所以vp-acd=sacdpe=222=4.18.(12分)(2019天津高考)如图,ae平面abcd,cfae,adbc,adab,ab=ad=1,ae=bc=2.(1)求证:bf平面ade.(2)求直线ce与平面bde所成角的正弦值.(3)若二面角e-bd-f的余弦值为,求线段cf的长.【解析】依题意,可以建立以a为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标

14、系(如图),可得a(0,0,0),b(1,0,0),c(1,2,0),d(0,1,0),e(0,0,2).设cf=h(h0),则f(1,2,h).(1)依题意,=(1,0,0)是平面ade的法向量,又=(0,2,h),可得=0,又因为直线bf平面ade,所以bf平面ade.(2)依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).设n=(x,y,z)为平面bde的法向量,则即不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos=-.所以直线ce与平面bde所成角的正弦值为.(3)设m=(x,y,z)为平面bdf的法向量,则即不妨令y=1,可得m=.由题意,有|cos |=,解得

15、h=.经检验,符合题意.所以线段cf的长为.19.(12分)(2020清华附中模拟)如图,在平行四边形abcd中,a=45,ab=,bc=2,bead于点e,将abe沿be折起,使aed=90,连接ac,ad,得到如图所示的几何体.(1)求证:平面acd平面abc.(2)若点p在线段ab上,直线pd与平面bcd所成角的正切值为,求三棱锥p-bcd的体积.【解析】(1)因为beae,deae,bede=e,所以ae平面bcde,以e为坐标原点,以ed,eb,ea所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则a(0,0,1),b(0,1,0),c(2,1,0),d(1,0,0),设ac的中点为m,则m

16、,所以=,=(0,1,-1),=(2,0,0),所以=0,=0,所以dmab,dmbc,又abbc=b,ab平面abc,bc平面abc,所以dm平面abc,又dm平面acd,所以平面acd平面abc.(2)过p作pnbe,垂足为n,连接dn,则pnae,所以pn平面bcde,所以pdn为直线pd与平面bcd所成的角.设pn=x,则bn=x,故en=1-x,所以dn=,所以tanpdn=,解得x=,即pn=.因为bd=,cd=ab=,bc=2,所以bd2+cd2=bc2,所以bdcd.所以sbcd=bdcd=1,所以三棱锥p-bcd的体积v=sbcdpn=1=.20.(12分)如图,在正方形ab

17、cd中,点e,f分别是ab,bc的中点,将aed,dcf分别沿de,df折起,使a,c两点重合于p.(1)求证:平面pbd平面bfde.(2)求二面角p-de-f的余弦值.【解析】(1)连接ef交bd于o,连接op.在正方形abcd中,点e是ab中点,点f是bc中点,所以be=bf,de=df,所以debdfb,所以在等腰def中,o是ef的中点,且efod,因此在等腰pef中,efop,从而ef平面opd,又ef平面bfde,所以平面bfde平面opd,即平面pbd平面bfde.(2)方法一:在正方形abcd中,连接af,交de于g,设正方形abcd的边长为2,由于点e是ab中点,点f是bc

18、中点,所以rtdaertabf,于是ade=fab,从而adg+dag=eag+dag=90,所以afde,于是,在翻折后的几何体中, pgf为二面角p-de-f的平面角,在正方形abcd中,解得ag=,gf=,所以,在pgf中,pg=ag=,gf=,由余弦定理得cospgf=,所以,二面角p-de-f的余弦值为.方法二:由题知pe,pf,pd两两互相垂直,故以p为原点,向量,方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系.设正方形边长为2,则p(0,0,0),e(0,1,0),f(1,0,0),d(0,0,2).所以=(1,-1,0),=(0,-1,2).设m=(x,y,z)为平面

19、efd的一个法向量,由 得令x=1,得m=1,1,又由题知n=(1,0,0)是平面ped的一个法向量,所以cos=.所以,二面角p-de-f的余弦值为.21.(12分)如图,已知多面体pabcde的底面abcd是边长为2的菱形, pa底面abcd,edpa,且pa=2ed=2.世纪金榜导学号(1)证明:直线bd平面pce.(2)证明:平面pac平面pce.(3)若直线pc与平面abcd所成的角为45,求二面角p-ce-d的余弦值.【解析】(1)连接bd,交ac于点o,设pc中点为f,连接of,ef.因为o,f分别为ac,pc的中点,所以ofpa,且of=pa,因为depa,且de=pa,所以o

20、fde,且of=de,所以四边形ofed为平行四边形,所以odef,即bdef,又bd平面pce, ef面pce,所以bd面pce.(2)因为pa平面abcd,bd平面abcd,所以pabd.因为abcd是菱形,所以bdac.因为paac=a,所以bd平面pac,因为bdef,所以ef平面pac,因为ef平面pce,所以平面pac平面pce.(3)方法一:因为直线pc与平面abcd所成角为45,所以pca=45,所以ac=pa=2,所以ac=ab,故abc为等边三角形.设bc的中点为m,连接am,则ambc.以a为原点,am,ad,ap分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系 (如图).则p(0

21、,0,2),c(,1,0),e(0,2,1),d(0,2,0),=(,1,-2),=(-,1,1),=(0,0,1),设平面pce的法向量为n=(x1,y1,z1),则,即,令y1=1,则,所以n=(,1,2),设平面cde的法向量为m=(x2,y2,z2),则,即,令x2=1,则,所以m=(1,0),设二面角p-ce-d的大小为,由于为钝角,所以cos =-|cos|=-=-=-.所以二面角p-ce-d的余弦值为-.方法二:因为直线pc与平面abcd所成角为45,且pa平面abcd,所以pca=45,所以ac=pa=2.因为ab=ac=2,所以abc为等边三角形.因为pa平面abcd,由(1)知paof,所以of平面abcd.因为ob平面abcd,oc平面abcd,所以ofob且ofoc.在菱形abcd中,oboc.以点o为原点,ob,oc,of分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系o-xyz(如图).则o(0,0,0),p(0,-1,2),c(0,1,0),d(-,0,0),e(-,0,1),则=(0,-2,2),=(-,-1,1),=(-,-1,0)设平面pce的法向量为n=(x1,y1,z1),则,即,令y1=1,则,则法向量n=(0,1,1).设