2021高考数学一轮复习专练46高考大题专练四立体几何的综合运用含解析理新人教版

1、专练46高考大题专练(四)立体几何的综合运用12019全国卷如图，长方体abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，点e在棱aa1上，beec1.(1)证明：be平面eb1c1；(2)若aea1e，求二面角becc1的正弦值2如图，四边形abcd为正方形，e，f分别为ad，bc的中点，以df为折痕把dfc折起，使点c到达点p的位置，且pfbf.(1)证明：平面pef平面abfd；(2)求dp与平面abfd所成角的正弦值3如图，adbc且ad2bc，adcd，egad且egad，cdfg且cd2fg，dg平面abcd，dadcdg2.(1)若m为cf的中点，n为eg的中点，求证：mn平面cd

2、e；(2)求二面角ebcf的正弦值；(3)若点p在线段dg上，且直线bp与平面adge所成的角为60，求线段dp的长42020全国卷如图，d为圆锥的顶点，o是圆锥底面的圆心，ae为底面直径，aead.abc是底面的内接正三角形，p为do上一点，podo.(1)证明：pa平面pbc；(2)求二面角bpce的余弦值5.2020全国卷如图，已知三棱柱abca1b1c1的底面是正三角形，侧面bb1c1c是矩形，m，n分别为bc，b1c1的中点，p为am上一点，过b1c1和p的平面交ab于e，交ac于f.(1)证明：aa1mn，且平面a1amn平面eb1c1f；(2)设o为a1b1c1的中心若ao平面e

3、b1c1f，且aoab，求直线b1e与平面a1amn所成角的正弦值专练46高考大题专练(四)立体几何的综合运用1.解析：本题主要考查空间直线与平面的位置关系、利用空间向量法求二面角，意在考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算(1)由已知得，b1c1平面abb1a1，be平面abb1a1，故b1c1be.又beec1，所以be平面eb1c1.(2)由(1)知beb190.由题设知rtaberta1b1e，所以aeb45，故aeab，aa12ab.以d为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系d

4、xyz，则c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，e(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面ebc的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ecc1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m.所以，二面角becc1的正弦值为.2解析：(1)证明：由已知可得bfpf，bfef，pfeff，所以bf平面pef.又bf平面abfd，所以平面pef平面abfd.(2)解析：作phef，垂足为h.由(1)得，ph平面abfd.以h为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系hx

5、yz.由(1)可得，depe.又dp2，de1，所以pe.又pf1，ef2，故pepf.可得ph，eh.则h(0,0,0)，p，d，为平面abfd的法向量设dp与平面abfd所成角为，则sin .所以dp与平面abfd所成角的正弦值为.3解析：依题意，可以建立以d为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(1,2,0)，c(0，2,0)，e(2，0,2)，f(0,1,2)，g(0,0,2)，m，n(1,0,2)(1)证明：依题意(0,2,0)，(2,0,2)设n0(x，y，z)为平面cde的法向量，则即不妨令z1，可得n

6、0(1,0，1)又，可得n00，又因为直线mn平面cde，所以mn平面cde.(2)依题意，可得(1,0,0)，(1，2，2)，(0，1,2)设n(x1，y1，z1)为平面bce的法向量，则即不妨令z1，可得n(0,1,1)设m(x2，y2，z2)为平面bcf的法向量，则即不妨令z1，可得m(0,2,1)因此有cosm，n，于是sinm，n.所以，二面角ebcf的正弦值为.(3)设线段dp的长为h(h0,2)，则点p的坐标为(0,0，h)，可得(1，2，h)易知，(0,2,0)为平面adge的一个法向量，故|cos，|，由题意，可得sin 60，解得h0,2所以，线段dp的长为.4解析：(1)

7、设doa，由题设可得poa，aoa，aba，papbpca.因此pa2pb2ab2，从而papb.又pa2pc2ac2，故papc.所以pa平面pbc.(2)以o为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系o xyz.由题设可得e(0,1,0)，a(0，1,0)，c，p.所以，.设m(x，y，z)是平面pce的法向量，则即可取m.由(1)知是平面pcb的一个法向量，记n，则cosn，m.易知二面角b pce的平面角为锐角，所以二面角b pc e的余弦值为.5解析：(1)因为m，n分别为bc，b1c1的中点，所以mncc1.又由已知得aa1cc1，故aa1mn.因为a1b1c1是正三角形，所以b1c1a1n.又b1c1mn，故b1c1平面a1amn.所以平面a1amn平面eb1c1f.(2)由已知得ambc.以m为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系mxyz，则ab2，am.连接np，则四边形aonp为平行四边形，故pm