2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何第1讲直线与圆含解析

1、第第 1 1 讲讲 直线与圆直线与圆 高考定位 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现. 真 题 感 悟 1.(2020 全国卷)在平面内， a， b 是两个定点， c 是动点.若ac bc1， 则点 c 的轨迹为( ) a.圆 b.椭圆 c.抛物线 d.直线 解析 以 ab 所在直线为 x 轴，线段 ab 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，设点 a，b分别为(a，0)，(a，0)(a0)，点 c 为(x，y)，则ac(xa，y)，bc(xa，y)，所以ac bc(xa)(xa)

2、y yx2y2a21，整理得 x2y2a21.因此点 c 的轨迹为圆.故选 a. 答案 a 2.(2020 全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2xy30 的距离为( ) a.55 b.2 55 c.3 55 d.4 55 解析 因为圆与两坐标轴都相切， 且点(2， 1)在圆上.所以可设圆的方程为(xa)2(ya)2a2(a0).则(2a)2(1a)2a2，解之得 a1 或 a5.所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线 2xy30 的距离 d|2113|22（1）22 55或 d|2553|52 55. 答案 b 3.(2020 全国卷)已知m：x2y2

3、2x2y20，直线 l：2xy20，点 p 为 l 上的动点.过点 p 作m 的切线 pa，pb，切点为 a，b，当|pm| |ab|最小时，直线 ab 的方程为( ) a.2xy10 b.2xy10 c.2xy10 d.2xy10 解析 由m：x2y22x2y20， 得m：(x1)2(y1)24，所以圆心 m(1，1). 如图，连接 am，bm，易知四边形 pamb 的面积为12|pm| |ab|，欲使|pm| |ab|最小，只需四边形 pamb 的面积最小，即只需pam 的面积最小. 因为|am|2，所以只需|pa|最小. 又|pa|pm|2|am|2|pm|24， 所以只需直线 2xy2

4、0 上的动点 p 到 m 的距离最小，其最小值为|212|5 5，此时pml，易求出直线 pm 的方程为 x2y10. 由2xy20，x2y10，得x1，y0，所以 p(1，0). 易知 p、a、m、b 四点共圆，所以以 pm 为直径的圆的方程为 x2y122522，即 x2y2y10， 由得，直线 ab 的方程为 2xy10，故选 d. 答案 d 4.(2019 全国卷)已知点 a，b 关于坐标原点 o 对称，|ab|4，m 过点 a，b 且与直线 x20 相切. (1)若 a 在直线 xy0 上，求m 的半径； (2)是否存在定点 p，使得当 a 运动时，|ma|mp|为定值？并说明理由.

5、 解 (1)因为m 过点 a，b，所以圆心 m 在 ab 的垂直平分线上.由已知 a 在直线 xy0 上，且 a，b 关于坐标原点 o 对称，所以 m 在直线 yx 上，故可设 m(a，a). 因为m 与直线 x20 相切，所以m 的半径为 r|a2|.连接 ma，由已知得|ao|2. 又 moao，故可得 2a24(a2)2，解得 a0 或 a4. 故m 的半径 r2 或 r6. (2)存在定点 p(1，0)，使得|ma|mp|为定值. 理由如下： 设 m(x，y)，由已知得m 的半径为 r|x2|，|ao|2. 由于 moao，故可得 x2y24(x2)2, 化简得 m 的轨迹方程为 y2

6、4x. 因为曲线 c：y24x 是以点 p(1，0)为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，所以|mp|x1. 因为|ma|mp|r|mp|x2(x1)1， 所以存在满足条件的定点 p. 考 点 整 合 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2的斜率 k1，k2存在，则 l1l2k1k2，l1l2k1k2 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线 l1：axbyc10 与 l2：axbyc20 间的距离 d|c1c2|a2b2. (2)点(x0，y0)到直线 l：axbyc0 的距离 d|ax0by0c|a2b2. 3.圆

7、的方程 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2y2dxeyf0(d2e24f0)，圆心为d2，e2，半径为 rd2e24f2. 4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：dr相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨论位置关系：0相交；0相切；0)，则 y|xx012x012k ， x0kx0b ，由可得 b12x0，将 b12x0，k12x012代入得 x01 或 x015(舍去)，所以 kb12，故直线 l 的方程 y12x12

8、. (2)由 x2y24x0，得(x2)2y24，则圆心为 c(2，0)，半径 r2，过点 p 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为 a，b，连接 ac，bc，所以四边形 pacb 为正方形，即 pc 2r2 2，圆心到直线的距离 d|2k0k|1k22 2，即2 2k2 2，所以实数 k 的取值可以是 1，2.故选 ab. 答案 (1)d (2)ab 探究提高 1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直， 圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. 2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算. 【

9、训练 3】 (1)(2020 浙江卷)已知直线 ykxb(k0)与圆 x2y21 和圆(x4)2y21 均相切，则 k_，b_. (2)已知o：x2y21，点 a(0，2)，b(a，2)，从点 a 观察点 b，要使视线不被o 挡住，则实数 a 的取值范围是( ) a.(，2)(2，) b.，4 334 33， c.，2 332 33， d.4 33，4 33 解析 (1)直线 kxyb0(k0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为 1，及圆心坐标为(4，0)，半径为 1 的两圆相切， 可得|b|k211，|4kb|k211， 由，解得k33，b2 33. (2)易知点 b 在直线 y2 上，过点

10、 a(0，2)作圆的切线. 设切线的斜率为 k，则切线方程为 ykx2， 即 kxy20. 由 d|002|1k21，得 k 3. 切线方程为 y 3x2，和直线 y2 的交点坐标分别为4 33，2 ，4 33，2 . 故要使视线不被o 挡住，则实数 a 的取值范围是，4 334 33， . 答案 (1)33 2 33 (2)b 角度 2 圆的弦长的相关计算 【例 4】 在直角坐标系 xoy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 a，b 两点，点 c 的坐标为(0，1).当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 acbc 的情况？说明理由； (2)证明过 a，b，c 三点的圆在 y 轴

11、上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现 acbc 的情况，理由如下： 设 a(x1，0)，b(x2，0)，则 x1，x2满足方程 x2mx20， 所以 x1x22.又 c 的坐标为(0，1)， 故 ac 的斜率与 bc 的斜率之积为1x11x212， 所以不能出现 acbc 的情况. (2)证明 bc 的中点坐标为x22，12，可得 bc 的中垂线方程为 y12x2xx22. 由(1)可得 x1x2m， 所以 ab 的中垂线方程为 xm2. 联立xm2， y12x2xx22， 又 x22mx220， 由解得 xm2，y12. 所以过 a，b，c 三点的圆的圆心坐标为m2，12，半径 rm29

12、2. 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2m223， 即过 a，b，c 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题. 2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理. 【训练 4】 (1)(2020 天津卷)已知直线 x 3y80 和圆 x2y2r2(r0)相交于 a，b 两点.若|ab|6，则 r 的值为_. (2)(2020 菏泽联考)已知圆 o： x2y24， 直线 l 与圆 o 交于 p， q 两点， a

13、(2， 2)， 若|ap|2|aq|240，则弦 pq 的长度的最大值为_. 解析 (1)依题意得，圆心(0，0)到直线 x 3y80 的距离 d|8|12（ 3）24，因此r2d2|ab|2225，又 r0，所以 r5. (2)设点 m 为 pq 的中点，则|pm|mq|， 在apq 中，由余弦定理易得 |ap|2|aq|2|am|2|pm|2|mq|2|am|22(|am|2|mq|2) 又|mq|2|oq|2|om|24|om|2，|ap|2|aq|240. 402|am|282|om|2，则|am|2|om|216， 设 m(x，y)，则(x2)2(y2)2(x2y2)16. 化简得

14、xy20. 当 oml 时，om 取到最小值，即|om|min22 2. 此时，|pq|2|oq|2|om|22 2. 故弦 pq 的长度的最大值为 2 2. 答案 (1)5 (2)2 2 a 级 巩固提升 一、选择题 1.(2020 长沙模拟)命题 p：m2，命题 q：直线(m1)xym120 与直线 mx2y3m0垂直，则 p 是 q 成立的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 解析 若两直线垂直， 则(m1)m(1)20， 解之得 m2 或 m1.p 是 q 成立的充分不必要条件. 答案 a 2.过点 a(1，2)的直线在两坐标轴上的截距

15、之和为零，则该直线方程为( ) a.yx1 b.yx3 c.2xy0 或 xy3 d.2xy0 或 yx1 解析 当直线过原点时，可得斜率为20102， 故直线方程为 y2x， 当直线不过原点时，设方程为xaya1， 代入点(1，2)可得1a2a1，解得 a1， 方程为 xy10， 故所求直线方程为 2xy0 或 yx1. 答案 d 3.过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) a.2xy50 b.2xy70 c.x2y50 d.x2y70 解析 依题意知，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点.圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以

16、切线的斜率 k2.故过点(3，1)的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70. 答案 b 4.(2020 全国卷)点(0，1)到直线 yk(x1)距离的最大值为( ) a.1 b. 2 c. 3 d.2 解析 设点 a(0，1)，直线 l：yk(x1)，由 l 恒过定点 b(1，0)，当 abl 时，点 a(0，1)到直线 yk(x1)的距离最大，最大值为 2.故选 b. 答案 b 5.(2020 合肥调研)已知点 p 为圆 c：(x1)2(y2)24 上一点，a(0，6)，b(4，0)，则|papb|的最大值为( ) a. 262 b. 264 c.2 264 d.2 262 解析 取 a

17、b 中点 d(2，3)， 则papb2pd，|papb|2pd|2|pd|， 又由题意知，圆 c 的圆心 c(1，2)，半径为 2， |pd|的最大值为圆心 c(1，2)到 d(2，3)的距离 d 再加半径 r， 又 d 125 26，dr 262， 2|pd|的最大值为 2 264， 即|papb|的最大值为 2 264. 答案 c 6.(多选题)集合 a(x，y)|x2y24，b(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 ab中有且仅有一个元素，则 r 的值是( ) a.3 b.5 c.7 d.9 解析 圆 x2y24 的圆心是 o(0，0)，半径为 r2，圆(x3)2(y4)2

18、r2的圆心是 c(3，4)，半径为 r，|oc|5，当 2r5，r3 时，两圆外切；当|r2|5，r7 时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合 ab 只有一个元素.故选 ac. 答案 ac 7.(多选题)已知点 a 是直线 l：xy 20 上一定点，点 p，q 是圆 x2y21 上的动点，若paq 的最大值为 90 ，则点 a 的坐标可以是( ) a.(0， 2) b.(1， 21) c.( 2，0) d.( 21，1) 解析 如图所示，坐标原点 o 到直线 l：xy 20 的距离 d212121，则直线 l 与圆x2y21 相切，由图可知，当 ap，aq 均为圆 x2y21 的切线时，p

19、aq 取得最大值，连接op，oq，由于paq 的最大值为 90 ，且apoaqo90 ，|op|oq|1，则四边形apoq 为正方形，所以|oa|2|op|2.设 a(t， 2t)，由两点间的距离公式得|oa|t2（ 2t）2 2， 整理得 2t22 2t0， 解得 t0 或 t 2， 因此， 点 a 的坐标为(0， 2)或( 2，0).故选 ac. 答案 ac 8.(多选题)已知圆 c1：x2y2r2与圆 c2：(xa)2(yb)2r2(r0)交于不同的两点 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则下列结论正确的是( ) a.a(x1x2)b(y1y2)0 b.2ax12by1a2b2 c.x

20、1x2a d.y1y22b 解析 圆 c2的方程为 x2y22ax2bya2b2r20，两圆的方程相减，可得直线 ab 的方程为 2ax2bya2b20，即得 2ax2bya2b2，分别把 a(x1，y1)，b(x2，y2)两点的坐标代入， 可得 2ax12by1a2b2， 2ax22by2a2b2， 两式相减可得 2a(x1x2)2b(y1y2)0，即 a(x1x2)b(y1y2)0，所以选项 a、b 均正确；由圆的性质可得，线段 ab 与线段 c1c2互相平分，所以 x1x2a，y1y2b，所以选项 c 正确，选项 d 不正确. 答案 abc 二、填空题 9.(2019 北京卷)设抛物线

21、y24x 的焦点为 f，准线为 l.则以 f 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_. 解析 抛物线 y24x 的焦点 f 的坐标为(1，0)，准线 l 为直线 x1， 所求的圆以 f 为圆心，且与准线 l 相切，故圆的半径 r2. 所以圆的方程为(x1)2y24. 答案 (x1)2y24 10.已知圆 c 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 m(0， 5)在圆 c 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 c 的方程为_. 解析 圆 c 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 c(a，0)，且 a0. 则圆心 c 到直线 2xy0 的距离 d|2a0|54 55，解得 a2.圆 c 的半径 r|

22、cm|（20）2（0 5）23，因此圆 c 的方程为(x2)2y29. 答案 (x2)2y29 11.已知圆 c 的方程是 x2y28x2y80，直线 l：ya(x3)被圆 c 截得的弦长最短时，直线 l 方程为_. 解析 圆 c 的标准方程为(x4)2(y1)29， 圆 c 的圆心 c(4，1)，半径 r3. 又直线 l：ya(x3)过定点 p(3，0)， 则当直线 l 与直线 cp 垂直时，被圆 c 截得的弦长最短.因此 a kcpa10431，a1. 故所求直线 l 的方程为 y(x3)，即 xy30. 答案 xy30 12.(2020 衡水中学检测)已知直线 axbyc0(其中 a2b2c2，c0)与圆 x2y26 交于点 m，n，o 是坐标原点，则|mn|_，om mn_. 解析 由于 a2b2c2，且 c0，圆心(0，0)到直线 axbyc0 的距离 d|c|a2b21.所以|mn|2|om|2d22612 5.设向量om，mn的夹角为 ，则 cos()12|mn|om|306，所以 cos 306，所以om mn|om|mn|cos 62 5306