矩阵分析3ppt课件

1、矩 阵 分 析东北大学信息科学与工程学院井元伟教授二六年五月第一章 线性空间与线性变换第二章 内积空间第三章 矩阵的标准形与若干分解形式第四章 矩阵函数及其应用第五章 特征值的估计与广义逆矩阵第六章 非负矩阵第三章 矩阵的标准形与若干分解形式第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1 1 矩阵的相似对角形矩阵的相似对角形2 2 矩阵的约当标准形矩阵的约当标准形3 3 哈密顿哈密顿- -开莱定理及矩阵的最小多项式开莱定理及矩阵的最小多项式4 4 多项式矩阵与史密斯标准形多项式矩阵与史密斯标准形5 5 多项式矩阵的互质性与既约性多项式矩阵的互质性与既约性6 6 有理分式矩

2、阵的标准形及其仿分式分解有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解7 系统的传递函数矩阵*8 舒尔定理及矩阵的qr分解9 矩阵的奇异值分解第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式数字矩阵 多项式矩阵 有理分式矩阵标准型分解形式： qr分解 奇异值分解导引性的讨论第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1. 矩阵的相似对角形那么，那么，a是否可以相似于对角矩阵？即12n-1p ap矩阵 与矩阵 相似 -1abb = p ap1. 矩阵的相似对角形矩阵的相似对角形第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1. 矩阵的相似对角形充要

3、条件充要条件 n阶矩阵a能与对角矩阵相似的充要条 件，是a有n个线性无关的特征向量充分条件充分条件 n阶矩阵a如果有n个不同的特征值， 则a可与对角矩阵相似第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1. 矩阵的相似对角形充分条件充分条件 n阶矩阵a如果有n个不同的特征值， 则a可与对角矩阵相似方法方法 1）求矩阵a的特征值 2）求对应的特征向量 3）求变换矩阵（由特征向量构造） 4）求变换矩阵的逆矩阵 5）进行变换第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1. 矩阵的相似对角形例例31000310002 1211013651appa特征多项式 特

4、征值第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1. 矩阵的相似对角形)22)(2( )2(2)22( 424 6610231255 ) 1(6)5(2366) 1()5( 1211136512110136500000022223223ae第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1. 矩阵的相似对角形3213 3213 012321xxx32320111332p633323321633323321111031p第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1. 矩阵的相似对角形对应的特征向量分别为t1tt( 1,1,1)( 2

5、,1,0)(0,0,1) 23xxx506121 aaae a100212460例 = -3， 求 的相似角形及-3 由 -( -1)( +2) ， 得 ， （二重根）第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式1. 矩阵的相似对角形111001001011001100101100101120120110110101121211222220121210121221 pppapapp 第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式2. 矩阵的约当标准形并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较简单的分块对角阵与它相似

6、？1212()()()1()01kinnnkiinii-1jjp ap = jjj j称为约当矩阵约当矩阵第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式2. 矩阵的约当标准形性质 | 表示整除 ( )kde - ak阶行列式因子 的所有不为0的k阶子式的最大公因式，记为123120120020020221221( )1( )1( )(1)(1)(2)dddae- ae- a = 1( )|( )kkdd第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式2. 矩阵的约当标准形123(1)(1)(2)ddd前一例子中 =1, =1, =211211( )( )(

7、 ),( )( )nnndddddddd称为a的不变因子id不变因子第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式2. 矩阵的约当标准形初等因子 在不变因子中，次数大于1的在复数 范围内分解成一次式和一次式的乘幂 的形式，所有的一次式或者一次式的 乘幂的形式，放在一起叫做初等因子112前一例子中初等因子是，第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式2. 矩阵的约当标准形121212112() ,() ,() ,()()()kkknnnn nkiinnnkann-1jjp ap = jj的初等因子： ，那么约当标准形第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解

8、形式矩阵的标准形与若干分解形式2. 矩阵的约当标准形312321232211212112211212112( )1( )1( )(1)1(1)1(1)100010011dddddd-1ae - ae - ap ap = j例 =1, =, = 初等因子, 于是，第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式11100nnnaaaaaa1110nnnaaa1110( )kkkkaaaa 1110( )kkkkaaaaaaaa哈密顿-开莱定理代数多项式矩阵多项式是a的特征多项式，则第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干

9、分解形式3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式应用 计算矩阵多项式8542335323210201 1( )23401021210( )(2459 )(21)243710 aaaaaae - aaaaaaaa aaaae例 ，求 特征多式，于是 第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式最小多项式 a的零化多项式次数最低的 （首一化）记为m(a)a的最小多项式可被它的所有零化多项式整除a的最小多项式唯一性质第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式计算方法1( )(

10、 )( )nnndmdd应用 进一步简化矩阵多项式的计算第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式4. 多项式矩阵与史密斯标准形( )( ),( )000( )0( )00ijm nijrm nrm naa aeaea多项式矩阵普通矩阵经初等变换，有类推可以吗？第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式4. 多项式矩阵与史密斯标准形 a的子式可能为（1）多项式 （2）0 （3）不为0常数 有关定义 秩 a的r阶子式不为0，而r1阶子式为0，r称a的秩 满秩 方阵a的行列式不为0 可逆 对方阵a，如有同阶多项式方阵b，使 ab=ba=e 可逆条件

11、方阵a的行列式为不为0的常数第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式4. 多项式矩阵与史密斯标准形复习 数值矩阵的初等行变换(1)(2)(3)ijiijrrkrrkr k为任意常数第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式4. 多项式矩阵与史密斯标准形多项式矩阵的初等行变换类似的，可以定义初等列变换(1)(2)(3)( )ijiijrrkrrkr 第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式4. 多项式矩阵与史密斯标准形多项式矩阵a经过初等变换变为b，则称a与b等价 记为11( )( )0,( )( )( )|( ),1,

12、2,1,rank( )( )riiiddddirrdaa0a必有其中首一化ab定理史密斯标准形第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式4. 多项式矩阵与史密斯标准形0(1)001010(1)000200201100(1)00(1)00022001001000(1)00(1)020(2)00(2) 例例第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式4. 多项式矩阵与史密斯标准形1001000(1)(2)0(1)00(2)00(2)1001000(1)000(2)00(2)(1)(2)1000000(1)(2) 第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式

13、矩阵的标准形与若干分解形式4. 多项式矩阵与史密斯标准形性质 史密斯标准形中的 即是不变因子两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因子，相同的不变因子，相同的初等因子初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩充要条件id第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式5. 多项式矩阵的互质性与既约性多项式的最大公因式1121( )( )( )(1) ( )( ) ( ), ( )( ) ( )(2)( )( )( ) ( ), ( )( ) ( )( )( ) ( )fgdffdggdffggdd 、的最大公因式如果，使，那么多项式矩阵情况矩阵的左乘和右乘不同，分别加以定义第三章第

14、三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式5. 多项式矩阵的互质性与既约性最大右公因式 gcrd11(1)(2)p nm nn ndnrddrnnrrddrnnrrrr( )、( )的最大右公因式( )( )=( ) ( ), ( )=( ) ( )如果( )，使( )=( ) ( ), ( )=( ) ( )，那么( )=( ) ( )n nn n drn0rdn ( )( )( )( ) 是 ( ) 与( ) 的一 gcrd个初等行变换求法第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式5. 多项式矩阵的互质性与既约性2222322222311211231

15、12120112101121201010(1)(1)00 dndn例 ( ) =( ) =( ) ( ) 第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式5. 多项式矩阵的互质性与既约性2120112011201r( ) = 于是可见gcrd不唯一第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式5. 多项式矩阵的互质性与既约性性质不唯一一个多项式矩阵的两个gcrd，一个满秩，另一个也满秩；一个可逆，另一个也可逆rdnxyxdynr( ) 是 ( ) 与 ( ) 的gcrd，有 ( ) 、 ( ) 使( ) ( ) +( ) ( ) =( )第三章第三章 矩阵

16、的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式5. 多项式矩阵的互质性与既约性右互质两个多项式矩阵的gcrd可逆dnden0( )与( )右互( )的史密斯 ( )质标准形是性质第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式5. 多项式矩阵的互质性与既约性最大左公因式 gcld11(1)(2)npn mn ndnrdrdnrnrdrdnrnrrr( )、( )的最大左公因式( )( )=( )( ), ( )=( )( )如果( )，使( )=( ) ( ), ( )=( )( )，那么( )=( ) ( )n nn n dnr0rdn ( )( )( )( ) 是 (

17、) 与( ) 的一 gcld个初等列变换求法第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式5. 多项式矩阵的互质性与既约性左互质两个多项式矩阵的gcld可逆dndne0( ) 与( ) 左互( )( ) 的史密斯 质标准形是性质第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解有理分式阵( )( )( )( )( )( )( )ijijijijm nijijaabbab g，和是是有理分式可逆 对方阵a，如有同阶多项式方阵b，使 ab=ba=e可逆条件 方阵a的行列式为不为0多项式第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形

18、式矩阵的标准形与若干分解形式6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解1111( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )|( )( )| ( )( )rriiiittttr gpq0pgq00g是有理分式 ，使得且，其中 是的秩阵，则必有可逆的多项式矩阵定理史密斯-麦克米伦标准形第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解最小公倍式( )( )( )(1) ( )|( ), ( )|( )(2)( )( )|( ), ( )|( )( )|( )fgdfdgdfgd 、的最小公倍式如果，使，那么( )( )( ) ( )( )bbbgg是的所有元素分母的最小公倍式，且首一化是一多除以即得项式矩阵，则可化为史密斯标准形，史密斯-麦克米伦标准形第三章第三章 矩阵的标准