厄密算符本征函数的正交课件

1、3.5 厄密算符本征函数的正交性一、属于动量算符不同本征值得两个本征函数 和 互相正交：pp (1)ppdpp , 0 (2)ppppd 引入函数的标积：则(1),(2)两式可以简化记为：1,212 (3)d , (1)pppp当 动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例: ,0 (2)pppp,0 pp 二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本征函数互相正交。证： (1) (2)kk kll lff , (1)lkkkkklf 当则 又 （厄密的本征值为实数） （1）式右乘 ，积分：简记： （2）式左乘

2、：简记： 根据厄密算符的定义简记：kk (3)klkklkklfddd l,klkklf k (4)kllklf dd ,kllklf (5)klklkklf dfdd ,klklff 联立（4）、（5）即：简记：(6)式移项： 简写：而 ，必有 简写：或表示为：, (3)=(4)=(5)lklkkldd ,lklkkl 0 (6)lkkld ,0lkkllk0 (7)kld ,0kl (8)klkld 其中kronk 符号 如果 的本征值不分立，而是构成连续谱。则本征函数 可以归化为 函数：例如动量算符本征函数2.正交归一本征函数一例：无限深势阱 能量本征函数1 k=0 (9)0 k0klf

3、 l (10)d ppdpp nx 1sin 2 (11)0 n xn xnxaxaaaxa 是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数， 对不同的 值（能级 )正交： 其中：证： 积化和差( )h x2222 1,2,3,8nnenanennne 2222 2 2x ahu xxa (12)nndnn a-a1sinsin 0 (13)22nnxa dxaaa,nnn n 3. 是 的本征值 的本征函数 的正交性三、正交归一函数的例子（厄密算符本征函数互相正交）1）线性谐振子2 01(14)2imimmmee d zlzlm 12ime ,mmmm2 212 (15)xnnnnehx2.角动

4、量算符 的本征函数，本征值zlzlm 1 0, 1, 2, (17)2immem 20 (18)mmmm 3.角动量平方算符 的本征函数，属于本征值 ：2zl21l l 2 2 (16)xnnnnnnn nehx hx dx2）一维势阱 , a a amnmnaxx（20）缔合legendre函数正交性：而球谐函数：4.氢原子波函数，算符：,cos (19)mimlmlmlynpe 200,sin (20)lmlmllyyd d 2sinmmlml mlllln nppd d 200,sin (21)lmlmllmmyyd d 2222222221222sseelhrrrrrrr n不同: 三个量子数均不同：四、简并态函数的正交性 当 的本征值 是 度简并：一般而言 不正交，但可用 个常数将 个函数重新组合成 个新函数： , ,nlmnllmrrr y 22000, , ,sin (22)nlmnlmnnrrrdrd d 22m m000, , ,sin (23)nlmnlmnn llrrrdrd d fnf123:,nnnnnfni2fff总可以选择 而使正交归一条件成立： 一般地，考虑到力学完全集中其它算符对简并态重新分类，可组合消除简并。 如 对 简并，但对 则不简并，归一化为 。, 1,2, (24)ninnifif 1, 1,2, (25)fni