NO静电场泊松方程和拉普拉斯方程PPT课件

1、2.5 泊松方程和拉普拉斯方程微分形式：0ED积分形式:lSl dEqSdD02.5.1 静电场的基本方程本构关系:线形、各向同性媒质ED静电场:无旋有散场第1页/共32页2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程 D2EED2EEEED电位 满足的泊松方程当 场中无电荷分布 (即 )的区域:002拉普拉斯方程2拉普拉斯算子第2页/共32页拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式2直角坐标系中:圆柱坐标系中:球坐标系中:zyxzayaxazayaxazyxzyx2222222第3页/共32页四 . 一维泊松方程的求解P.66 例2-9 例2-10第4页/共32页 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀

2、充满体电荷密度为v(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为1和2, 1满足泊松方程, 2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以1、 2均是球坐标r的函数。 ;第5页/共32页(1) 分别列出球内、外的电位方程: 当ra时, 0122121vrrrr当ra时, 0122222rrrr将上述两个方程分别积分两次可得1、2的通解: DrCBrArv22016第6页/共32页 (2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D: 边界条件是: ; r=a, 1=2; ; r=a, r, 2=0(以无限

3、远处为参考点); ; r=0, (因为电荷分布球对称, 球心处场强E1=0, 即Er=0)。 由上述条件, 确定通解中的常数: ;2010rr01r02032,3, 0, 0aBaCDAvv第7页/共32页 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为v(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解、区域的位函数与电场强度。 平板形体电荷的几何关系 第8页/共32页 解设、 、 区域的电位函数分别为1(y)、2(y)、 3(y)。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在、 两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第区域的电位满足泊松

4、方程: 2022202323202222221212dydyddyddydyddydv第9页/共32页将上面三个方程分别分两次可得653432022112CyCCyCyCyCv 由场分布的y=0平面对称性，可知3(y)= 1(-y)，所以我们只需求解1和2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。 第10页/共32页(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为: 2dy 时, 1=2; dyddyd2010(交界面上无自由面电荷); y=0, 2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考点, 这里选择y=0处为参考点。 第11页/共32页由场分布的对称性, 2(y)=

5、2(-y) ;由条件、 可得: 0, 034CC由条件可得 )(2)(82822222020201022012021VydVdyddCdCdCdCvvvvvv第12页/共32页)(820203Vdydvv根据公式 ydydE可求得三个区域的电场分布: )/(2)/()/(2030201mVydEmVyyEmVydEvvv2222dydydyd第13页/共32页 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系 将场量在分界面上分解成: 法向normal分量 (以下标n表示) - 垂直于分界面 切向tangency分量 (以下标t表示) - 平行于分界面)(tntntnEtEnDtDnDttnnEtEnE由

6、静电场基本方程的积分形式: 2.6 分界面上的边界条件 lSl dEqSdD0两种不同媒质分界面的边界条件第14页/共32页两种不同媒质分界面的边界条件法向边界条件 切向边界条件 SqSdDlldE0第15页/共32页法向边界条件 一. D满足的边界条件 SqSdD第16页/共32页SqSnDSnDS21若界面上无自由电荷分布，即在S=0时: 00)(1212nnDDDDn或 SqSdD或 SnnDD21SDDn)(21结论: 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续高斯通量定理第17页/共32页 (1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体; 静电场中导体内部电场为零, 故snsDDn

7、11或 两种特殊情况 (2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即s=0, 则nnDDDDn21210)(或nnEE2211即 结论: 当12时, E的法向分量不连续, 其原因是交界面上有束缚面电荷密度第18页/共32页ttEEEEn21210)(lldE0结论： 在介质交界面上,电场强度的切向分量始终连续或静电场的无旋性:二. E满足的边界条件 第19页/共32页三 . 电位满足的边界条件21sn1snn2211nn2211SnnDD21ttEE21 (1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即s=0, 则第20页/共32页

8、电场方向在 交界面上的曲折 2211222111sinsincoscosEEEE212121rrtgtg两式相除: 改写:四、介质分界面上电场方向的关系ttEE21nnDD21边界条件:当两种介质分界面上没有自由电荷, 即s=0, 则-静电场的折射定理第21页/共32页边界条件 构成边值问题必不可少的条件; 判断不同媒质界面两侧场量的大小、方向及连续、突变;第22页/共32页 例 1 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为1，下半部分的介电常数为2，如图 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求内外导体之间空间的电位移矢量和电场强度。 Er1

9、Er2Er2Er1第23页/共32页解： reEEE21在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有 2212222111221221222121)(2)(2)(2)(222rqeDrqeDerqEqErErErrrrSqSdD第24页/共32页 例 3.11 如图所示,两个无限长同轴圆柱, 内、 外导体半径分别为a和b, 两导体间部分填充介电常数为的电介质, 内外导体间的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c; 图(b)中01间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出: (1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D; ; (2) 导体表面上单位长度的带电量l。 第25页/共32页

10、 解 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径方向的电场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 得知不同介质内E的表示式相同。 (1) 图(a)结构: 当=c时, 2121DDDDnn 令内、外导体表面上单位长度电量分别为+l、-l(C/m), 根据高斯定理可得 第26页/共32页ac时, cb时, )/(2)/(21121mVDEmCDll)/(2)/(2002222mVDEmCDll第27页/共32页cbnacndddlEdlEUllbclcabcca11112220021所以)/(111120mCcbnacnUl内导体带电量为+l ，外导体带电量为-l 第28页/共32页(2) 图(b)结构: 当=0时, 1111111llDED21EE当0 1当1 360。