(完整word版)四川专升本高等数学公式(内容有删减)

1、四川专升本高等数学公式内容有删减导数公式：16(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2- cos xdx2sin xdx2x一 1n( x , x2 a2)Ca(tgx) sec2 x (ctgx) csc2 x (secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx (ax)axlnaZl 、1(log a x) xlna基本积分表：tgxdx In cosx Cctgxdx In sinx Csecxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx Cdx 1, x 八-2 - arctg 一 Ca x a adx 1 J

2、x a 八-2 丁 1nCx a 2a |x a|dx 1 , a x 仆 -2 In Ca x 2a a xdx. xarcsin- Ca2 x2a1. 1 x21Tx211 x211 x22sec xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx Cxx a axdx CIn ashxdx chx Cchxdx shx CIn2sin n xdxocos0xdxInx2 a2dxx.x2 a22dxTa2a-ln(x 22 a . 一ln x22 a22x2 a2) C一arcsin - C三角函数的有理式积分:cosx2幺

3、2， udx2du1 u2两个重要极限:lirnsin.r三角函数公式:,诱导公式：图数 角A、sincostancot-a-sin acos a-tan a-cot a90 - acos asin acot atan a90 + acos a-sin a-cot a-tan a180 - asin a-cos a-tan a-cot a180+a-sin a-cos atan acot a270 - a-cos a-sin acot atan a270 + a-cos asin a-cot a-tan a360 - a-sin acos a-tan a-cot a360 + asin aco

4、s atan acot asin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctg和差角公式:和差化积公式:sinsin2 sincos22sinsin2 cossin22coscos2 coscos-22coscos2 sinsin22倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos222cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22 cos2 sinsin3cos3tg33sin4sin334cos 3 cos3tg tg31 3tg2半角公式:sin 一2,11 cos rJ /1c

5、os2cos 21 costg21 cos,1 cos1 cossinsin1 cosctg-1 cossinsin1 cos.正弦定理：_sin AbsinB余弦定理:b22ab cosC反三角函数性质:arcsinx一 arccosx 2arctgxarcctgx万能公式高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz公式:(n)(uv)nC：uk 0(nk) (k)v(n)u V(n 1) nu vn(n 1)2!(n 2)Vn(n1) (n kk!1)(n k) (k)V(n) uv中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理：上包f(b)f(a)f(a)f ()(b a)F(b) F(

6、a)当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。定积分应用相关公式:功：W水压力:引力：F,mm2k2-r,k为引力系数函数的平均值：ybf (x)dxa1 b 2均万根：f (t)dt,b a a空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：dM1M2向量在轴上的投影：Pr ju ABPrju（ai a?） Prjai Pr ja2a b cosaxbxayby两向量之间的夹角:coscabaxbxay byaz bz向量的混合积:abc （a代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(x xo) B(y2、般方程：Ax ByCz27272.（x2 x1）（y2 y1）（z2 z1）

7、AB cos ,是AB与u轴的夹角azbz，是一个数量，axbxa ybyazbz22ax ayaz2 . bx2by2bz2a b sin例:线速度:axayazbxbybzcxcyczb） caw r.c cos ,为锐角时,3、截距世方程：x y a b平面外任意一点到该平空间直线的方程:x xom二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2 x2a2 x2pb2y22q2 z2 c3、双曲面:2单叶双曲面：w a2双叶双曲面：3 a2 y b22 y b2y。）DC（zozo） 0,其中 n A,B,C, Mo（xo,yo,z。）面的距离:y yonz,（p,q 同号）2 z 2 c2 zcA

8、xo Byo Czo DA2 B2 C2Zo1(马鞍面)Xomtt,其中s m,n, p;参数方程:y。zontPt多元函数微分法及应用全微分： dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz, u . u , u .du dx dy dz x y zfx(x,y) x fy(x,y) y多元复合函数的求导法：z fu(t),v(t)dz z u z v dt u t v tz fu(x,y),v(x,y)当 u u(x,y), v v(x,y)时,du dx - dy x y隐函数的求导公式:dvdxxdyy隐函数F(x,y) 0,电dx隐函数 F(x,y,z) 0, x2J,d4(为+

9、(马电Fydx xFyyFydxFxzFFz yFz隐函数方程组：F(x,y,u,v) 0G(x, y,u,v) 0F FJ (F，G)飞 (u,v) G Gu vFuGuFvGvu1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v工(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)x空间曲线yz(t)在点M (x0, y0,z0)处的切线方程: x x0 (to)y y zz(to) (to)在点M处的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z zo) o若空间曲线方程为:F (x, y, z) o -，则切向量TG(x,y,z) oFy Fz FzFxFxGy

10、 Gz,Gz Gx,GxFyGy微分法在几何上的应用:曲面 F(x, y,z) o上一点 M (xo,yo,z0),则：1、过此点的法向量：n Fx(xo,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(x0,yo,zo)2、过此点的切平面方程:Fx(xo,yo,zo)(xxo)Fy(xo,yo,z)(yy)Fz(x, y, %)(zz)03、过此点的法线方程:x Xoyyoz zoFx(xo, y。，4) Fy(xo,yo,zo) Fz(x0, yo,z)方向导数与梯度: 函数z f (x,y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：2cos sinl x y其中为x轴到方向l的转角。函

11、数 z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x, y) i j x y它与方向导数的关系是：-f gradf (x,y) e,其中e cos i sin j,为l方向上的 单位向量。-f是gradf (x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设fx(x,yo)fy(xO,yo)0,令：fxx(xo,yo)A,fxy(x,yo)B,fyy(x,yo)C2AC B22则：AC BAC B2A 0,(Xo, y。)为极大值 0A 0,(x0,y0)为极小值0时，无极值0日t,不确定重积分及其应用:f(x,y)dxdyDf(r cosD,r sin )rdrd曲面z f(

12、x,y)的面积Adxdy平面薄片的重心：X必Mx (x, y)dD(x,y)dDy (x, y)dD(x,y)dDx2 (x,y)dDFx,Fy,Fz，其中:平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2 (x,y)d , 对于y轴1yD平面薄片(位于 xoy平面)对殍由上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：FFx f (x,y)xd 3,Fyf(x,y)yd 3,Fzfa (x,y)xd 3D(x2 y2 a2)2D(x2 y2 a2“D (x2 y2 a2)，柱面坐标和球面坐标：x r cos柱面坐标：y r sinf (x, y, z) dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,其中： F(

13、r, ,z) f (rcos ,rsin ,z)x rsin cos 球面坐标：y rsin sin ,dv rd rsin d dr r2 sin drd dz r cosf (x, y, z)dxdydz F (r,)r2sin drd d2r(,)d d F (r, , )r2sin dr000重心：x x dv,M11y dv, z z dv,其中 M xMMdv转动惯量：Ix (y2 z2) dv,(x2 z2) dv,Iz (x2 y2) dv曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：x ，(t)，则:y (t)f (x, y)ds f

14、(t),L(t)-.2(t)2(t)dt特殊情况:第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为x ，则: y (t)P(x,y)dx Q(x,y)dyLP (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy (PcosLLL上积分起止点处切向量 的方向角。Qcos )ds 其中和分别为Q PQ P格林公式：(一 一)dxdy - Pdx Qd册林公式：(一 一)dxdy . Pdx Qdyd x yld x yl当P y,Q x,即：-Q 2时，得到D的面积：A dxdy 10xdy ydx x yd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:

15、1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！,且-Q = -P。注意奇点，如(0,0),应 x y二元函数的全微分求积：,Q P_ .在-Q=-P时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中: x y(x.y)u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 0。(x0,y0)曲面积分：对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:22 ,f(x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 zx(x, y) Zy (x, y)dxdyDxyP(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x

16、, y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxRx, y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正号;DxyPx(y,z), y,zdydzDyz取曲面的前侧时取正号;Qx, y(z,x),zdzdxDzx取曲面的右侧时取正号。Rcos )ds两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos常数项级数:等比数列：1等差数列：1调和级数：1n 11 qnq1 q(n 1)n211是发散的n级数审敛法:1、正项级数的审敛法设：l/mn/Un，则根植审敛法（柯西判1时，级数收敛1时，级数发散别法）：1时,不确定2

17、、比值审敛法:设： limnUn1U71时,1时,级数收敛级数发散1时，不确定3、定义法:SnU1U2Un;limsn存在，则收敛；否则发 n散。交错级数U1U2U3 U4U1 U2 u3,Un 0）的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足Unlim u nUn1 0,那么级数收敛且其和s U1,其余项rn的绝对值rnUn 1绝对收敛与条件收敛:U1 U2(2)uJ |必| |u3Un,其中un为任意实数;如果（2）收敛，则 肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而 收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数:n3收敛;nnp1时发散1时收敛|x 1时，收敛于对于级数(3)a0a1x2a

18、2x数轴上都收敛，则必存在R,求收敛半径的方法：设limn函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:余项：RnX0|x 1时，发散nanxan 1an,如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定其中an,an 1是(3)的系数,则0时,R时，Rf (x0)2f(x) f(x0)(x x0) M(x x0)f(n)(x0).丁(xx)nf(n 1)()f(-)(x x)n 1, f(x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是: (n 1)!0时即为麦克劳林公式:f (0) 2 fx /些函数展开成骞级数:m(1 x)d m(m 1) 21 mx x2!m(m 1) (m n 1) n xn!sinx3 x3!5 x5!2n 1f(x)a。2(an1其中anbn1)nx(2n 1)!limnRnn x coslbn sinf(n)(0) nxn!1)n1 l 一 一 f(x)cosl l1 l