(完整版)三角形中的常用辅助线方法总结

1、数学：三角形中的常用辅助线典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还 要刻苦加钻研，找出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法：(1)可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；(3)可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：(1)遇

2、到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题， 思维模式是全等变换中的“对折”。例1:如图，A ABCg等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE思路分析：1)题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2)解题思路：要求证BD=2CE可用加倍法，延长短边，又因为有B叶分/ABC勺条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长 BA, CE交于点F,在 ABEF和ABEC中， /1 = /2, BE=BE , /BEF=/BEC=90 ,ABEFABEC,，EF=EC,从而

3、 CF=2CE。又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90 ,故/ 1=/ 3。在 A ABD 和 AACF 中，-/ 1 = /3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 ,A ABD 仁 AACF,BD=CF ,BD=2CE 。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应 用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系， 为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化 归的数学思想，它是解决问题的关键。(2)若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋

4、转”。例2:如图，已知 AABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证: A ABC是等腰三角形。思路分析：1)题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2)解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等 条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC ,可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：K证明：延长 AD至ij E,使DE=AD ,连接BE。又因为 AD是BC边上的中线，BD=DC又/ BDE= / CDAA BED A CAD,故 EB=AC , / E= / 2,.AD是/

5、 BAC的平分线/ 1 = Z 2,./ 1 = Z E,；AB=EB从而AB=AC即AABC等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，冉将端点连结，便可得到全等三角形。(3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。例 3:已知，如图，AC平分/ BAD CD=CB ABAD 求证：/ B+/ ADC=180 。思路分析：1)题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2)解题思路：因为AC是/BAD的平分线，所以可过点 C作/BAD的两边的 垂线，构造直角三角

6、形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作 cnAB于 E, CF，ADT Fo. AC平分 / BAD .CE=CF在 RtACBffl RtACDF,.CE=CF CB=CD,RtACBE RtACDF. ./B=/ CDF. /CDF它ADC=180 ,. /B+/ ADC=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；(4)过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4:如图，A ABC中，AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连 EF交BC于D,若EB=CF求证：DE=DFS思路分析：1）题意分析：

7、本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形 A DEB与A DFC不可能全等，又知EB=CF , 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF,构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G,贝叱 EGB= ACB又 AB=AC B=/ ACB. B=/ EGB . EGD=DCF .EB=EG=C F /EDBW CDF.ADG摩 A DCF .DE=DF解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法:F-F例 5: ZXABC中，/BAC=60 , / C=40 ,

8、 AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQ0p思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+A势较为复杂，我们可以通 过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得 AD董4AQO得到OD=OQAD=AQ只要再证出BD=O毗可以解答过程：BpC图证明：如图(1),过O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60 40 =80 ,又. / AQO =C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO又/ DAO= QAO

9、OA=AO. .AD董 AAQO . OD=OQAD=AQ又OD/ BP, ./PBO= DOB又./ PBO=DBO ./DBO= DOB .BD=O D又/ BPA= C+/ PAC=70 ,/ BOP= OBA+ BAO=70 , ./BOPWBPO .BP=OB .AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考：(1)本题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形，即“截长法”(2)本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图(2),过O作OD/ BC交AC于D,则4AD堂ABQA而得以解决。AQ如图（3）,过。作DEZ/BC交耻于D,交AC于E. !3

10、JAADOAAQOs ABOf AEO从而得以解决口如图（4;,过P作PD/7BQ交AB的延长线于D,刚研口的也屈匚从而 得以解决.如图（5）,过P作PD/ BQ交AC于D,则4AB国/XADPA而得以解决小结：通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全 等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构 造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行 线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构 造了全等三角形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之

11、与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6:如图甲，AD/ BC 点 E在线段 AB上，/ADE=/CDE / DC=/ ECB 求证：CDADfBC图甲思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是C&ADfBC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”， 即在CD上截取CRCR只要再证DRDA即可，这就转化为证明两线段相等的问 题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CRBQ如图乙在尸蔻与中，C= OF.FC匿zBCE(SAS , .-Z2=Z1oX /AD/

12、BQZADGZBC&18O0 , ZDCSZCD&90 , Z2+Z3=90 , Z 1 + Z4=90 , a Z3=Z4o在 4FDE 与ADB,ZDE =DE = DE .FDEEAADE（ASA , . DF=DA. CD=DF+CF, . CD=AE+BC解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时， 一般方法是截长 法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另 一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等 于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差 小于第三边，故可想

13、办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连 接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再 运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。同步练习（答题时间：90分钟）这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！

14、加油！你一 定行！1、已知，如图1,在四边形ABCM, BCAB, AD=DC BD平分/ ABC 求证：/ BAP/ BCD：180 。2、已知，如图 2, /1=/2, P为 BN上一点，且 PDBC于点 D, ABfBC=2BD 求证：/ BAR/ BCP1803、已知，如图 3,在ABC, / C= 2/B, / 1 = / 2。求证：AB=AGCD图34、已知，如图/ 4 E为且0讷两点，求证：AB+ACBD+DE+CEa6、如图5, AD为AABC的中绦 求证；AB+AC2ADb图5品 如图6所示，虹是在&G的中线，BE交小汗R 交卸?于F,且AE=EF 求证：AOBF.、你担鬟生

15、命吗？那么别浪费时间因为时间是娟成生M命的材料一一富兰克林|试题答案1、分析：因为平角等于1800 ,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长法或补短法”来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,彳DF，BC于点F,如图1-2X J,瓦评分乙IBC 举=加在冏陋曲用A 8尸中，DE = DFad = cd. .氐AD图Rt ACDFHL),./DAE：/DCF又/BADVDAE180。， /BADVDCE180。，即/ BA/BCD：1802、分析：与1相类似，证两个角的和是180 ,可把它们移到一起，让

16、它们 成为邻补角，即证明/ BCP/EAF；因而此题适用“补短”进行全等三角形的构证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2,/1=上且PD_LB& .PE=FD, 在尺万尸片兄T孙3中，fPS = PD即= BF二月AAP拉田4日耳纹顼.-即二血丫曲3025口.ABmDC=SlXE, /. AS+DC=BPDObAb=A 在用小闻也与M 笛中，fPE = PD Z.PEA = ZPDCAS=DC RtzXAP白 RtACPI(SAS),./PAE：/PCD又./BAR/ PA&1800 o /BAR/BCP=1803、分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长

17、AC 至E使CE=CD或在AB上截取AF=AG证明：方法一(补短法)延长AC到E,使DC=CE,则/ CD匿/ CED如图3-2丁在工班与用ED中,21 = Z2NB = 且AD = AD.RB4工功 IAAS), 必E蜃5t但T E CS=A(J+DC, .AB=ACDC.方法二(截长法)在4B上截取山4G如图3号图3T在 ZL4FD与中, =HC21 = 02AD=AD .AF阴ACD(SAS , .DF=DC / AF氏 Z ACD 又. / AC氏2/B, /FD氏 / B, .FD=FB,.AB=AF+FB=AC+FDAB=AC+GD4、证明：（方法一）将DE两边延长分别交 AR A

18、C于M N,在AM, AM+ANMD+DE+NE在BDIVfr, MB+MDBD在 CEN中，CN+NEQE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE.AB+A8BD+DE+EC（方法二：图4-2）延长BD交AC于F,延长CE交BF于G 在ABR GFCffizXGDW有:AB+AFBD+DG+GFGF+FOGE+CEDG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC5、分析：要证 AB+AO2AD由图想至I： AB+BDADAC+CDAD所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2外边比要证结论多BD

19、+CD故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AQ即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明，延长AD至&值DE=AD,建拷BE, CEJAD为ABC的中线（已知）/,BD=CD （中线定义：在山CD和AEED中BD = CD （已证）= 4顶角相等）AD=ED （辅助线作法 、. .AC* EBD（SAS . BE=CA（全等三角形对应边相等） 在4ABE中有：AB+BEAE三角形两边之和大于第三边） .AB+AC2A D6、分析：欲证AC=BF只需证AC BF所在两个三角形全等，显然图中没有含 有AC BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有 AC BF的全等 三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两 条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线 段，所对的角相等即可。思路一