浙江省“山水联盟”2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析

1、浙江省“山水联盟”2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）考生须知1不在满分120分，考试时间100分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、选择题1.在中，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据题意，直接运用正弦定理即可求出结果.【详解】解：由题可知，在中，由正弦定理得：，则，即，解得：，所以.故选：a.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.2.有下列说法：若两个向量不相等，则它们一定不共线；若四边形是平行四边形，

2、则；若，则；若，则且其中正确说法的个数是（ ）a 0b. 1c. 2d. 3【答案】a【解析】【分析】对于，根据向量相等的定义以及向量共线的定义可知结论不正确；对于，根据向量相等的定义可知结论不正确；对于，找特殊向量，当时，可知结论不正确；对于，与不一定平行，与可能在一条直线上，可知结论不正确.【详解】对于，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故不正确；对于，若四边形是平行四边形，则，故不正确；对于，当时，与可以不共线，故不正确；对于，“若，则且或与在一条直线上”，故不正确.故选：a.【点睛】本题考查了向量相等的定义，考查了向量共线的定义，属于基础题.3.已知直线的倾斜角是，则的值

3、是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】将直线方程变为斜截式，即可找到斜率与倾斜角的关系，结合二倍角的正切公式即可求解.【详解】将直线变形为，所以故选：b【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系及二倍角的正切公式，属于基础题.4.已知单位向量，的夹角为，若，那的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先由得出，然后根据二次函数的性质得出的最小值即可.【详解】由题得：，即，展开化简得：，因为，则，又，所以：，当时，有最小值3，此时有最小值.故选：d.【点睛】本题考查平面向量知识的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.5.设数列是以3为首项

4、，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）a. 85b. 340c. 680d. 1360【答案】b【解析】【分析】利用等差等比的通项公式可算出答案.【详解】因为数列是以3为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，所以故选：b【点睛】本题考查的是等差等比通项公式的运用，较简单.6.锐角中，若，则取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据已知条件：锐角中，可得到，然后对，取特殊角，求值，从而可求出的取值范围.【详解】由在锐角中，则，因为为锐角，即所以当时，当时，所以的取值范围是，故选：c【点睛】本题考查了同角三角函数求值以及利

5、用极限思想来确定范围，属于一般题.7.已知等差数列和的前n项和分别为和，若，则使得为整数的正整数n共有（ ）个a. 3b. 4c. 5d. 6【答案】d【解析】【分析】由等差数列的形式和条件可设，再代入等差数列的前项和公式表示，再求满足条件的正整数的个数.【详解】，设，则， 当时，当时，当时，当时，当时，当时，则满足条件的的值有6个.故选：d【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题型，根据条件设等差数列的通项公式是本题的关键.8.已知实数、满足约束条件，若当且仅当，时取得最小值，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】画出可行域，利用目标函数在点

6、处取得最小值，可得出直线与可行域边界线所在直线斜率的大小关系，由此可求得实数的取值范围.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：由于目标函数在点取得最小值，此时直线在轴上的截距最小.当时，当直线经过可行域的顶点时，目标函数取得最小值，不合乎题意；当时，直线的斜率为，若目标函数在点取得最小值，则，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：d.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最优解求参数，解答的关键就是得出目标函数对应直线的斜率与边界线所在直线斜率的大小关系，考查数形结合思想的应用，属于中等题.9.已知，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析

7、】设不等式的解集为，则只要即可满足题意，由此可解不等式，再根据集合的包含关系得出结论【详解】解不等式，即，所以或，由得，解得，由得，记不等式为，设，则，从而，所以所以，综上，故选：b【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，本题把不等式恒成立转化为不等式的解集与已知集合之间的包含关系，从而得出参数的范围考查了绝对值不等式的求解10.已知正实数、满足，则的最小值是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用基本不等式得出，由推导出，再由，结合基本不等式可求得的最小值.【详解】正实数、满足，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，当且仅当时，等号成立，即，则，当且仅

8、当时，等号成立.因此，的最小值是.故选：c.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解答的关键就是对所求代数式化简变形，考查计算能力，属于中等题.非选择题部分二、填空题11.若向量与方向相同，则实数_【答案】2【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出.【详解】向量与方向相同，解得，当时，与共线且方向相同，当时，与共线且方向相反，舍去故答案为：2【点睛】本题考查向量共线定理的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.12.已知直线，若，则_【答案】【解析】【分析】利用两直线垂直所满足系数关系，列式即可求得参数值.【详解】因为，所以，解得 故答案为：【点睛】本题主要考查利用两直线垂直求参

9、数，属于基础题.13.的内角、所对的边分别为、若，则_【答案】或【解析】【分析】利用余弦定理可得出关于的二次方程，由可解得的值.【详解】由余弦定理得，即，解得或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.14.已知，则的最小值是_【答案】-10【解析】【分析】将问题转化为动点到两定点的距离之差的最小值，结合三角形法则即可求解.【详解】可转化为点到点距离之差，当点三点不共线时，则有,当点三点共线时，则有,故，当且仅当点p为直线ab与x轴的交点时，取最小值-10.故答案为：-10【点睛】本题主要考查两点间距离公式的逆用，属于能力提升题.15.已知是的前项和，对于

10、任意，且，的最大值是_【答案】10【解析】【分析】由题意可知，当时，利用，得出，根据二次函数图象和性质得出的单调性，根据单调性分别求出的最大值和最小值，从而得出取得最大值.【详解】解：即，又当时，当时，即，则递减，当时，即，则递增，当时，则，则递减，故，若使得对任意，取得最大值，则需且，.故答案为：10.【点睛】本题考查利用单调性求数列前项和的最值问题以及利用分组求和法求出数列前项和，根据是解决本题的关键.16.若实数，满足约束条件，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可【详解】画出满足条件的平面区域，如图 目标函数，其中的几何

11、意义为坐标系内的点与与可行域内点连线的斜率， 过与时斜率为， 过与时斜率为， 结合图象可得的取值范围是 ， 所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法17.已知函数，若存在非零实数使得，则最小值为_【答案】【解析】分析】由条件可得，即，令，可得，然后设，则，然后可得，然后利用双勾函数的知识求出右边的最小值即可.【详解】因为，所以所以可得令，则， 设，则所以，所以令，由双勾函数的知识易得在上单调递增所以所以故答案为：【点睛】根据式子的特点构造出是解答本题的关键，考查了学生的分析能力与转化能力，属于较难题.三、

12、解答题18.已知点和点（）求线段的垂直平分线的直线方程；（）若直线过点，且，到直线的距离相等求直线的方程【答案】（）；（）或.【解析】【分析】（）先根据中点坐标公式求出线段的中点坐标，再根据斜率公式求出直线的斜率，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系求出直线的垂线的斜率，最后利用直线点斜式方程进行求解即可；（）根据直线是否存在斜率分类讨论求解.当直线存在斜率时，根据题意结合点到直线距离公式进行求解，当直线不存在斜率时，写出直线方程，然后进行判断是否符合题意即可.【详解】（）因为点和点所以线段的中点坐标为：，即，直线的斜率为：，因此直线的垂线的斜率为：，因此线段的垂直平分线的直线方程为：，化简得：

13、；（）设直线存在斜率，设为，因为直线过点，所以直线的方程为：，又因为，到直线的距离相等，所以有，即；当直线不存在斜率，因为直线过点，所以直线的方程为：，因为点和点到直线的距离都是3，所以符合题意.因此直线的方程为：或.【点睛】本题考查了求线段的垂直平分线方程，考查了点到直线距离公式的应用，考查了求直线方程，考查了数学运算能力.19.已知平面向量满足，且的夹角为.()求的值；()求和夹角的余弦值.【答案】()2；().【解析】试题分析：()利用模长平方与向量的平分相等，将已知两边平方展开，得到关于的方程解之即可；()分别求出和模长以及数量积，利用数量积公式求夹角.试题解析：()由已知得，即，解得

14、.()， .又.所以和夹角的余弦值为.20.在中，角，所对的边分别是，已知（）求角的值；（）若，求的取值范围【答案】（）；（）.【解析】分析】（）由可得，然后得到即可；（）由正弦定理可得，然后，即可得到，然后再结合可得到答案.【详解】（）因为所以所以，所以因为，所以，因为，所以（）因为，所以由正弦定理得所以所以又因为，所以【点睛】本题考查的是正弦定理、三角恒等变换和三角函数的性质，考查了学生的转化能力，属于中档题.21.已知满足，.（）证明是等差数列；（）求的前项和；（）若，的前项和是，求证：【答案】（）证明见解析；（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）根据递推关系化简得，再由等差数列的定义即可证明数列是等差数列；（）由（）可知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通