第44节不定积分的观点与性质

1、第四讲不定积分的概念与性质微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：不定积分的概念、几何意义不定积分的性质 ，基本积 分公式教学目的：理解不定积 分的概念，掌握不定积分的基本性质 和基本积 分公式。教学方法：利用多媒体进 行启发 式教学教学重点：不定积 分的概念、性质教学难点：不定积 分的几何意义教学过程1. 不定积分的定 义若 F (x) 是函数 f ( x) 在区 间 I 上的一个原函数，称f (x) 在 I 上的所有原函数 F ( x)C 称为 f (x) 在区 间 I 上的不定 积分，记作f (x)dxF ( x) C .其中函数f (x) 称为被积函数 ，x 称为

2、积分变量，C 称为积分常数(constant of integration)。例1 求函数例2 求函数f ( x )x（1）的不定积分。f ( x )1x 的不定 积分。演示实验2. 不定积分的几何意 义由于不定 积分f ( x ) dx 是被积函数 f ( x) 的所有原函数F (x) C 的集合，所以 对任意 给定的常数 C0，都对应 唯一确定的原函数 F (x) C0 ，我们称之 为 f (x) 的积分曲 线 (curve of integration) 。因为常数 C 可取任意的 实数，所以不定 积分f ( x)dx 表示 f (x) 的一簇积分曲线。如图任意 给定自 变量 x的一个

3、值 x0 ，积分曲线簇 F (x) C 中所有曲 线在相 应点的切 线彼此平行，切教学心得线的斜率都等于f ( x0 ) ，因此 f (x) 的积分曲 线簇中每一条曲 线均可由 F (x) 沿 y 轴方向上或下平移 |C |个单位而得到。3 不定 积分的性 质（1）求不定 积分运算与求 导数（或求微分）运算互为逆运算，即df ( x)dx f (x) ， 或 d f ( x) dx f (x)dx .dx教学札记f ( x)dxf ( x)C ， 或df ( x)f ( x)C .* 对应于基本求导公式，可得如下基本积分公式：1.kdxkxC （ k 为常数）2.xdx1x1C（1）13.1

4、dxln | x |Cx4.x1x（）a dxln a aCa0,a15.ex dxexC6.sin xdxcos xC7.cos xdxsin xC8.sec2 xdxtanxC9.csc2 xdxcot xC10.secx tan xdxsecx C11.csc x cot xdxcsc xC12.1dxarcsin xCarccos xC1x 213.1dxarctan xCarccotxC .1x2（2）两个函数和的不定 积分等于各个函数不定积分的和，即 f ( x)g (x)dxf ( x)dxg (x) dx .（3）不定 积分中被 积函数的非零常数因子可提到积分号的外面，即：kf

5、 (x)dx k f (x)dx，（ 为非零常数）k例 3求不定 积分 (t)2dt，并进一步 计算12dt.t(t t )0例 4 判别下列命 题是否正确，并加以改正。(1)因为ln( 2x 1)2，所以 ln(2x1) 为函数2的一2x12x1个原函数，且2dxln( 2x1).2x1教学心得(2)因为f (x)dx f (x)0dx,所以 f (x)dxf (x)dx0dx，故 0dx 0 .(3)2(e2xe 2x )dx(exe x ) 2C 或 = ( e xe x ) 2C 或= e2x e 2 x C .(4) (ex x2 )dx ex 2x C .例 5求下列不定 积分（1）(3ex2 x 1 )dx（2） tan 2d（）x 2dx（）cos2x dx31 x242例 6已知 函数 f ( x)x 1x0 ，求 f ( x)dx .cos xx0例 7 考虑一口油井的成本有两种： 固定成本 (与井的深度无关 )和边际 成本 (每深 钻 1m 的成本增 额) 。同时边际 成本与你正在采掘的井的深度有关，在地下掘得越深，每 钻 1m 的成本就越高。 记钻 x m 总成本为 C( x