1直线和平面垂直与平面和平面垂直2课时1

1、【知识梳理知识梳理】1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 类别类别 语言表述语言表述 应应 用用 判判 定定 如果一条直线和一个平面内的任何一如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直条直线都垂直, 那么这条直线和这个平那么这条直线和这个平面垂直面垂直 证直线和平面垂证直线和平面垂直直 如果一条直线和一个平面内的两条相如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这那么这条直线垂直于这个平面个平面 证直线和平面垂证直线和平面垂直直 如果两条平行直线中的一条垂直于一如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面个平面,那么另一条也垂直于同一个平那么另一条也垂直于同

2、一个平面面 证直线和平面垂证直线和平面垂直直 【知识梳理知识梳理】2直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质bababa ba类别类别语言表述语言表述图图 示示字母表示字母表示应应 用用性性质质如果一条直线和如果一条直线和一个平面垂直一个平面垂直,那么这条直线和那么这条直线和这个平面内的任这个平面内的任何一条直线都垂何一条直线都垂直直 a b证两证两条直条直线垂线垂直直如果两条直线同如果两条直线同垂直于一个平面垂直于一个平面, 那么这两条直线那么这两条直线平行平行a b证两证两条直条直线平线平行行【知识梳理知识梳理】3两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质aaba oaaba oal

3、alaal类类语言表述语言表述图图 示示字母表示字母表示应应 用用判判定定根据定义证明两根据定义证明两平面所成的二面角平面所成的二面角是直二面角是直二面角 aob是二面角是二面角 a 的平面角，的平面角，且且 aob=90 ，则，则 证证两两平平面面垂垂直直如果一个平面经过如果一个平面经过另一个平面的一条另一个平面的一条垂线，那么这两个垂线，那么这两个平面互相垂直平面互相垂直 性性质质如果两个平面垂直，如果两个平面垂直，那么它们所成二面那么它们所成二面角的平面角是直角的平面角是直角角 ， aob是二是二面角面角 a 的平面的平面角，则角，则 aob=90 证两证两条直条直线垂线垂直直如果两个平

4、面垂直，如果两个平面垂直，那么在一个平面内那么在一个平面内垂直于它们交线的垂直于它们交线的直线垂直于另一个直线垂直于另一个平面平面 a 证直证直线和线和平面平面垂直垂直【知识梳理知识梳理】 4三垂线定理和三垂线定理的逆定理三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称名称语言表述语言表述字母表示字母表示应应 用用三垂三垂线定线定 理理在平面内的一条在平面内的一条直线直线,如果和这如果和这个平面的一条斜个平面的一条斜线的射影垂直线的射影垂直,那么它也和这条那么它也和这条斜线垂直斜线垂直.证两直线垂证两直线垂直直作点线距作点线距作二面角作二面角 的平面角的平面角三垂三垂线定线定理的理的逆定逆定理理在平面内的

5、一条在平面内的一条直线直线,如果和这如果和这个平面的一条斜个平面的一条斜线垂直线垂直,那么它那么它也和这条斜线的也和这条斜线的射影垂直射影垂直.同同 上上poaaoaapaaoapoaapa例例1已知：正方体已知：正方体abcda1b1c1d1(如图所示如图所示)(1)求证：求证：b1dbc1；(2)求证：求证：b1d面面acd1；(3)若若b1d与面与面acd1交于交于o，求证：，求证： do ob11 2.考点一考点一直线与直线垂直直线与直线垂直o【思路导引】证明线线垂直，可利用线面垂直证明线线垂直，可利用线面垂直的性质，而证明线面垂直，可利用线面垂直的判的性质，而证明线面垂直，可利用线面

6、垂直的判定定【证明证明】(1)abcda1b1c1d1为正方体，为正方体，dc面面bcc1b，dcbc1，bcc1b1为正方形，为正方形，bc1b1c.又又dcb1cc，bc1平面平面b1cd，bc1b1d.(2)(1)中证明了体对角线中证明了体对角线b1d与面对角线与面对角线bc1垂直，同理可证：垂直，同理可证：b1dad1，b1dac.b1d平面平面acd1.(3)设设ac与与bd的交点为的交点为o，则平面则平面bb1d1d与平面与平面acd1的交线为的交线为od1，则则od1与与b1d的交点即为的交点即为o，【方法探究方法探究】证明线线垂直的常用方法有：证明线线垂直的常用方法有：(1)利

7、用定义：同一平面内相交成直角时，两利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直直线互相垂直(2)利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线这条直线垂直于平面内任一直线(3)利用向量：把证明两直线垂直问题转化为利用向量：把证明两直线垂直问题转化为两直线的方向向量垂直的问题两直线的方向向量垂直的问题2对于四面体对于四面体abcd，给出下列四个命题，给出下列四个命题若若abac，bdcd，则，则bcad；若若abcd，acbd，则，则bcad；若若abac，b

8、dcd，则，则bcad；若若abcd，bdac，则，则bcad.其中正确的是其中正确的是_解析：解析：对于命题对于命题，取，取bc的中点的中点e.如图如图(1)所所示，示，连结连结ae、de，则，则bc面面aed，bcad，对于命题对于命题，过过a向平面向平面bcd做垂线做垂线ao(如图如图(2)所示所示)连结连结bo与与cd交于交于e，则，则cdbe，同理，同理cfbd.o为为bcd垂心，连垂心，连do，则，则bcdo，bcao，bcad.答案：答案：例例2 如图所示，如图所示，p为为abc所在平面外一点，所在平面外一点，且且pa平面平面abc，若，若o、q分别为分别为abc和和pbc的垂心

9、的垂心求证：求证：oq平面平面pbc.【思路导引】此题关键此题关键是在平面是在平面pbc内找出两条内找出两条相交直线与相交直线与oq垂直垂直考点二考点二直线与平面垂直直线与平面垂直【证明】如图，连结如图，连结ao并延长交并延长交bc于于e，连结连结pe，o为为abc的垂心，的垂心，aebc.pa面面abc，bc面面abc，pabc.paaea，bc面面pae.又又bc面面pbc，面面pbc面面pae，pe面面pae，bcpe，而，而q为为pbc的的垂心，垂心，qpe，即，即oq面面pae，bcoq.连结连结bo并延长交并延长交ac于于f，连结，连结bq并延长交并延长交pc于于h，连，连fh.o

10、为为abc的垂心，的垂心，bfac.又又pabf，acbf，paaca，bf面面pac.而而pc面面pac，bfpc，又又bhpc，bfbhb，pc面面bfh，而而oq面面bfh，pcoq，又又pcoq，bcoq，pcbcc，oq平面平面pbc.【方法探究方法探究】欲证欲证oq平面平面pbc，只要证，只要证明明oq与平面与平面pbc中两相交直线垂直，因为中两相交直线垂直，因为pa平面平面abc，又因为，又因为o、q均为三角形的垂均为三角形的垂心，因此可得到一系列的线线、线面垂直关心，因此可得到一系列的线线、线面垂直关系而线线垂直、线面的垂直关系又可相互转系而线线垂直、线面的垂直关系又可相互转化

11、，即可由线线垂直证得线面垂直，由线面垂化，即可由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直又证得线线垂直直又证得线线垂直1如图所示，直三棱柱如图所示，直三棱柱abca1b1c1中，中，acbc1，acb90，a1a ，d是是a1b1的中点的中点(1)求证：求证：c1d平面平面abb1a1；(2)在在bb1上找一点上找一点f，使，使ab1平面平面c1df，并，并说明理由说明理由6(1)证明：证明：abca1b1c1是直三棱柱，是直三棱柱，aa1平面平面a1b1c1.又又c1d平面平面a1b1c1，c1da1a，又又a1c1b1c1acbc1，d是是a1b1的中点，的中点，c1da1b1，c1d平面平面ab

12、b1a1.(2)解析：解析：作作deab1于于e，延长，延长de交交bb1于于f，连结连结c1f，则，则ab1平面平面c1df，这是因为这是因为ab1df，ab1c1d，dfc1dd，所以，所以ab1平面平面c1df.【练习【练习2 2】如图，四边形如图，四边形abcdabcd为正方形，为正方形，sasa平面平面abcdabcd，过过a a且垂直且垂直scsc的平面分别交的平面分别交sbsb、scsc、sdsd于于e e、f f、g g，求证：求证：aesbaesb，agsd.agsd. 【练习【练习3 3】如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，底面中，底面abc是直角三角形

13、，是直角三角形，abc=900，2ab=bc=bb1=a，且且a1cac1=d，bc1b1c=e，截面，截面abc1与截面与截面a1b1c交于交于de.（1）a1b1平面平面bb1c1c；（；（2）求证：）求证：a1cbc1；（3）求证：）求证：de平面平面bb1c1c.如图，四棱锥如图，四棱锥pabcd中，底面中，底面abcd是是dab60的菱形，侧面的菱形，侧面pad为正为正三角形，其所在平面垂直于底面三角形，其所在平面垂直于底面abcd.(1)求证：求证：adpb；(2)若若e为为bc边的中点，能否在边的中点，能否在棱棱pc上找到一点上找到一点f，使平面，使平面def平面平面abcd，并

14、证明，并证明你的结论你的结论考点三考点三平面与平面垂直平面与平面垂直(1)【证明证明】如图，取如图，取ad的中点的中点g，连接，连接pg，bg，bd.pad为等边三角形，为等边三角形，pgad，又又平面平面pad平面平面abcd，pg平面平面abcd.在在abd中，中，dab60，adab，abd为等边三角形，为等边三角形，bgad，ad平面平面pbg，adpb.(2)【解析解析】连接连接cg，de，且，且cg与与de相交相交于于h点，点，在在pgc中作中作hfpg，交交pc于于f点，连接点，连接df，fh平面平面abcd，平面平面dhf平面平面abcd.h是是cg的中点，的中点，f是是pc的

15、中点，的中点，在在pc上存在一点上存在一点f，即为，即为pc的中点，使得的中点，使得平面平面def平面平面abcd. 【方法探究方法探究】证明直线和平面垂直，关键是证明直线和平面垂直，关键是寻找面内的两相交直线与已知直线垂直证明寻找面内的两相交直线与已知直线垂直证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明角为直角，利用定义来证明如图，正方形如图，正方形abcd和四边形和四边形acef所在的平所在的平面互相垂直，面互相垂直，efac，ab ，ceef1.

16、(1)求证：求证：af平面平面bde；(2)求证：求证：cf平面平面bde.【练习练习1】2所以四边形所以四边形agef为平行四边形，为平行四边形，所以所以afeg.因为因为eg平面平面bde，af 平面平面bde，所以所以af平面平面bde.(2)连结fg.因为efcg，efcg1，且ce1，所以四边形cefg为菱形所以cfeg.因为四边形abcd为正方形，所以bdac.(10分)又因为平面acef平面abcd，且平面acef平面abcdac，所以bd平面acef.所以cfbd又bdegg.所以cf平面bde【练习练习2】 如下图，过如下图，过s引三条长度相等但不共面的引三条长度相等但不共面

17、的线段线段sa、sb、sc，且，且asb=asc=60，bsc=90，求证：平面，求证：平面abc平面平面bsc.sbcao练习练习3 3：如图如图平面，四边形是平面，四边形是矩矩 形，、分别是、形，、分别是、的中点的中点. .) )求平面与平面所成二面角的大小；求平面与平面所成二面角的大小； ) )求证：平面求证：平面平面平面 pa【练习【练习4 4】如图如图,四棱锥四棱锥p-abcd的底面是矩形的底面是矩形,pa 平面平面abcd,e,f分别是分别是ab,pd的中点的中点,又二面角又二面角p-cd-b为为45。1)求证求证:af/平面平面pec2)求证求证:平面平面pec 平面平面pcd3

18、) 设设ad=2,cd= ,求点求点a到平面到平面pec的距离的距离22【练习练习5】 已知正三棱柱已知正三棱柱abca1b1c1，若过面对角，若过面对角线线ab1与另一面对角线与另一面对角线bc1平行的平面交上底面平行的平面交上底面a1b1c1的一边的一边a1c1于点于点d.（1）确定）确定d的位置，并证明你的结论；的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面）证明：平面ab1d平面平面aa1d；（3）若）若ab aa1= ，求平面，求平面ab1d与平面与平面ab1a1所所成角的大小成角的大小.2aabbcc111【知识方法总结知识方法总结】 1.线面垂直关系的判定和证明线面垂直关系的判定和证明, 要注意线线垂直关系要注意线线垂直关系, 面面垂直关系与它之间的相互转化面面垂直关系与它之间的相互转化.2.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂垂足足”，如果