2021版高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1

1、第三章 函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点主题主题1 1 函数的零点函数的零点1.1.观察下列一元二次方程与对应的二次函数：观察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)(1)方程方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x-3.-2x-3.(2)(2)方程方程x x2 2-2x+1=0-2x+1=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x+1.-2x+1.(3)(3)方程方程x x2 2-2x+3=0-2x+3=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x+3.-2x+3. 课前自主学习课前自主学习结合下面的表格，完成填空结合下面的表格，完成填空

2、函数函数y=xy=x2 2-2x-3-2x-3y=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+3-2x+3图象图象 与与x x轴交轴交点的坐标点的坐标_对应方程对应方程的根的根_(-1(-1，0)0)，(3(3，0)0)(1(1，0)0)无无-1-1，3 31 1无无2.2.结合问题结合问题1 1，你认为方程，你认为方程f(x)=0f(x)=0的根与对应函数的根与对应函数y=f(x)y=f(x)的图象有什么关系？的图象有什么关系？提示：提示：方程方程f(x)=0f(x)=0的根与函数的根与函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴交点的横坐标相等轴交点的横坐标相等.

3、.结论：结论：1.1.函数零点的定义函数零点的定义对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)，使，使f(x)=0f(x)=0的的_x_x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点. .2.2.函数零点的意义函数零点的意义方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与_有交点有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有有_._.实数实数x x轴轴零点零点【对点训练对点训练】1.1.设函数设函数f(x)=2f(x)=21-x1-x-4-4，g(x)=1-logg(x)=1-log2 2(x+3)(x+3)，则函数，则函数f(x)f(x)的零点与

4、的零点与g(x)g(x)的零点之的零点之和为和为( () )a.-2 a.-2 b.2b.2c.0c.0d.-3d.-3【解析解析】选选a.a.令令f(x)=2f(x)=21-x1-x-4=0-4=0解得解得x=-1x=-1，即，即f(x)f(x)的零点为的零点为-1-1，令，令g(x)=g(x)=1-log1-log2 2(x+3)=0(x+3)=0，解得，解得x=-1x=-1，所以函数，所以函数f(x)f(x)的零点与的零点与g(x)g(x)的零点之和为的零点之和为-2.-2.2.2.函数函数f(x)=ln x- f(x)=ln x- 的零点的个数是的零点的个数是( () )a.0a.0b

5、.1b.1c.2c.2d.3d.3【解析解析】选选c.c.画出画出y=ln xy=ln x与与y= y= 的图象，由图知的图象，由图知y=ln xy=ln x与与y= (x0y= (x0，且，且x1)x1)的图象有两个交点的图象有两个交点. .故函数故函数f(x)=ln x- f(x)=ln x- 的零点有的零点有2 2个个. .1x11x11x11x1主题主题2 2 函数零点的判断函数零点的判断1.1.观察函数观察函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x-3-2x-3的图象的图象. . (1)f(x)(1)f(x)在区间在区间(-2(-2，1)1)上有零点吗？上有零点吗？_；f(-2)=_f

6、(-2)=_，f(1)=_f(1)=_，f(-2)f(1)_0(f(-2)f(1)_0(填填“”).”).提示：提示：有有5 5-4-4 (2)f(x)(2)f(x)在区间在区间(2(2，4)4)上有零点吗？上有零点吗？_；f(2)=_f(2)=_，f(4)=_f(4)=_，f(2)f(4)_0(f(2)f(4)_0(填填“”).”).提示：提示：有有-3-35 5 2.2.观察函数观察函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象. .(1)(1)在区间在区间(a(a，b)b)上上_(_(填填“有有”或或“无无”) )零点；零点；f(a)f(b)_0(f(a)f(b)_0(填填“”).”).(2)

7、(2)在区间在区间(b(b，c)c)上上_(_(填填“有有”或或“无无”) )零点；零点；f(b)f(c)_0(f(b)f(c)_0(填填“”).”).(3)(3)在区间在区间(c(c，d)d)上上_(_(填填“有有”或或“无无”) )零点；零点；f(c)f(d)_0(f(c)f(d)_0(填填“”).”).提示：提示：(1)(1)有有 (2)(2)有有 (3)(3)有有 结论：结论：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图象是上的图象是_的一条曲线，并且的一条曲线，并且_，那么函数，那么函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a(a，b)b)内有内有_，即存在，

8、即存在c(ac(a，b)b)，使得，使得_，这个，这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的的_._.连续不断连续不断f(a)f(b)0f(a)f(b)0零点零点f(c)=0f(c)=0根根【对点训练对点训练】1.1.函数函数f(x)=ln x+ f(x)=ln x+ 的零点为的零点为( () )a.1a.1b. b. c.ec.ed. d. 【解析解析】选选a.a.依次检验，使依次检验，使f(x)=0f(x)=0的即为零点的即为零点. .x1x121e2.2.函数函数f(x)=logf(x)=log2 2x+x-4x+x-4的零点所在的区间是的零点所在的区间是( () )a.

9、a. b.(1b.(1，2)2)c.(2c.(2，3)3)d.(3d.(3，4)4)【解析解析】选选c.c.因为因为f(2f(2)=3-40)=3-403-10，根据零点的存在性定理知，函数，根据零点的存在性定理知，函数f(x)f(x)在在(2(2，3)3)上至少有一个上至少有一个零点零点. .1( ,1)2课堂合作探究课堂合作探究类型一类型一 求函数的零点求函数的零点【典例典例1 1】(1)(1)已知函数已知函数f(x)= f(x)= 则函数则函数f(x)f(x)的零点为的零点为( () )a.-3a.-3，3 3b.-3b.-3，3 3，-1-1，1+ 1+ ，1- 1- c.-3c.-3

10、，3 3，-1-1，1+ 1+ d.-3d.-3，3 3，1+1+ (2)(2)若若 是函数是函数f(x)=2xf(x)=2x2 2-ax+3-ax+3的一个零点，则的一个零点，则f(x)f(x)的零点为的零点为_._.【解题指南解题指南】根据零点的定义转化为求方程的根根据零点的定义转化为求方程的根. .x2212x18log | x2x2|x1，222232【解析解析】(1)(1)选选d.d.当当x1x1时，由时，由f(x)=2f(x)=2x x- =0- =0，解得，解得x=-3x=-3；当当x1x1时，由时，由loglog2 2|x|x2 2-2x-2|=0-2x-2|=0，得，得|x|

11、x2 2-2x-2|=1-2x-2|=1，所以，所以x x2 2-2x-2=1-2x-2=1或或x x2 2-2x-2=-1-2x-2=-1，解得解得x=3x=3，-1-1，1 1 ，又因为，又因为x1x1，所以，所以x=3x=3，1+ .1+ .所以，函数所以，函数f(x)f(x)的零点为的零点为-3-3，3 3，1+ .1+ .18222(2)(2)由由 a+3=0a+3=0得得a=5a=5，则则f(x)=2xf(x)=2x2 2-5x+3-5x+3，令，令f(x)=0f(x)=0，即，即2x2x2 2-5x+3=0-5x+3=0，解得解得x x1 1= = ，x x2 2=1=1，所以，

12、所以f(x)f(x)的零点是的零点是 和和1.1.答案：答案： 和和1 1393f( ) 2242323232【方法总结方法总结】求函数零点的方法求函数零点的方法(1)(1)代数法：求方程代数法：求方程f(x)=0f(x)=0的实数根的实数根. .(2)(2)几何法：转化为函数几何法：转化为函数f(x)f(x)的图象与的图象与x x轴交点的横坐标求函数的零点轴交点的横坐标求函数的零点. .【跟踪训练跟踪训练】求下列函数的零点求下列函数的零点. .(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3+8.+8.(2)f(x)=ln x+x-1.(2)f(x)=ln x+x-1.(3)f(x)= (3)f(

13、x)= 2xx2,x2x12x1, 1x2. 或，【解析解析】(1)(1)令令x x3 3+8=0+8=0，得，得x=-2x=-2，所以函数所以函数f(x)=xf(x)=x3 3+8+8的零点为的零点为-2.-2.(2)(2)因为函数因为函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0(0，+)+)内是增函数，且内是增函数，且f(1)=0f(1)=0，所以函数，所以函数f(x)f(x)的的零点有且仅有一个，即零点有且仅有一个，即1.1.(3)(3)当当x2x2或或x-1x-1时，时，令令x x2 2-x-2=0-x-2=0，得，得x=2x=2或或-1-1，当当-1x2-1x2时，令时，令2 2x x-

14、1=0-1=0，得，得2 2x x=1=1，所以所以x=0 x=0，所以函数的零点为，所以函数的零点为2 2，-1-1，0.0.类型二类型二 函数零点个数的判断函数零点个数的判断【典例典例2 2】(1)(1)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c中，中，ac0ac0，则函数的零点个数是，则函数的零点个数是 ( () )a.1a.1个个 b.2b.2个个 c.0c.0个个 d.d.无法确定无法确定(2)(2)求函数求函数f(x)=x-3+ln xf(x)=x-3+ln x的零点个数的零点个数. .【解题指南解题指南】(1)(1)根据判别式判断函数零点的个数根据判别式判断函数零

15、点的个数. .(2)(2)根据函数图象或函数的单调性进行判断根据函数图象或函数的单调性进行判断. . 【解析解析】(1)(1)选选b.b.因为因为ac0ac0-4ac0，故二次函数，故二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有两个有两个零点零点. .(2)(2)方法一：令方法一：令f(x)=x-3+ln x=0f(x)=x-3+ln x=0，则则ln x=3-x.ln x=3-x.在同一平面直角坐标系内画出函数在同一平面直角坐标系内画出函数y=ln xy=ln x与与y=-x+3y=-x+3的图象，如图的图象，如图所示所示. .由图可知函数由图可知函数y=ln xy=ln x，y=-

16、x+3y=-x+3的图象只有一个交点，即函数的图象只有一个交点，即函数f(x)=x-3+ln xf(x)=x-3+ln x只只有一个零点有一个零点. .方法二：因为方法二：因为f(3)=ln 30f(3)=ln 30，f(2)=-1+ln 2=ln 0f(2)=-1+ln 2=ln 0，所以所以f(3)f(3)f(2)0f(2)0，说明函数，说明函数f(x)=x-3+ln xf(x)=x-3+ln x在区间在区间(2(2，3)3)内有零点内有零点. .又又f(x)=x-3+ln xf(x)=x-3+ln x在在(0(0，+)+)上是增函数，所以原函数只有一个零点上是增函数，所以原函数只有一个零

17、点. .2e【方法总结方法总结】判断函数零点个数的三种方法判断函数零点个数的三种方法(1)(1)方程法：若方程方程法：若方程f(x)=0f(x)=0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数断函数是否存在零点或判断零点的个数. .(2)(2)图象法：由图象法：由f(x)=g(x)-h(x)=0f(x)=g(x)-h(x)=0，得，得g(x)=h(x)g(x)=h(x)，在同一坐标系内作出，在同一坐标系内作出y y1 1=g(x)=g(x)和和y y2 2=h(x)=h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零

18、点的个数的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. .(3)(3)定理法：函数定理法：函数y=f(x)y=f(x)的图象在区间的图象在区间aa，bb上是一条连续不断的曲线，由上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0f(a)f(b)0)a(a0)上是单调函数，且上是单调函数，且f(0)f(a)0f(0)f(a)0，则方程，则方程f(x)=0f(x)=0在区间在区间-a-a，aa内根的个数是内根的个数是( () )a.1a.1b.2b.2c.3c.3d.0d.0【解析解析】选选b.b.由函数零点的存在性定理可知，函数由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)f(x)在区间在区间00，a

19、a内只有内只有一个零点，设为一个零点，设为x x0 0，则，则f(xf(x0 0)=0)=0，又因为，又因为f(x)f(x)为偶函数，所以为偶函数，所以f(-xf(-x0 0)=f(x)=f(x0 0)=0)=0，即即-x-x0 0是函数在是函数在-a-a，00内唯一的零点，故方程内唯一的零点，故方程f(x)=0f(x)=0在区间在区间-a-a，aa内根的个内根的个数为数为2.2.2.2.将函数将函数y=ey=ex x的图象先向右平移的图象先向右平移1 1个单位，再向下平移个单位，再向下平移3 3个单位，得到函数个单位，得到函数y=f(x)y=f(x)的图象，则函数的图象，则函数y=f(x)y

20、=f(x)的零点为的零点为_._.【解析解析】将函数将函数y=ey=ex x的图象先向右平移的图象先向右平移1 1个单位，再向下平移个单位，再向下平移3 3个单位，得到函个单位，得到函数数y=ey=ex-1x-1-3.-3.令令y=ey=ex-1x-1-3=0-3=0，得到其零点为，得到其零点为1+ln 3.1+ln 3.答案：答案：1+ln 31+ln 33.3.函数函数f(x)= f(x)= 的零点个数为的零点个数为_个个.【解析解析】方程方程x+2=0(x0)x+2=0(x0)-1=0(x0)的解为的解为x=1x=1，所以函数，所以函数f(x)f(x)有两个零点有两个零点-2-2与与1.

21、1.答案：答案：2 22x2,x0,x1,x0类型三类型三 函数零点所在区间的判断函数零点所在区间的判断【典例典例3 3】(1)(1)二次函数二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c的部分对应值如表：的部分对应值如表：x x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 34 4y y6 6m m-4-4-6-6-6-6-4-4n n6 6不求不求a a，b b，c c的值，判断方程的值，判断方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根所在区间是的两根所在区间是( () )a.(-3a.(-3，-1)-1)和和(2(2，4)4)b.(-3b.(-3，-1)-1)和和

22、(-1(-1，1)1)c.(-1c.(-1，1)1)和和(1(1，2)2)d.(-d.(-，-3)-3)和和(4(4，+)+)(2)(2)已知函数已知函数f(x)= -logf(x)= -log2 2x x，在下列区间中，包含，在下列区间中，包含f(x)f(x)零点的区间是零点的区间是( () )a.(0a.(0，1)1)b.(1b.(1，2)2)c.(2c.(2，4)4)d.(4d.(4，+)+)6x【解题指南解题指南】(1)(1)根据二次函数图象的对称性和连续性，判断零点所在的区间根据二次函数图象的对称性和连续性，判断零点所在的区间. .(2)(2)根据函数的单调性判断根据函数的单调性判断

23、. .【解析解析】(1) (1) 选选a.a.易知二次函数易知二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c的图象是一条连续不断的曲的图象是一条连续不断的曲线，又线，又f(-3)f(-3)f(-1)=6f(-1)=6(-4)=-240(-4)=-240f(1)=60，f(2)=3-logf(2)=3-log2 22=202=20，f(4)= 0f(4)= 0，由零点存在性定理，可，由零点存在性定理，可知包含知包含f(x)f(x)零点的区间是零点的区间是(2(2，4).4).6x31222 【方法总结方法总结】确定函数确定函数f(x)f(x)零点所在区间的常用方法零点所在区间的常

24、用方法(1)(1)解方程法：当对应方程解方程法：当对应方程f(x)=0f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上在给定区间上. .(2)(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图象是否上的图象是否连续，再看是否有连续，再看是否有f(a)f(b)0.f(a)f(b)0.若若f(a)f(b)0f(a)f(b)0，则函数，则函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a(a，b)b)内必有零点内必有零点. .(3)(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与数形

25、结合法：通过画函数图象，观察图象与x x轴在给定区间上是否有交点来轴在给定区间上是否有交点来判断判断. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.若若abcabc，则函数，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别的两个零点分别位于区间位于区间( () )a.(aa.(a，b)b)和和(b(b，c)c)内内b.(-b.(-，a)a)和和(a(a，b)b)内内c.(bc.(b，c)c)和和(c(c，+)+)内内d.(-d.(-，c)c)和和(c(c，+)+)内内【解析解析】选选a.a

26、.因为因为f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，所以，所以f(a)=f(a)=(a-b)(a-c)(a-b)(a-c)，f(b)=(b-c)(b-a)f(b)=(b-c)(b-a)，f(c)=(c-a)(c-b).f(c)=(c-a)(c-b).因为因为abcab0f(a)0，f(b)0f(b)0.f(c)0.所以所以f(x)f(x)的两个零点分别位于区间的两个零点分别位于区间(a(a，b)b)和和(b(b，c)c)内内. .2.2.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 若函数若函数g(x)=f(x)+3a-1g(x)=f(x)+3a-1有四个各不相同的有四个各不相同的零点零点x x1 1，x x2 2，x x3 3，x x4 4，且，且x x1 1xx2