2021版新高考数学一轮复习高考命题新思维之二文物中寻找数学之美课件新人教B版

1、高考命题新思维之二文物中寻找数学之美【题目题目】(2019(2019全国卷全国卷第第1616题题) )中国有悠久的金石文化中国有悠久的金石文化, ,印信是金石文化的代表之一印信是金石文化的代表之一. .印信的形状多为长方体、正方印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体体或圆柱体, ,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体半正多面体”( (图图1).1).半半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. .半正多面体体现了数学半正多面体体现了数学的对称美的对称美. .图图2 2是一个棱数为是一个棱数为

2、4848的半正多面体的半正多面体, ,它的所有顶点都在同一个正方体的它的所有顶点都在同一个正方体的表面上表面上, ,且此正方体的棱长为且此正方体的棱长为1.1.则该半正多面体共有则该半正多面体共有_个面个面, ,其棱长为其棱长为_.(_.(本题第一空本题第一空2 2分分, ,第二空第二空3 3分分) 【试题点评试题点评】试题首次设计了两个空试题首次设计了两个空, ,分出了难度梯次分出了难度梯次, ,使得不同的考生都有展示自己的平台使得不同的考生都有展示自己的平台, ,加大了试题的区分度加大了试题的区分度. .也使文理合卷后的试题结构变化作了有益的探索也使文理合卷后的试题结构变化作了有益的探索.

3、 .试题要试题要求考生根据条件作出正确的界面求考生根据条件作出正确的界面, ,将立体问题转化为平面问题将立体问题转化为平面问题, ,正确分析图形中正确分析图形中基本元素及其相互关系基本元素及其相互关系. .题目侧重于知识的理解和应用题目侧重于知识的理解和应用, ,对高中立体几何的教学对高中立体几何的教学和学习有积极的引导作用和学习有积极的引导作用. . 【命题探源命题探源】这道题中的这道题中的“半正多面体半正多面体”正是现藏于陕西历史博物馆的馆藏文物西魏大将军独正是现藏于陕西历史博物馆的馆藏文物西魏大将军独孤信孤信(502(502年年-557-557年年) )多面体煤精组印多面体煤精组印. .

4、该印体高该印体高4.54.5厘米厘米, ,宽宽4.354.35厘米厘米, ,重重75.775.7克克, ,印质地煤精石印质地煤精石, ,是由是由2626个大小不一的正方形和三角形组成的多面体个大小不一的正方形和三角形组成的多面体. .其中其中1414个正方个正方形印面上刻着规范的楷书阴文形印面上刻着规范的楷书阴文, ,分别为分别为“臣信上疏臣信上疏”“”“臣信上章臣信上章”“”“臣信上臣信上表表”“”“臣信启事臣信启事”“”“信白笺信白笺”“”“信启事信启事”“”“大司马印大司马印”“”“大都督印大都督印”“”“刺史之刺史之印印”“”“柱国之印柱国之印”“”“耶敕耶敕”“”“令令”“”“密密”

5、以及以及“独孤信白书独孤信白书”.14.14面印文内容不面印文内容不同同, ,各有其用途各有其用途, ,是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料. . 这枚印章的主人西魏大将军独孤信是西魏威震四方的一代名将这枚印章的主人西魏大将军独孤信是西魏威震四方的一代名将, ,因战功卓著因战功卓著, ,拔至宰辅拔至宰辅, ,声名远播声名远播. .独孤信不仅自身战功赫赫独孤信不仅自身战功赫赫, ,他的女儿也很有名他的女儿也很有名. .他有他有7 7个女儿个女儿, ,其中大女儿嫁给了北周明帝宇文毓其中大女儿嫁给了北周明帝宇文毓, ,七女儿嫁给了隋开国皇帝杨坚七女儿嫁给了隋开国皇帝杨坚,

6、 ,四女儿嫁给四女儿嫁给了唐代开国皇帝李渊的父亲了唐代开国皇帝李渊的父亲. .因此因此, ,人们戏称他为人们戏称他为“史上最牛老丈人史上最牛老丈人”. . 这枚印章不仅见证了主人的荣光这枚印章不仅见证了主人的荣光, ,而且是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料而且是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料, ,它的它的“科学之美科学之美”还给了科学家很多研究的灵感还给了科学家很多研究的灵感. .【高考声音高考声音】填空题从过去的一题一空发展到一题两空填空题从过去的一题一空发展到一题两空, ,目的就是为了更加精确地区分考生目的就是为了更加精确地区分考生. .以往的填空题一题一空以往的填空题一题一空, ,没有中间

7、分没有中间分, ,考生不是得考生不是得5 5分就是得分就是得0 0分分, ,一知半解和功亏一知半解和功亏一篑是同样的结果一篑是同样的结果. .填空题一题两空可以采取平行设计填空题一题两空可以采取平行设计, ,也可以采取递进设计也可以采取递进设计. .平平行设计的试题行设计的试题, ,两空关联性较弱两空关联性较弱, ,解答互不影响解答互不影响. .递进设计使问题层层深入递进设计使问题层层深入, ,对知对知识地考查更加深入识地考查更加深入. .【解法探究解法探究】空间想象能力要求高空间想象能力要求高, ,物体位置还原是关键物体位置还原是关键, ,遇到新题别慌乱遇到新题别慌乱, ,题目其实很简单题目

8、其实很简单, ,稳中求胜是关键稳中求胜是关键. .立体几何平面化立体几何平面化, ,无论多难无论多难都不怕都不怕. .本题的题眼有两处本题的题眼有两处: :一是半正多面体的组成一是半正多面体的组成半正多面体是由两种或两半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体种以上的正多边形围成的多面体, ,需提炼出半正多面体的棱长均相等需提炼出半正多面体的棱长均相等; ;二是将半正二是将半正多面体放到正方体中去观察其特征多面体放到正方体中去观察其特征它的所有顶点都在同一个棱长为它的所有顶点都在同一个棱长为1 1的正方的正方体的表面上体的表面上, ,需提炼出需提炼出gh=bg+bc+ch=1.gh=b

9、g+bc+ch=1.再利用方程思想再利用方程思想, ,即可轻松求出该半正多即可轻松求出该半正多面体的棱长面体的棱长. .【解析解析】由图由图1 1可知从上数第一层与第三层各有可知从上数第一层与第三层各有9 9个面个面, ,共共1818个面个面, ,第二层有第二层有8 8个面个面, ,所以该半正多面体共有面所以该半正多面体共有面18+8=26(18+8=26(个个).).如图所示如图所示, ,设该半正多面体的棱长为设该半正多面体的棱长为x,x,则则ab=be=x,ab=be=x,延长延长cb,cb,与与fefe的延长线交于点的延长线交于点g,g,延长延长bcbc交正方体的棱长于点交正方体的棱长于

10、点h,h,由半正多面体的对称性可知由半正多面体的对称性可知, ,bgebge为等腰直角三为等腰直角三角形角形, ,所以所以bg=ge=ch= x,bg=ge=ch= x,所以所以gh=2gh=2 x+x=( +1)x, x+x=( +1)x,又正方体的棱长为又正方体的棱长为1,1,所所以以gh=1,gh=1,所以所以( +1)x=1,( +1)x=1,解得解得x= -1,x= -1,即该半正多面体的棱长为即该半正多面体的棱长为 -1.-1.答案答案: :2626 -1-1222222222【新题试做新题试做】沙漏是古代的一种计时装置沙漏是古代的一种计时装置, ,它由两个形状完全相同的容器和一它

11、由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成个狭窄的连接管道组成, ,开始时细沙全部在上部容器中开始时细沙全部在上部容器中, ,细沙通过连接管道全部流细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时. .如图如图, ,某沙漏由上下两个圆锥组某沙漏由上下两个圆锥组成成, ,圆锥的底面直径和高均为圆锥的底面直径和高均为8 cm,8 cm,细沙全部在上部时细沙全部在上部时, ,其高度为圆锥高度的其高度为圆锥高度的_ _ ( (细管长度忽略不计细管长度忽略不计).).如果该沙漏每秒钟漏下如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm0.02 cm3 3

12、的沙的沙, ,则该沙漏的一个沙则该沙漏的一个沙时为时为_秒秒( (精确到精确到1 1秒秒););细沙全部漏入下部后细沙全部漏入下部后, ,恰好堆成一个盖住沙漏底部恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆的圆锥形沙堆, ,则此锥形沙堆的高度为则此锥形沙堆的高度为_cm.(_cm.(精确到精确到0.1 cm).0.1 cm).【解析解析】开始时开始时, ,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h= ,h= ,底面半径为底面半径为r=r= , ,v= rv= r2 2h= h= 39.72,v 39.72,v0.02=1 986(0.02=1 986(秒秒).).所以沙全部漏入下部所以沙全部漏入下部约需约需1 9