2021届高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第8节离散型随机变量的均值与方差正态分布课时跟踪检测理含解析

1、第十一章第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布计数原理、概率、随机变量及其分布 第八节第八节 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 正态分布正态分布 a 级 基础过关 |固根基| 1.(2019 届广东东莞模拟)假设东莞市市民使用移动支付的概率都为 p， 且每位市民使用支付方式都相互独立，已知 x 是其中 10 位市民使用移动支付的人数，且 e(x)6，则 p 的值为( ) a0.4 b0.5 c0.6 d0.8 解析：选 c 由已知得 xb(10，p)，e(x)10p6，解得 p0.6.故选 c 2(2019 届福建宁德二模)某校有 1 000 人参加某次模拟考试，其中数

2、学考试成绩近似服从正态分布 n(105，2)(0)，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为( ) a150 b200 c300 d400 解析：选 c 由题意知，p(x120)0.2，p(90x120)10.40.6，p(90x105)12p(90x120)0.3，此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 1 0000.3300.故选 c 3(2019 届郑州市第二次质量预测)如图，在曲线 c(曲线 c 为正态分布 n(2，4)的密度曲线)与 x轴围成的区域中随机投掷 1

3、0 000 个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值为( ) (附：xn(，2)，则 p(x)0.682 7；p(2x2)0.954 5.) a906 b2 718 c1 359 d3 413 解析：选 c 因为 xn(2，4)，所以正态分布密度曲线关于直线 x2 对称，且 2，2.因为 p(x)p(4x0)0.682 7，p(2x2)p(6x2)0.954 5，所以 p(0 x2)12p(6x2)p(4x0)12(0.954 50.682 7)0.135 9.设落入阴影部分的点的个数为 m，则m10 0000.135 9，解得 m1 359，故选 c 4(2019 届乌鲁木齐模拟)口袋中有编

4、号分别为 1，2，3 的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 x 的期望为( ) a13 b23 c2 d83 解析：选 d 因为口袋中有编号分别为 1，2，3 的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取 2 个， 所以取出的球的最大编号 x 的可能取值为 2， 3， p(x2)1c2313， p(x3)c12c11c2323，所以 e(x)21332383. 5(2019 届安徽巢湖一模)某次考试共有 12 个选择题，每个选择题的分值为 5 分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的，a 学生对 12 个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为

5、 x 分，b 学生对 12 个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的， 对其他三个选项都没有把握， 最后选择题的得分为 y 分， 则 d(y)d(x)( ) a12512 b3512 c274 d234 解析： 选 a 设 a 学生答对题的个数为 m， 得分为 5m 分， 则 mb12，14， d(m)12143494，d(x)25942254.设 b 学生答对题的个数为 n，得分为 5n 分，则 nb12，13，d(n)12132383，d(y)25832003.d(y)d(x)2003225412512.故选 a 6(2019 届南宁二中、柳州高中第二次联考)甲、乙两类水果

6、的质量(单位：kg)分别服从正态分布 n(1，21)，n(2，22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( ) a甲类水果的平均质量为 0.4 kg b甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 c甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 d乙类水果的质量服从的正态分布的参数 21.99 解析：选 d 由图象可知甲的正态曲线关于直线 x0.4 对称，乙的正态曲线关于直线 x0.8 对称，所以 10.4，20.8，故 a、c 正确；由题图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故 b 正确；因为乙的正态曲线的最大值为 1.99，即1221.99，所

7、以 21.99，故 d 错误故选 d 7 (2019 届石家庄一模)已知随机变量 x 服从正态分布 n(2， 1)， 若 p(xa2)p(x2a3)，则 a_ 解析：因为随机变量 x 服从正态分布 n(2，1)，所以 2，即正态曲线的对称轴为 2.因为 p(xa2)p(x2a3)，所以 a22a34，所以 a1. 答案：1 8(2019 届丹东二模)某种种子每粒发芽的概率都为 0.85，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的粒子数记为 x，则 x 的数学期望 e(x)_. 解析：设没有发芽的种子数为 y，则有 x2y. 由题意可知 y 服从二项分布，即 yb

8、(1 000，0.15)， e(y)1 0000.15150，e(x)2e(y)300. 答案：300 9(2019 年天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 (1)用 x 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 x 的分布列和数学期望； (2)设 m 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30之前到校的天数恰好多 2”，求事件 m 发生的概率 解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率

9、均为23，故 xb3，23，从而 p(xk)ck323k133k，k0，1，2，3. 所以，随机变量 x 的分布列为 x 0 1 2 3 p 127 29 49 827 随机变量 x 的数学期望 e(x)3232. (2)设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 y，则 yb3，23，且 mx3，y1x2，y0由题意知事件x3，y1与x2，y0互斥，且事件x3与y1，事件x2与y0均相互独立，从而由(1)知 p(m)p(x3，y1x2，y0)p(x3， y1)p(x2， y0)p(x3)p(y1)p(x2)p(y0)827294912720243. 10(2020 届陕西摸底)某市

10、有 a，b，c，d 4 个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 a 的概率为23，游览 b，c 和 d 的概率都是12，该游客是否游览这 4 个景点相互独立 (1)求该游客至多游览 1 个景点的概率； (2)用随机变量 x 表示该游客游览的景点的个数，求 x 的分布列和数学期望 e(x) 解：(1)记“该游客游览 i 个景点”为事件 ai，i0，1， 则 p(a0)123112112112124， p(a1)231123123 该游客至多游览 1 个景点的概率 pp(a0)p(a1)12452414. (2)由题意知随机变量 x 的所有可能取值为 0，1，2，3，

11、4， 则 p(x0)p(a0)124，p(x1)p(a1)524， p(x2)232312211238， p(x3)23c23122112123c33123724，p(x4)23123112， x 的分布列为 x 0 1 2 3 4 p 124 524 38 724 112 故 e(x)0124152423837244112136. b 级 素养提升 |练能力| 11.(2019 年浙江卷)设 0a1，随机变量 x 的分布列是 x 0 a 1 p 13 13 13 则当 a 在(0，1)内增大时，( ) ad(x)增大 bd(x)减小 cd(x)先增大后减小 dd(x

12、)先减小后增大 解析： 选 d 由题意可得， e(x)13(a1)， 所以 d(x)（a1）227（12a）227（a2）2276a26a62729a12234，所以当 a 在(0，1)内增大时，d(x)先减小后增大故选 d 12(2019 届昆明质检)某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 x 近似服从正态分布 n(84，2)，且 p(78x84)0.3.该市某校有 400 人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于 90 分的人数为( ) a60 b80 c100 d120 解析：选 b 根据正态分布密度曲线的对称性可知 p(84x90)p(78x84)0.3，所以 p(x90)0.5p(

13、84x90)0.2，所以该校数学成绩不低于 90 分的人数约为 4000.280. 13(2019 届福建省高三质检)已知 5 台机器中有 2 台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出 2 台故障机器为止 若检测一台机器的费用为 1 000 元， 则所需检测费的均值为( ) a3 200 元 b3 400 元 c3 500 元 d3 600 元 解析：选 c 解法一：设被检测机器的台数为 x，则 x 的所有可能取值为 2，3，4.因为p(x2)a22a25110，p(x3)c12c13a22a33a35310，p(x4)c12a13a23c12a4535，所以 e(x)211033104357

14、2，所以所需检测费的均值为 1 000723 500(元)，故选 c 解法二：设所需检测费为 y 元，则 y 的所有可能取值为 2 000，3 000，4 000.因为 p(y2 000)a22a25110，p(y3 000)c12c13a22a33a35310，p(y4 000)c12a13a23c12a4535，所以所需检测费的均值 e(y)2 0001103 0003104 000353 500(元)，故选 c 14(2020 届湖北部分重点中学联考)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户). 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯

15、月用电范围/度 0，210 (210，400 (400，) 某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量/度 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 (1)若规定第一阶梯电价每度 0.5 元， 第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元， 第三阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算居民用电户月用电 410 度时应交电费多少元？ (2)现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布列与期望； (3)以表中抽到的 10 户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取 10 户，若抽到k 户月用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值 解： (1)由题意知， 居民用电户月用电 410 度时应交电费 2100.5(400210)0.6(410400)0.8227(元) (2)设取到第二阶梯电量的用户数为 ， 由题意可知第二阶梯电的用户有 3 户， 则 可取 0，1，2，3， p(0)c37c310724，p(1)c27c13c3102140，p(2)c17c23c310740，p(3)c33c3101120.