2021届高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第4课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题课时跟踪检测理含解析

1、第三章第三章导数及其应用导数及其应用第二节第二节导数的应用导数的应用第四课时第四课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题a 级基础过关|固根基|1.(2019 届南昌调研)已知函数 f(x)是定义在 r 上的偶函数，设函数 f(x)的导函数为 f(x)，若对任意的 x0，都有 2f(x)xf(x)0 成立，则()a4f(2)9f(3)c2f(3)3f(2)d3f(3)0，都有 2f(x)xf(x)0 成立，则当 x0 时，有 g(x)x2f(x)xf(x)0 恒成立，即函数 g(x)在(0，)上为增函数又由函数 f(x)是定义在 r 上的偶函数，则 f(

2、x)f(x)，则有 g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，即函数 g(x)也为偶函数，则有 g(2)g(2)，且 g(2)g(3)，则有g(2)g(3)，即有 4f(2)0，则 f(t)ln t2et1.令 g(t)ln t2et1，t0，则 g(t)1t2et20，得 x(1，)，由 g(x)0，得x(0，1)，函数 g(x)在区间(0，)上的最小值为 g(1)e.ae 即实数 a 的最小值为 e.答案：e4 已知函数 f(x)x|x2a|， 若存在 x1， 2， 使得 f(x)2， 则实数 a 的取值范围是_解析：当 x1，2时，f(x)|x3ax|，由 f(x)2，得2x3ax2

3、，即为x22xa5，即 a5；设 h(x)x22x，则 h(x)2x2x2，当 x1，2时，h(x)0，即 h(x)在1，2上单调递减，可得 h(x)max121.即有a1.综上可得，a 的取值范围是1a0 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)xexex1aex，因为 f(1)ee1ae1，所以 a2.(2)设 g(x)f(x)ex1xexaex，则 g(x)ex(x1)exaex(x2a)ex，设 h(x)x2a，注意到 f(0)0，f(0)g(0)2a，当 a2 时，h(x)x2a0 在(0，)上恒成立，所以 g(x)0 在(0，)上恒成立，所以 g(x)在(0，)上单调递增，

4、所以 g(x)g(0)2a0，所以 f(x)0 在(0，)上恒成立所以 f(x)在(0，)上单调递增，所以 f(x)f(0)0 在(0，)上恒成立，符合题意当 a2 时，h(0)2a0，x0(0，a)，使得 h(x0)0，当 x(0，x0)时，h(x)0，所以 g(x)0，所以 g(x)在(0，x0)上单调递减，所以 f(x)在(0，x0)上单调递减，所以 f(x)f(0)2a0，所以 f(x)在(0，x0)上单调递减，所以当 x(0，x0)时，f(x)0 恒成立，h(x)在 r 上单调递增；当 a0 时，exa0，令 h(x)0，解得 xln 2a，当 xln 2a 时，h(x)ln 2a

5、时，h(x)0，函数 h(x)单调递增；当 a0，令 h(x)0，解得 xln(a)，当 xln(a)时，h(x)ln(a)时，h(x)0，函数 h(x)单调递增综上所述，当 a0 时，h(x)在 r 上单调递增；当 a0 时，h(x)在(，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，)上单调递增；当 a0 恒成立，即 h(x)min0.当 a0 时，h(x)e2x0 恒成立；当 a0 时，由(1)得，h(x)minh(ln 2a)4a2ln 2a0，ln 2a0，0a12；当 a0，ln(a)34，e34a0)上的最小值；(2)若存在 x1e，e(e 是自然对数的底数， e2.718 28)使不

6、等式 2f(x)g(x)成立， 求实数 a 的取值范围解：(1)由题意知 f(x)ln x1，当 x0，1e 时，f(x)0，此时 f(x)单调递增当 0tt21e时，t 无解；当 0t1et2，即 0t1e时，f(x)minf1e 1e；当1et1e时，f(x)在t，t2上单调递增，故 f(x)minf(t)tln t.所以 f(x)min1e，01e.(2)由题意，知 2xln xx2ax3，即 a2ln xx3x，令 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)2x13x2（x3） （x1）x2，当 x1e，1时，h(x)0，此时 h(x)单调递增所以 h(x)maxmax h1e ，

7、h（e） .因为存在 x1e，e，使 2f(x)g(x)成立，所以 ah(x)max，又 h1e 21e3e，h(e)2e3e，故 h1e h(e)，所以 a1e3e2.8(2019 届陕西教学质量检测)设函数 f(x)ln xkx，kr.(1)若曲线 yf(x)在点(e， f(e)处的切线与直线 x20 垂直， 求 f(x)的单调性和极小值(其中 e 为自然对数的底数)；(2)若对任意的 x1x20，f(x1)f(x2)0)，曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线 x20 垂直，f(e)0，即1eke20，解得 ke，f(x)1xex2xex2(x0)，由 f(x)0，得 0 x0，得 xe，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增当 xe 时，f(x)取得极小值，且 f(e)ln eee2.f(x)的极