2021届高考数学一轮复习第9章解析几何第9节第2课时最值范围证明问题课时跟踪检测理含解析

1、第九章第九章解析几何解析几何第九节第九节直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题第二课时第二课时最值、范围、证明问题最值、范围、证明问题a 级基础过关|固根基|1.(2019 年全国卷)已知 f1，f2是椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，p 为椭圆 c 上的点，o 为坐标原点(1)若pof2为等边三角形，求椭圆 c 的离心率；(2)如果存在点 p，使得 pf1pf2，且f1pf2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围解：(1)连接 pf1.由pof2为等边三角形可知在f1pf2中，f1pf290，|pf2|c，|pf1| 3c，于是 2a|pf1|pf2|(

2、31)c，故椭圆 c 的离心率为 eca 31.(2)由题意可知，满足条件的点 p(x，y)存在当且仅当12|y|2c16，yxcyxc1，x2a2y2b21，即c|y|16，x2y2c2，x2a2y2b21.由及 a2b2c2得 y2b4c2.又由知 y2162c2，故 b4.由及 a2b2c2得 x2a2c2(c2b2)，所以 c2b2，从而 a2b2c22b232，故 a4 2.所以当 b4，a42时，存在满足条件的点 p.所以 b4，a 的取值范围为4 2，)2(2019 年浙江卷)如图，已知点 f(1，0)为抛物线 y22px(p0)的焦点过点 f 的直线交抛物线于 a，b 两点，点

3、 c 在抛物线上，使得abc的重心 g 在 x 轴上， 直线 ac 交 x 轴于点 q， 且 q 在点 f 的右侧 记afg，cqg 的面积分别为 s1，s2.(1)求 p 的值及抛物线的准线方程；(2)求s1s2的最小值及此时点 g 的坐标解：(1)由题意得，p21，即 p2，所以抛物线的准线方程为 x1.(2)设 a(xa，ya)，b(xb，yb)，c(xc，yc)，重心 g(xg，yg)令 ya2t，t0，则 xat2.由于直线 ab 过点 f，故直线 ab 的方程为 xt212ty1，代入 y24x，得 y22（t21）ty40，故 2tyb4，即 yb2t，所以 b1t2，2t .又

4、 xg13(xaxbxc)，yg13(yaybyc)及重心 g 在 x 轴上，所以 2t2tyc0，得c1tt2，21tt，g2t42t223t2，0.所以直线 ac 的方程为 y2t2t(xt2)，得 q(t21，0)由于 q 在焦点 f 的右侧，故 t22，从而s1s212|fg|ya|12|qg|yc|2t42t223t21|2t|t212t42t223t2|2t2t|2t4t2t412t22t41.令 mt22，则 m0，s1s22mm24m321m3m4212m3m4132.当 m 3时，s1s2取得最小值 132，此时 g 的坐标为(2，0).b 级素养提升|练能力|3.如图，p

5、是直线 x4 上一动点，以 p 为圆心的圆过定点 b(1，0)，直线 l 是圆在点 b处的切线，过 a(1，0)作圆的两条切线分别与 l 交于 e，f 两点(1)求证：|ea|eb|为定值；(2)设直线 l 交直线 x4 于点 q，证明：|eb|fq|bf|eq|.证明： (1)设 ae 切圆于 m， 直线 x4 与 x 轴的交点为 n， 则|em|eb|， |ea|eb|am| |ap|2|pm|2 |ap|2|pb|2 |an|2|bn|24.故|ea|eb|为定值(2)由(1)同理知|fa|fb|4，e，f 均在椭圆x24y231 上由椭圆的对称性，不妨设直线 ef 的方程为 xmy1(

6、my2.则 y1y26m3m24，y1y293m24.过 e 作 eex 轴于 e，过 f 作 ffx 轴于 f，则|ee|y1，|ff|y2，设 pq 交 x 轴于 q，则|qq|3m.若|eb|fq|bf|eq|，则|eb|eq|bf|fq|.又 e，b，f，q 在同一条直线上，则|eb|eq|ee|qq|ee|，即|eb|eq|y13my1；|bf|fq|ff|qq|ff|，即|bf|fq|y23m（y2）y23my2.由得，y13my1y23my2，从而有y13my1y2y23my1y2，2y1y2(y1y2)3m.将 y1y26m3m24，y1y293m24代入，知等式成立，|eb|

7、fq|bf|eq|.4(2020 届四川五校联考)已知抛物线 e：y28x，直线 l：ykx4.(1)若直线 l 与抛物线 e 相切，求直线 l 的方程；(2)设 q(4，0)，直线 l 与抛物线 e 交于不同的两点 a(x1，y1)，b(x2，y2)，若存在点 c 满足|cqca|cqca|，且线段 oc 与 ab 互相平分(o 为坐标原点)，求 x2的取值范围解：(1)由ykx4，y28x得，k2x28(k1)x160，由题意知 k0 及64(k1)264k20，解得 k12，所以直线 l 的方程为 y12x4.(2)由ykx4，y28x得 k2x28(k1)x160，因为64(k1)264k20，k0，所以 k12，且 k0，所以 x1x28（k1）k2，所以 y1y2k(x1x2)88k.因为线段 oc 与 ab 互相平分， 所以四边形 oacb 为平行四边形， 所以ocoaob(x1x2，y1y2)8（k1）k2，8k ，即 c8（k1）k2，8k .由|cqca|cqca|得，acqc，所以 kackqc1.又 kqc8k8（k1）k