2021届高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与一元二次不等式学案理含解析

1、第一节第一节 不等关系与一元二次不等式不等关系与一元二次不等式 最新考纲 考情分析 核心素养 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 4.会解一元二次不等式， 对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 利用不等式的性质解题，高考中多以小题出现，题目难度不大；不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新， “三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点. 1.逻辑推理 2.数学运算 3.数据分析 知识梳理 1两个实数比较大小的依据

2、 (1)ab0ab. (2)ab0ab. (3)ab0abbb，bcac. (3)可加性：abacbc；ab，cdacbd. (4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0ac 1 bd. (5)可乘方性：ab0an2 bn(nn，n1) (6)可开方性：ab0na 3 nb(nn，n2) 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式b24ac 0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实数根 x1，x2(x10(a0)的解集 4 x|xx2 5xxb2a 6 r 一元二次不等式 ax2bxc0)的解集 7 x|x1x0 对任意实数 x 恒成立a

3、0，b24ac0. (2)一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立a0，b24acb，ab01a1b. (2)a0b1ab0，0cbd. (4)0axb 或 axb01b1xb0，m0，则 (1)babmam(bm0) (2)abambm；ab0) 基础自测 一、疑误辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，a1，则 ab.( ) (3)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1和 x2.( ) (4)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2b

4、xc0 的解集为 r.( ) (5)不等式 ax2bxc0 在 r 上恒成立的条件是 a0 且b24ac0.( ) (6)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxcb0，cdbc badbd dacbd 答案：b 3(必修 5p103a2改编)已知集合 ax12x10 ，bx|x2x6b，则( ) aacbc b1ab2 da3b3 解析：选 d 当 cbc 不成立，故 a 不正确；当 a1，b3 时，b、c 均不正确，故选 d 5 若(m1)x2(m1)x3(m1)0 对任何实数 x 恒成立， 则实数 m 的取值范围是( ) a(1，) b(，1) c，1311 d，

5、1311(1，) 解析：选 c 当 m1 时，不等式为 2x60，即 x3，不合题意 当 m1 时，则m10，（m1）212（m1）（m1）0，解得 m1b1，b0，则下列不等式中恒成立的是( ) a1a1b cab2 da22b 解析：选 c 对于 a，当 a 为正数，b 为负数时，1a1b，所以 a 错误；对于 b，当 a2，b12时，1ab1b21，所以 c 正确；对于 d，当 a1.1，b0.8 时，a21.21，2b1.6，a22b，所以 d 错误 2设 a，br，则“(ab) a20”是“ab”的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 解析：

6、选 a 若(ab) a20，则必有 ab0，即 ab；而 ab 时，不能推出(ab) a20，如 a0，b1.所以“(ab) a20”是“a”或“1，所以 ba. 答案：0，q0，前 n 项和为 sn，则s3a3与s5a5的大小关系为_ 解析：当 q1 时，s3a33，s5a55，所以s3a30 且 q1 时， s3a3s5a5a1（1q3）a1q2（1q）a1（1q5）a1q4（1q） q2（1q3）（1q5）q4（1q）q1q40， 所以s3a3s5a5.综上可知s3a3s5a5. 答案：s3a30 的解集为x|1x2ax的解集为( ) ax|2x1 bx|x1 cx|0 x3 dx|x3

7、 解析：选 c 由题意 a(x21)b(x1)c2ax，整理得 ax2(b2a)x(acb)0. 又不等式 ax2bxc0 的解集为x|1x2，则 a0，且1，2 分别为方程 ax2bxc0 的两根， 由根与系数的关系得12ba，（1）2ca，即ba1，ca2. 将两边同除以 a 得 x2ba2 x1caba0， 将代入得 x23x0，解得 0 x3，故选 c 6(2019 届扬州中学调研)已知函数 f(x)x2ax，x0，bx23x，x0为奇函数，则不等式 f(x)0，则x0，则 f(x)bx23x.因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，即bx23xx2ax， 所以 a3， b1，

8、 所以 f(x)x23x，x0，x23x，x0.当 x0 时， 由 x23x4，解得 0 x4；当 x0 时，由x23x4，解得 x0，所以不等式 f(x)4 的解集为(，4) 答案：(，4) 7解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10) 解：原不等式可变为(ax1)(x1)0，所以 ax1a(x1)1 时，解集为x1ax1 ； 当 a1 时，解集为； 当 0a1 时，解集为x1x1a. 综上，当 0a1 时，不等式的解集为x1x1 时，不等式的解集为x1ax1 . 名师点津 解一元二次不等式的一般步骤 提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0 的情况 考点 一元二次不

9、等式的恒成立问题 多维探究 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围 常见的命题角度有： (1)形如 f(x)0(f(x)0)(xr)确定参数的范围； (2)形如 f(x)0(xa，b)确定参数的范围；(3)形如 f(x)0(参数 ma，b)确定 x 的范围 命题角度一 形如 f(x)0(f(x)0)(xr)确定参 数的范围 【例 1】 已知不等式 mx22xm10，是否存在实数 m 对所有的实数 x，

10、不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 解 要使不等式 mx22xm10 恒成立， 则函数 f(x)mx22xm1 的图象全部在 x 轴下方 当 m0 时，12x12，不满足题意； 当 m0 时，函数 f(x)mx22xm1 为二次函数，需满足开口向下且方程 mx22xm10 无解， 即m0，44m（1m）0， 不等式组的解集为空集，即 m 无解 综上可知，不存在这样的实数 m 使不等式恒成立 命题角度二 形如 f(x)0(xa，b)确定参数的范围 【例 2】 设函数 f(x)mx2mx1(m0)，若对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求实数 m 的取值范围 解 要

11、使 f(x)m5 在 x1，3上恒成立， 则 mx2mxm60 在 x1，3上恒成立， 即 mx12234m60 时，g(x)在1，3上是增函数， 所以 g(x)maxg(3)7m60， 所以 m67，则 0m67； 当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数， 所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，则 m0， 又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1. 因为函数 y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67，所以只需 m0，g（1）（x2）x24x40， 解得 x3.故当 x(，1)(3，)时，对任意的 m1，1，函数 f(x)的值恒大于零 名师点津 形如 f(x)0(f

12、(x)0)恒成立问题的求解思路 (1)xr 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解 (2)xa，b的不等式确定参数范围时，根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于 0，从而求出参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点 a，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围 (3)已知参数 ma，b的不等式确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数 提醒 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数 |跟踪训练| 函数 f(x)x2ax3. (1)当 xr 时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 x

13、2，2时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)当 a4，6时，f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围 解：(1)当 xr 时，x2ax3a0 恒成立， a24(3a)0，即 a24a120，解得6a2， 实数 a 的取值范围是6，2 (2)对于任意 x2，2，f(x)a 恒成立， 即 x2ax3a0 对任意 x2，2恒成立，令 g(x)x2ax3a， 则有a24(3a)0 或0，a20，a22，g（2）7a0， 解得6a2，解得 a，解得7a1.设 ar，若关于 x 的不等式f(x)x2a 在 r 上恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) a4716，2 b4716，391

14、6 c2 3，2 d2 3，3916 解析 作出函数 f(x)的大致图象如图，若不等式 f(x)x2a 在 r 上恒成立，则 yf(x)的图象恒在 yx2a 图象的上方(含交点)，当 yx2a 与 yx2x在 x1 相切时，a2；当 yx2a 与 yx2x3 在 x1 相切时，x2x3x2a，x212x3a0 有两个相等的根，则 1224(3a)0，解得 a4716，由图象可得 a 的取值范围是4716，2 . 答案 a 名师点津 解决不等式恒成立问题可结合图形求解 |跟踪训练| (2019 年天津卷)已知 ar， 设函数 f(x)x22ax2a，x1，xaln x，x1.若关于 x 的不等式 f(x)0在 r 上恒成立，则 a 的取值范围为( ) a0，1 b0，2 c0，e d1，e 解析：选 c 当 x1 时，此时 f(x)x22ax2a(xa)2a22a0 恒成立，二次