2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三节三角函数的图像与性质教师文档教案文北师大版

1、第三节第三节 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 授课提示：对应学生用书第 56 页 基础梳理 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 ysin x，x0，2的图像上，五个关键点是：(0，0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 余弦函数 ycos x，x0，2的图像上，五个关键点是：(0，1)，2，0 ，()，1，32，0 ，(2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 kz) 函数 ysin x ycos x ytan x 图像 定义域 r r x|xr， 且xk2 值域 1，1 1，1 r 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 2k2，2

2、k 2为增； 2k2，2k 32为减 2k，2k为减；2k，2k为增 k2， k2为增 对称中心 (k，0) k2，0 k2，0 对称轴 xk2 xk 3.周期函数 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 t，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xt)f(x)，那么函数 f(x)就叫作周期函数，非零常数 t 叫作这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期 1一个易混点 正切函数 ytan x 的单调性只能说：在(k2，k2)上 kz 为增函数，不能说为：在定义域上为增函数 2

3、一个易错点 求函数 yasin(x)的单调区间时，应注意 的符号，只有当 0 时，才能把 x 看作一个整体，代入 ysin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误 3三角函数的对称与周期的关系 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期 4关于周期的两个结论 函数 y|sin x|，y|cos x|，y|tan x|的周期为 ，函数 ysin|x|，不是周期函数，ytan |x|不是周期函数 四基自测 1(基础点：正弦函数的单调性)函数 y12sin x，x，的单调性是( )

4、 a在，0上是增函数，在0，上是减函数 b在2，2上是增函数，在，2和2， 上都是减函数 c在0，上是增函数，在，0上是减函数 d在2， 和，2上是增函数，在2，2上是减函数 答案：b 2(基础点：正切函数的定义域)函数 ytan 2x 的定义域是( ) a.xxk4，kz b.xxk28，kz c.xxk8，kz d.xxk24，kz 答案：d 3(易错点：三角函数的值域)f(x)cos 2x3cos x 的最大值为_ 答案：4 4(基础点：三角函数大小比较)cos 23 ，sin 68 ，cos 97 从小到大的顺序是_ 答案：cos 97 cos 23 sin 68 授课提示：对应学生用

5、书第 57 页 考点一 有关三角函数的定义域、值域、最值问题 挖掘 1 有关三角函数的定义域/ 自主练透 例 1 (1)函数 ylg sin x cos x12的定义域为_ 解析 要使函数有意义，则有sin x0，cos x120， 即sin x0，cos x12， 解得2kx2k，32kx32k(kz)， 所以 2kx32k，kz. 所以函数的定义域为x2kx32k，kz . 答案 x2kx32k，kz (2)函数 f(x)1tan（x6）的定义域为_ 解析 要使 f(x)有意义，则有 k2x6k 或 kx6k2(kz)， k23xk6或 k6k3. 答案 x|k23xk6或 k6xk3，k

6、z 破题技法 求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图像来求解 挖掘 2 利用单调性求最值/ 互动探究 例 2 (1)函数 f(x)3sin2x6在区间0，2上的值域为( ) a.32，32 b.32，3 c.3 32，3 32 d3 32，3 解析 当 x0，2时， 2x66，56，sin2x612，1 ， 故 3sin2x632，3 ，即此时函数 f(x)的值域是32，3 . 答案 b (2)已知函数 f(x)sin2x 3sin xcos x. 若 f(x)在区间3，m 上的最大值为32，求 m 的最小值 解析 f(x)sin2x 3sin xcos

7、 x 1212cos 2x32sin 2x sin2x612，由题意知3xm， 所以562x62m6. 要使得 f(x)在区间3，m 上的最大值为32. 即 sin2x6在区间3，m 上的最大值为 1. 所以 2m62，即 m3. 即 m 的最小值为3. 挖掘 3 换元法求三角函数的最值(值域)/互动探究 例 3 (2017 高考全国卷)函数 f(x)sin2x 3cos x34x0，2的最大值是_ 解析 f(x)1cos2x3cos x34cos2x3cos x14cos x3221，因为x0，2，所以 cos x 0，1，所以当 cos x32时，函数取得最大值 1. 答案 1 破题技法

8、1.形如 yasin(x)或 yacos(x)， (a0)(xr)其最值都是当 sin(x) 1 或 cos(x) 1 时取得的 a. 2求解三角函数的值域(最值)常见三种类型： (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yasin(x)c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如 yasin2 xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数，可先设 tsin x cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) 对于(2)(3)类型，主要采用换元法 令

9、 tsin x 或 tcos x，进而将三角函数转化为关于 t 的函数形如 yasin2xbsin xc，可设tsin x，将其转化为二次函数 yat2btc(t1，1)；形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c，可设 tsin x cos x，则 t21 2sin xcos x，即 sin xcos x12(t21)，将其转化为二次函数y12a(t21)btc(t 2， 2)换元时一定要注意新元的取值范围 考点二 三角函数的单调性 挖掘 1 求三角函数的单调区间/ 互动探究 例 1 已知函数 f(x) 3cos 2x2sin2(x)，其中 02，且 f(2) 31. (1

10、)求 的值； (2)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间 解析 (1)由已知得 f(2) 32sin2(2) 32cos2 31， 整理得 cos212. 因为 02，所以 cos 22，4. (2)由(1)知，f(x) 3cos 2x2sin2(x4) 3cos 2x1cos(2x2) 3cos 2xsin 2x12sin(2x3)1. 易知函数 f(x)的最小正周期 t. 令 t2x3，则函数 f(x)可转化为 y2sin t1. 显然函数 y2sin t1 与 ysin t 的单调性相同， 当函数 ysin t 单调递减时，2k2t2k32(kz)， 即 2k22x32k32(kz)，

11、 解得 k12xk712(kz) 所以函数 f(x)的单调递减区间为k12，k712(kz) 破题技法 求三角函数单调区间的方法 代换法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解 图像法 画出三角函数的图像，结合图像求它的单调区间 本例题中若求函数 f(x)在2，2上的单调递减区间呢？ 解析：由本题可得，函数 f(x)2sin(2x3)1 的单调递减区间为k12，k712(kz)当k1 时，函数 f(x)的单调递减区间为1112，512，与给定区间的交集为2，512；当 k0 时，函数 f(x)的单调递减区间为12，712，与给

12、定区间的交集为12，2所以函数 f(x)在2，2上的单调递减区间为2，512和12，2 挖掘 2 利用单调性比较大小/ 自主练透 例 2 已知函数 f(x)2sin(x3)， 设 af(7)， bf(6)， cf(3)， 则 a， b， c 的大小关系是( ) aacb bcab cbac dbca 解析 af(7)2sin1021， bf(6)2sin2， cf(3)2sin232sin3， 因为 ysin x 在0，2上单调递增，310212，所以 cab. 答案 b 破题技法 利用三角函数的单调性比较两个三角函数值的大小，关键是将这两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函

13、数值对于正弦函数来说，一般将两个角转化到2，2或2，32内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内 将本例题中函数改为 f(x)2cos(x6)，则 a，b，c 的大小如何？ 解析：af(7)2cos1342， bf(6)2cos3， cf(3)2cos20， abc. 挖掘 3 利用单调性求参数/ 互动探究 例3 (1)(2018 高考全国卷)若(x)cos xsin x在a， a是减函数， 则a的最大值是( ) a.4 b.2 c.34 d 解析 (x)cos xsin x 2sin x22cos x22 2sinx4， 当 x4，34 ，即 x42，2时， ysinx4单调递增

14、，y 2sinx4单调递减 函数 (x)在a，a是减函数， a，a4，34 ， 0a4，a 的最大值为4. 故选 a. 答案 a (2)已知 0，函数 f(x)cosx4在2， 上单调递增，则 的取值范围是( ) a.12，54 b12，74 c.34，94 d32，74 解 析 函 数y cos x的 单 调 递 增 区 间 为 2k ， 2k ， kz ， 则242k，kz，42k，kz， 解得 4k522k14，kz，又由 4k522k140，kz 且 2k140，kz，得 k1， 所以 32，74. 答案 d (3)若函数 f(x)sin x(0)在0，3上单调递增，在区间3，2上单调

15、递减，则_ 解析 法一：由于函数 f(x)sin x(0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，3为函数 f(x)的14周期，故243，解得 32. 法二：由题意，得 f(x)maxf(3)sin 31. 由已知并结合正弦函数图像可知，322k(kz)，解得 326k(kz)，所以当 k0 时，32. 答案 32 破题技法 已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期法 由所给区间

16、的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解 考点三 三角函数的奇偶性、对称性、周期性 挖掘 1 三角函数的周期性、奇偶性/ 互动探究 例 1 (1)(2018 高考全国卷)函数 (x)tan x1tan2x的最小正周期为( ) a.4 b.2 c d2 解析 由已知得 (x)tan x1tan2xsin xcos x1（sin xcos x）2sin xcos xcos2xsin2xcos2xsin x cos x12sin 2x， 所以 (x)的最小正周期为 t22. 故选 c. 答案 c (2)(2019 高考全国卷)若 x14，x234是函数 f(x)sin x(0)两个相邻的极

17、值点，则 ( ) a2 b32 c1 d12 解析 由题意及函数 ysin x 的图像与性质可知， 12t344，t，2，2. 故选 a. 答案 a (3)(2020 银川模拟)函数 f(x)3sin2x3 ，(0，)，满足 f(|x|)f(x)，则 的值为( ) a.6 b3 c.56 d23 解析 因为 f(|x|)f(x)， 所以函数 f(x)3sin2x3 是偶函数，所以3k2，kz， 所以 k56，kz，又因为 (0，)，所以 56. 答案 c 破题技法 1.(1)利用周期函数的图像和定义求周期，发现周期大小与 x 的系数有关利用函数 yasin(x)，yacos(x)(0)的周期为

18、2， 函数 yatan(x)(0)的周期为求解 (2)对称性求周期： 两条对称轴距离的最小值等于t2； 两个对称中心距离的最小值等于t2； 对称中心到对称轴距离的最小值等于t4. (3)特征点法求周期： 两个最大值点横坐标之差的绝对值的最小值等于 t； 两个最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于 t； 最大值点与最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于t2. 由于最值点与函数图像的对称轴相对应，则特征点法求周期实质上就是由对称性求解周期 2奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 yasin x 或 yatan x 的形式，而偶函数一般可化为 yacos xb 的形式 故形如 yasin(x

19、)成为奇函数，则 k(kz)；成为偶函数，则 k2(kz) yacos(x)成为奇函数，则 k2(kz)；成为偶函数，则 k(kz) 挖掘 2 三角函数的对称性/ 互动探究 例 2 (1)已知函数 f(x)2sinx6(0)的最小正周期为 4，则该函数的图像( ) a关于点3，0 对称 b关于点53，0 对称 c关于直线 x3对称 d关于直线 x53对称 解析 函数 f(x)2sinx6(0)的最小正周期是 4，而 t24，所以12， 即 f(x)2sin12x6.函数 f(x)的对称轴为x262k，解得 x232k(kz)； 函数 f(x)的对称中心的横坐标为x26k，解得 x2k3. 对称中心为2k3，0 ，当 k1 时为53，0 . 答案 b (2)若函数 ycos(x6)(n)的图像的一个对称中心是(6，0)，则 的最小值为( ) a1 b2 c4 d8 解析 依题意得 cos(66)0，则662k，kz，解得 6k2，又 n，所以 的最小值为 2，故选 b. 答案 b (3)已知 f(x)cos