2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第四节函数y＝Asinωx＋φ的图像性质及模型应用教师文档教案文北师大版

1、第四节第四节函数函数y ya asin(sin(x x) )的图像性质及模型应用的图像性质及模型应用授课提示：对应学生用书第 60 页基础梳理1五点法画函数 yasin(x)的图像(1)列表：xx02322x2322sin x01010y0a0a0(2)描点：，0，2，a，0，32，a，2，0(3)连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 yasin(x)在区间长度为一个周期内的图像2由函数 ysin x 的图像变换得到 yasin(x)的图像的步骤12 个小环节构成 6 条路线：(以线路为例)把 ysin x 的图像向左平移(0)个单位长度，得到 ysin(x)的图像；再把所得图像上的

2、所有点的横坐标变为原来的1(0)倍，纵坐标不变，得到 ysin(x)；最后把所有点的纵坐标变为原来的 a(a0)倍，横坐标不变，就得到 yasin(x)的图像3yasin(x)的物理意义yasin(x)(a0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相at2f1t2x1平移变换的两种单位长度由 ysin x 的图像变换到 yasin(x)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)， 平移的量是|个单位长度； 先周期变换(伸缩变换)再相位变换， 平移的量是|(0)个单位长度2yasin(x)b 与最值的关系aymaxymin2，bymaxymin2.四基自测1(基础点：三角

3、函数模型)电流 i(单位：a)随时间 t(单位：s)变化的函数关系是 i5sin100t3 ，t0，)，则电流 i 变化的初相、周期分别是()a.3，150b.6，1100c.3，1100d6，150答案：a2(易错点：平移变换)若将函数 y2sin 2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图像的对称轴为()axk26(kz z)bxk26(kz z)cxk212(kz z)dxk212(kz z)答案：b3(基础点：由变换得解析式)把函数 ysin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移4个单位，得到的函数图像的解析式是()aycos 2xb

4、ysin 2xcysin2x4dysin2x4答案：a4(基础点：求变换单位)由曲线 c1：ycos x，向左平移_个单位长度，再将横坐标缩小到原来的_倍，得到曲线 c2：ycos2x23.答案：2312授课提示：对应学生用书第 61 页考点一函数 yasin(x)的图像及变换挖掘 1图像变换/ 自主练透例 1(1)(2017高考全国卷)已知曲线 c1：ycos x，c2：ysin2x23 ，则下面结论正确的是()a把 c1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 c2b把 c1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向

5、左平移12个单位长度，得到曲线 c2c把 c1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 c2d把 c1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 c2解析易知 c1：ycos xsinx2 ，把曲线 c1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 ysin2x2 的图像，再把所得函数的图像向左平移12个单位长度，可得函数 ysin2x12 2sin2x23 的图像，即曲线 c2，故选 d.答案d(2)已知函数 f(x)sinx4 (0)的最小正周期为，为了得到函数 g(x)cos

6、x 的图像，只需将 yf(x)的图像()a向左平移8个单位长度b向右平移8个单位长度c向左平移4个单位长度d向右平移4个单位长度 解 析 因 为 t ， 故 2t 2 ， 因 此 g(x) cos 2x sin2x2 ， f(x) sin2x4ysin2x8 4sin2x2 .答案a挖掘 2作 yasin(x)的图像/ 互动探究例 2设函数 f(x)cos(x)0，20的最小正周期为，且 f4 32.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图像；(3)由 ysin x 经过怎样的变换得到 f(x)cos(x)的图像(xr)解析(1)最小正周期 t2，2.f4 cos24

7、cos2sin 32，sin 32.20，3.(2)由(1)得 f(x)cos2x3 ，列表：x065122311122x33023253f(x)12101012图像如图所示(3)f(x)cos2x3sin22x3sin2x6 ，由 ysin x 向左平移6个单位长度，得到 ysinx6 的图像，再将图像的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变，得到 ysin2x6 的图像，即 f(x)cos2x3 的图像破题技法函数 yasin(x)(a0，0)的图像的作法(1)五点法：用“五点法”作 yasin(x)的简图，主要是通过变量代换，令 zx，由z 取 0，2，32，2来求出相应的 x，通过列表得

8、出五点坐标，描点，连线后得出图像(2)图像变换法：由函数 ysin x 的图像通过变换得到 yasin(x)的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提醒：三角函数图像左右平移时应注意的问题(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数(3)由 yasin x 的图像得到 yasin(x)的图像时，需平移的单位数应为|，而不是|.考点二由函数图像求解析式挖掘由图像写解析式/ 互动探究例(1)函数 f(x)asin(x)(a0，0，|2)的部分图像如图所示，则将 yf(x)的图像向右平移6个单

9、位长度后，得到的函数图像的解析式为()aysin 2xbysin2x6cysin2x23dycos 2x解析由题图知，a1，34t1112691234，所以 t2，所以2.所以 2622k，kz.又|2，所以6，所以 f(x)sin2x6 ，所以 f(x)的图像向右平移6个单位长度得g(x)sin2x6 6sin2x6 .故选 b.答案b(2)已知函数 yf(x)asin(x)(a0，0，|2)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递增区间为_解析由图可知t43124，a2，即 t，a2，故2t2，又 f12 2，所以 2122，故3，所以 f(x)2sin2x3 ，由22k2x322k(kz

10、)得512kx12k(kz)，故 f(x)的单调递增区间为512k，12k(kz)答案512k，12k(kz)破题技法由三角函数图像确定解析式 yasin(x)的解析式，关键是根据图像所反映出的性质求振幅 a，周期 t 及.(1)求，确定函数的周期 t，则2t.(2)求，常用方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)为x0；“第二点”(即图像的“峰点”)为x2；“第三点”(即图像下降时与 x 轴的交点)为x；“第四

11、点”(即图像的“谷点”)为x32；“第五点”(即图像上升时与 x 轴的交点)为x2.考点三函数 yasin(x)的图像性质的综合应用挖掘 1三角函数图像变换与性质综合问题/ 互动探究例 1(1)函数 f(x)asin(x)a0，0，|2 的部分图像如图所示，点 p、q、r 在f(x)的图像上，坐标分别为(1，a)、(1，0)、(x0，0)，pqr 是以 pr 为底边的等腰三角形，将函数 f(x)的图像向右平移 5 个单位长度后得到函数 g(x)的图像，则关于 g(x)的说法中不正确的是()ag(x)是偶函数bg(x)在区间0，4上是减函数cg(x)的图像关于直线 x2 对称dg(x)在1，3上

12、的最小值为 6解析由题意知t42，所以28，4，作 phx 轴于点 h(图略)，则 qh2，又因为 pqqr4，所以 a2 3，因为 f(x)的图像过 q(1，0)，所以 2 3sin40，因为|2，所以4，所以 f(x)2 3sin4x4 .易知 g(x)f(x5)2 3cos4x，易知 a、b、d 正确，c 错误故选 c.答案c(2)(2019高考全国卷)函数 f(x)sin xxcos xx2在，的图像大致为()解析f(x)sin（x）xcos（x）（x）2f(x)，f(x)为奇函数，排除 a.当 x时，f()120，排除 b，c.故选 d.答案d破题技法先将 yf(x)化为 yasin

13、(x)b 的形式，再借助 yasin(x)的图像和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题进行平移时，图像平移与坐标系平移是一种相对运动挖掘 2与三角函数有关的方程、不等式问题/ 互动探究例 2(1)(2020湖南十四校联考)已知函数 f(x)2sin xcos x(0)， 若 f(x)的两个零点 x1，x2满足|x1x2|min2，则 f(1)的值为()a.102b102c2d2解析依题意可得函数的最小正周期为22|x1x2|min224，则2，所以 f(1)2sin2cos22，故选 c.答案c(2)已知函数 f(x)sin x 3cos x(0)，若方程 f(x

14、)1 在(0，)上有且只有 4 个实数根，则实数的取值范围为()a(136，72b(72，256c(256，112d(112，376解析因为 f(x)sin x 3cos x2sin(x3)，作出函数 yf(x)的大致图像与直线 y1，如图所示令 2sin(x3)1，得x362k或x3762k，kz z，所以 x62k或 x322k，kz z.设直线 y1 与曲线 yf(x)在(0，)上从左到右的第 4 个交点为 a，第 5 个交点为 b，易知 xa322，xb64.因为方程 f(x)1 在(0，)上有且只有 4 个实数根，所以 xaxb，即32264，解得72256.故选 b.答案b破题技法

15、对于函数 yasin(x)的零点即是图像与 x 轴交点的横坐标，对称轴一定穿过图像的最高点或最低点考点四三角函数模型的应用挖掘生活中的三角函数模型/ 互动探究例已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0t24， 单位： 小时)的函数， 记作 yf(t) 下表是某日各时的浪高数据：t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数 yacos tb(a0，0)的图像根据以上数据，(1)求函数 f(t)的解析式；(2)求一日(持续 24 小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过 1.25 米的时间解析(1)由表格得ab1.5，ab0.5，解得a12，b1，又因为 t12，所以2126，故 yf(t)12cos6t1.(2)由题意，令12cos6t11.25，即 cos6t12，又因为 t0，24，所以6t0，4，故 06t3或536t2.或 26t23或 2536t22，即 0t2 或 10t12 或 12t14 或 22t24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过 1.25 米的时间为 8 小时破题技法三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角