(完整)初中分式讲义

1、分式的概念、运算及分式方程、知识框架、知识概念：A1. 分式： 形如 A ， A、B是整式， B中含有字母且 B不等于 0 的整式叫做分式 .其中 A叫做分式的分子， BB 叫做分式的分母 .2. 分式有意义的条件： 分母不等于 0.3. 分式的基本性质： 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变 .4. 约分： 把一个分式的分子和分母的公因式 （不为 1 的数）约去，这种变形称为约分 .5. 通分： 异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分 .6. 最简分式 : 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化 为最简分

2、式 .7. 分式的四则运算：abca 同分母分式加减法则： 同分母的分式相加减， 分母不变， 把分子相加减 . 用字母表示为：a c ad cb b d bdc 异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 . 用字母表示为：分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 用字母表示为：acacbdbd分式的除法法则：两个分式相除 , 把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘 . 用字母表示为：acadadbdbcbcnn 分式的乘方法则：分子、分母分别乘方 . 用字母表示为： aanbbn

3、8. 整数指数幂： am an am n（ m、 n是正整数） amamn（ m、 n是正整数） ab n anbn（ n是正整数） am an am n（ a 0， m、 n是正整数， m n） nn a a （ n 是正整数） b bnn1 a n n （ a 0 ， n是正整数） an9. 分式方程的意义 : 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10. 分式方程的解法 : 去分母 （方程两边同时乘以最简公分母 , 将分式方程化为整式方程 ）; 按解 整式方程的步骤求出未知数的值 ;验根 （ 求出未知数的值后必须验根 ,因为在把分式方程化为整 式方程的过程中 , 扩大了未知数的取值范围 ,

4、 可能产生增根 ）.模块一 分式的概念例 1】 x 为何值时，分式x 9 有意义？113x巩固】若分式x216(x 3)(x 4)2若分式 x 16(x有意义，则3）（x 4） 无意义，则解下列不等式： 5 x 0 ； 5 x 2x 3 x 3巩固】解不等式 x 3 0 ； x4 解不等式 x 3 3 . x4模块二 分式的运算? 分式的化简求值裂项【例 2】设 n 为正整数，求证： 1131 .113 5 . (2n1)(2n 1) 2巩固】化简：1 1 . 1x(x 1) (x 1)(x 2) . (x 99)(x100)巩固】化简：111112 x2x x 3x 2x2 5x 6x2 7

5、x 12x2 9x 20例 3】 化简：a2 bc(a b)(a c)巩固】已知 a，b， c为实数，且abbcab1，4abcca 1 ，求c a 5 ab bc ca巩固】化简： 2 2a b ca2 abac bc2b2 b ab bc ac2cab2c ac bc ab22b ac c ab(b c)(b a) (c a)(c b)? 分式的恒等变形部分分式【例 4】 下面的等式成立： x y 4x 6y 5 (x y A)(x y B)，求 A、 B.巩固】若代数式 x(x 1)(x 2)(x 3) p 恰好能分解为两个二次整式的乘积 (其中二次项系数均为 1， 且一次项系数相同 )

6、，则 p 的最大值是.例 8】 若 1 2 3a M N ，求 M 、 N 的值 . a2 1 a 1 a 1巩固】已知 a 与 b 的和等于 24x ，求 a， b. x 2 x 2x2 4分式恒等证明例 9】 求证：22a2 ab b232a3ab22a2 ab b232a3ab22ab b2 a2ab b22 2 2x y z 1.巩固】已知 x、 y、 z为三个不相等的实数，且 x y 1 z 1 ，求证： y z x条件分式求值巩固】设有理数a，b，c 都不为 0，且 a b c 0，b222 ca1222c a b2 12 2 的值为 a2 b2 c22例 10】 已知 x，y，z

7、 满足 235 ，则 5xy 的值为()xyzz x y2zA.1B.1C.1D.1332分式与数论ba ba ，求这两个式子。例11】将 a b 写成两个因式的积，使它们的和为 ba巩固】求最大的正整数 n ，使得 n3 100能被 n 10整除。模块三 分式的方程? 解分式方程2x 3x2xx41122x 2x 823xx 13 x 89x12例 5】 解方程：巩固】解方程：12x 10 x 2912x 10 x 452巩固】解方程：2x 11x 8? 分式方程的增根及根的讨论例 12】 已知关于 x 的方程 * x 1x32 m 有一个正整数解，求 m 的取值范围x3巩固】当 m 为何值

8、时，关于 x的方程 x 1 x x m 的解为负数？x 2 x 3 （x 2）（x 3）巩固】关于 x 的方程 1x2x22 m 的解也是不等式组 x2 41x的一个解，求m 的取值范围2( x 3) x 8一元一次分式方程的应用例 13】 为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车李老师家距学校10 千米，由于汽车的速度是自行车速度的 4 倍，所以李老师每天比原来提前 30 分钟出发，才能按原来的时 间到校，求李老师骑自行车的速度巩固】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场现 有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到

9、这两间工厂了解情况，获得如下信 息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10 天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？200 天贯通为了公路早日通车，由B队单独施工，需要多少天才能贯通？A，B 两队同时施巩固】某铁路有一隧道，由 A 队单独施工，预计 工，结果 120 天就贯通了试问：如果由二元一次分式方程的应用例 14】 “端午 ”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透 明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为1 ；妈妈发现小亮喜欢吃的火

10、腿粽子偏少，第二次妈妈又3去买了同样的 5 只火腿粽子和 1 只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为1 2 （1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（ 2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4 只、豆沙粽子 6 只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取 2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1 只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法计算）巩固】内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完 成从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做 9 天后，由甲再单独做 5天也恰好完成 如果每

11、天需要支付甲、 乙两公司的工程费用分别为 1.2 万元和 0.7 万元试问：（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（ 2）要使整个工程费用不超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？巩固】用大、小两种货车运送 360 台机械设备，有三种运输方案方案 1：设备的 12用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27 辆；方案 2：设备的 13用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28 辆；方案 3：设备的 23用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26 辆；（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？（2）如果每辆大货车的运费比每辆小货车的运费高m%（m 0），请你从中选择一种方案

12、，使得运费最低，并说明理由? 分式方程组解分式方程组的关键就是利用换元法或者倒数法，将复杂的分式方程组转化为整式方程组，然后利用解整x, y, z的解式方程组的方法进行求解，得到换元后的未知数的值，代入后得到1x2 y31 z例 15】 解 方程组：2491xyz4692xyz661x巩固】解方程组 xy2833xy10 巩固】解方程组：5x17x14y232y220例 16】 解 方程2a21 a22b21 b22c21 c2bc ，其中 a 0 ， b 0 ， c 0 a巩固】解方程组xy检测：【练习练习 1】解方程 2 1 2 1 2x2 x 2 x2 7x 10化简：a b b c c

13、 a(c a)(c b) (b a)(a c) (b c)(b a)练习若对于 3以外的一切数，mnx3x328x 均成立，求 mn . x2 9练习若关于 x的恒等式 M2x N 2 c 中， M2 x N 为最简分式，且有 ax2 x 2 x a x bx2 x 2求 N.b， a b c，练习若 x a b ， y b c ， z c a ，求证： (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 a b b cc az)练习解方程组：xy x 2 xy1 xz 2x3xz2 (y 1)(z 2)4y z 3课后作业1. 解方程x6x123x2 10x 42x 3x 22x 1x

14、22. 解方程x1x2x5x63. 将 26 化为部分分式 x2 94. 若 a x 12 1 1 b(xy 2)2，且 ab 0，求xy (x 1)(y 1)的值(x 2007)( y 2007)5. 若 abc 1 ，求证：abc1 a ab 1 b bc 1 c ca6. 解方程组：y34500章节复习1 填空：1）当x 时，分式有意义。 （ 2）当 x3）当b时，分式有意义。4）当x 、y 满足关系时，分式 有意义时，分式 有意义2 x）C 、2x2 yD22yxyxy）x、y1yC 、9bx226a 322、 x2 y22xy3b D2a 1xabxybay）ab3225a2b2a2

15、 4a42a2；（4）2c2； （3）4cda2 2a12 a；415x-15y 15x-30y x-2yB） 3x+5y（ C） 6x+10y（ D） 5x+3y3649 m2 m2 7m2 下列变形正确的是（）（A） a b a b （B）aba b （ C）11 （ D） ababa b a baba b a ba b baba列各分式中，最简分式是（A、 34x yB 、 y285 x y x3 下列约分正确的是（A 、 m 1 m Bm 3 312 x-y将分式 2 的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（ xy+53x-2y（A）3x+5y4 计算：（1） 4x y ； （2）3

16、3y 2x35 计算：2x 3 x-2a2b 2a2b 32a c 2（ 1） 5x-3 25x2-9 5x+3（2） （ -23ac2b ） 2 （3） （-cd3 ） d2a3 （2ca ）6 计算：5x+3y2x（1）x2-y2 x2-y2(2)2a 2 1ab(3) ( )2(4)b a bb411+2p+3q 2p-3qx1(x2x1)2x1(x1x17 计算： x2 y 3(x 1y)38 解方程 23 3x1 156x 29 一艘轮船在静水中的最大航速为 20千米/ 时，它沿江以最大航速顺流航行 100千米所用的 时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多

17、少？真题演练1下列各式与 xxy 相等的是（y）A. (x y) 5B. 2x yC.(x y)2 D.C. 2 2 (x y) D.(x y) 52x yxy2解分式方程 236+ = 2 ，下列四步中，错误的一步是x 1 x 1 x 122 xy22x2 y2)A 方程两边分式的最简公分母是 x2-1;B 方程两边都乘以（ x2-1 ），得整式方程 2（x-1 ）+3（x+1） =6;C解这个整式方程得： x=1D原方程的解为 x=1;3若 2x 5 的值为-1,则 x 的值等于（）x25B.5C.7D. -7A. -333354分式方程 53x =2 的解为 （)x11xAx=4Bx=3

18、Cx=0D无解5、甲队在 m 天内挖水渠 a米，乙队在 n天内挖水渠 b米，两队一起挖水渠 s米，需要的天数sm snsmnsab为（ ）A 、 a b B 、 an bm C 、 an bm D 、以上均不对6、某大队要筑一条水坝，需要在规定日期内完成如果由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天，现由甲、乙两队合作 2 天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定日期内完成，求规定日期为 x ，下面所列的方程中，正确的是（7892A、 xxx33x3(1x C、 xx13)xx3xx3x关于 x 的方程 x 7k7x有增根,则k 的值为2x2 x 22若分式 x 3x 2 的值为零，则 x的取值范围是2x当_110若 x11已知时，分式 2x 3 的值为正数1 2,则分式 3x- 2xy-3yyx+4xy- y 的值是x 1 y