线代小论文初等变换理论及应用

1、初等变换理论及应用学号姓名：牛雅祺 班级：1303028摘要：主要从十个方面总结了初等行变换在高等代数中的应用,着重讲述了初等行变换在这些知识点上是如何使用的,以及在解决这些方面的问题时,初等行变换在其中究竟扮演了什么角色.初等行变换在矩阵线性方程组的理论研究中占有非常重要的地位,它们的共同作用是能够化繁为简、化多为少、化大为小,它们的共同特点是在变换过程中保持原矩阵和原方程组的某些重要性质不变.一 初等变换的相关概念及结论（一）初等变换的相关概念及性质1、初等变换的相关概念定义1【1】：矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：(1) 交换矩阵的两行(交换 ,两行,记

2、作 )；(2) 以一个非零的数 乘矩阵的某一行(第 行乘数 ,记作)；(3) 把矩阵的某一行的 倍加到另一行(第 行乘 加到 行,记为 ）；把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换（相应记号中把 换成）.初等行变换与初等列变换统称为初等变换.注:初等变换的逆变换仍是初等变换,且变换类型相同.例如,变换 的逆变换即为其本身,变换的逆变换为,的逆变换为.定义2【1】：如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵,就称矩阵与矩阵等价,记作（或）.注：在理论表述或证明中,常用记号“”,在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”.一般地,称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:（1）零行（元素全为零的行）位于矩阵

3、的下方；（2）各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说是其列表一定不小于行标）.一般地,称满足下列条件的矩阵为行最简形矩阵：各非零行的首非零元都是1；每个首非零元所在列的其余元素都是零. 一般地,矩形的标准形具有如下特点： 的左上角是一个单位矩阵,其余元素为0.2、相关性质 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：（1）反身性 ；（2）对称性 若,则；（3）传递性 若,则.定理1【1】：任一矩阵总可以经过有限次等行变换化为行阶梯形矩阵,并进而化为行最简形矩阵.定理2【1】：任一矩阵可以经过有限次初等变换,可以化为下列标准形矩阵 . 推论2【1】：如果为可

4、逆矩阵,则矩阵经过有限次初等变换,可化为单位矩阵,即.（二）初等变换定义3【1】：对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵：（1） 互换两行（列）：（2）把某行（列）乘以一非零常数：其中（3）把第行（列）加上第 行（列）的 倍：初等矩阵及时将上述3种变换应用于一单位矩阵的结果.以下只讨论对某行的变换,列变换可以此类推.（1） 互换两行：这一变换 ,将一单位矩阵的第行的所有元素与第行互换. 性质：逆矩阵即自身：.因为单位矩阵的行列式为1,故. 与它相同大小的方阵 亦有以下性质：.（2） 把某行乘以一非零常数：这一变换 ,将第行的所有元素乘以一非零常数 .

5、 性质：逆矩阵为 .此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵.其行列式 .故对于一等大方阵有 .（3）把第 行加上第行的 倍：这一变换,将第 行加上第行的倍. 性质：逆矩阵具有性质 . 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵. .故对于一等大方阵有. 注【1】：设是一个阶的矩阵,对做一次初等行变换,相当于矩阵左乘阶矩阵,对做一次初等列变换,相当于矩阵左乘阶矩阵.二初等变换的应用（一）初等变换与行列式我们在计算行列式时,也经常会用到初等变换,只是它对变换的要求更严格一些.因为初等变换对矩阵来说,只要矩阵等价就能放心使用,而对行列式来说,不仅仅是要求等价,还有保证两个行列式值相等.所以,在行列式的计算中,初等变换有了一

6、定的限制.以初等行变换为例,我们首先来看看,初等行变换在行列式的规定：性质1 行列互换,行列式不变.性质2 一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式.（如果行列式中有一行为零,那么行列式为零.）性质3 如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,这两个行列式除这以行以外全与原来行列式的对应的行一样.性质4 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质5 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零.性质6 把一行的倍数加到另一行,行列式不变.性质7 对换行列式中的两行位置,行列式反号.例：计算级行列式 解：

7、这个行列式的特点是每一行有一个元素是,其余个元素是.根据性质6,把第二列加到第一列,行列式不变,再把第三列加到第一列,行列式也不变直到把第列也加到第一列,即得 ,把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍,就有这是一个上三角形的行列式,则有.一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形 .（二）初等变换与矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数值特征,是反映矩阵本质属性的一个不变的量.它在线性方程组等问题的研究中起着非常重要的作用.下面我们介绍一下矩阵秩的求解方法.1、矩阵的秩的定义如果矩阵中有一个不等于零的阶子式，而所有的阶子式（如果存在的话）全为0,那么为矩阵的一个最高阶非零子式.数称为矩阵的秩,记

8、作或,并规定零矩阵的秩为0.由定义可得： （1）如,则中至少有一个阶子式，所有子式全为零阶,且更高阶子式均为零,是中不为零的子式的最高阶数,是唯一的. （2）有行列式的性质,. （3）如果为的方阵,且,则.反之,如,则.因此,方阵可逆的充要条件是. （4）,.2、用初等变换求矩阵的秩定理1【1】：的充要条件是中存在一个阶子式不为零,而所有高于阶的子式皆为零.定理2【1】：阶梯型矩阵的秩等于它的非零行元素的行数.定理3【1】：对矩阵施行初等行（列）变换,所得矩阵与原矩阵有相同的秩.推论：设是任一矩阵,、分别是阶、阶可逆（满秩）矩阵,则必有. 例：,求. 解： 所以. 求矩阵的秩方法：（1）利用初

9、等行变换化矩阵为阶梯形矩阵. （2）数阶梯形矩阵非零行的行数即为矩阵的秩.（三）初等变换与逆矩阵 1、逆矩阵的相关定义 定义1【1】：阶方阵称为可逆的,如果有阶方阵,使得,这里是阶单位矩阵. 定义2【1】：矩阵同样适合,那么就称为的逆矩阵,记为. 定义3【1】：设是矩阵中元素的代数余子式,矩阵 称为的伴随矩阵. 定理1【2】：矩阵可逆的充要条件是是非退化的,而. 定理2【2】：设为阶可逆矩阵,为阶单位矩阵,若对阶矩阵做一系列初等行变换,使它变为,则. 定理3【2】：阶矩阵可逆的充要条件是可以表示为若干初等矩阵的乘积.2、用初等变换求逆矩阵初等矩阵是可逆的,且其逆矩阵仍是初等矩阵, ,.方阵可逆当且仅当为有限个初等矩阵的积.等价地说,