结构力学 矩阵位移法课件

1、1 出版社 科技分社 土木工程指导性专业规范配套系列教材结构力学本章导读本章导读 基本要求基本要求 掌握用矩阵位移法计算平面杆件结构的原理掌握用矩阵位移法计算平面杆件结构的原理和方法。包括杆件结构的离散化；单元和结构坐标系下单元和方法。包括杆件结构的离散化；单元和结构坐标系下单元刚度矩阵的形成；用单元定位向量形成结构刚度矩阵；形成刚度矩阵的形成；用单元定位向量形成结构刚度矩阵；形成结构的综合结点荷载列阵；结构刚度方程的形成及其求解；结构的综合结点荷载列阵；结构刚度方程的形成及其求解；计算结构杆端内力计算结构杆端内力。掌握矩阵位移法的计算步骤。掌握矩阵位移法的计算步骤。 重点重点 用先处理法形成

2、结构刚度矩阵和结构的综合结点用先处理法形成结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。荷载列阵。 难点难点 用先处理法形成结构刚度矩阵中各步骤的物理意用先处理法形成结构刚度矩阵中各步骤的物理意义；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵中刚度系数的物理意义和义；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵中刚度系数的物理意义和求法；矩阵位移法与位移法之间的联系与区别。求法；矩阵位移法与位移法之间的联系与区别。2 出版社 科技分社 9.1 概述概述 计算机辅助设计（计算机辅助设计（CAD）中使用到的诸多结构分）中使用到的诸多结构分析软件都以析软件都以有限单元法有限单元法（简称（简称有限元法有限元法）为理论依据，）为理论依据，有限元法

3、是一种近几十年发展起来的新方法，从数学有限元法是一种近几十年发展起来的新方法，从数学角度来说，它是求解偏微分方程定解问题的数值分析角度来说，它是求解偏微分方程定解问题的数值分析方法之一；从力学角度来说，它是求取基于变分原理方法之一；从力学角度来说，它是求取基于变分原理的近似解的方法之一；而从我们最熟识的工程结构的的近似解的方法之一；而从我们最熟识的工程结构的角度来说，它是结构力学的矩阵分析方法在连续介质角度来说，它是结构力学的矩阵分析方法在连续介质力学中的合理应用。力学中的合理应用。土木工程指导性专业规范配套系列教材结构力学 出版社 科技分社 3 出版社 科技分社 结构力学的矩阵分析方法是将矩

4、阵数学的理论结构力学的矩阵分析方法是将矩阵数学的理论引入结构力学而得，即在进行结构矩阵分析时，仍引入结构力学而得，即在进行结构矩阵分析时，仍旧沿用传统结构力学的基本假定、基本原理和基本旧沿用传统结构力学的基本假定、基本原理和基本方法，而在公式和各种表达式的表述方法上使用矩方法，而在公式和各种表达式的表述方法上使用矩阵形式。矩阵化的表述方式具有简洁、规范、易于阵形式。矩阵化的表述方式具有简洁、规范、易于排错的优点，因而容易转化成计算机程序，方便计排错的优点，因而容易转化成计算机程序，方便计算机软件的开发。算机软件的开发。 将力法和位移法同矩阵数学相结合，产生出矩将力法和位移法同矩阵数学相结合，产

5、生出矩阵力法和矩阵位移法。相对于力法而言，位移法具阵力法和矩阵位移法。相对于力法而言，位移法具有基本结构唯一和可以求解静定结构两大优势，这有基本结构唯一和可以求解静定结构两大优势，这些特点使得矩阵位移法更适用于进行结构分析软件些特点使得矩阵位移法更适用于进行结构分析软件的开发。因此，本章将重点介绍平面杆件结构的矩的开发。因此，本章将重点介绍平面杆件结构的矩阵位移法。阵位移法。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 4 出版社 科技分社 矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本点位移为基本未知量，通过平

6、衡方程求解这些基本未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行结构分析的基本要点是：结构分析的基本要点是： 1）结构离散化结构离散化 将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这一步骤一步骤. 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 5 出版社 科

7、技分社 2）单元分析单元分析 单元分析的任务是获取单元杆端力与单元杆端单元分析的任务是获取单元杆端力与单元杆端位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。这相当于位位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。这相当于位移法中获得形常数和转角位移方程的步骤。单元杆移法中获得形常数和转角位移方程的步骤。单元杆端位移一旦求得，单元杆端力即可通过单元刚度方端位移一旦求得，单元杆端力即可通过单元刚度方程求得。程求得。3）整体分析整体分析 整体分析是将单元刚度矩阵按照刚度集成规则整体分析是将单元刚度矩阵按照刚度集成规则直接形成结构刚度矩阵，并建立整体结构的刚度方直接形成结构刚度矩阵，并建立整体结构的刚度方程。这相当于位移法中

8、建立典型方程的步骤。整体程。这相当于位移法中建立典型方程的步骤。整体分析将打散的单元重新集成为结构，进而引入结构分析将打散的单元重新集成为结构，进而引入结构的边界条件（力平衡边界条件和变形协调边界条件）的边界条件（力平衡边界条件和变形协调边界条件）为求解结构刚度方程做好准备。为求解结构刚度方程做好准备。 求解结构刚度方程得到各结点位移后，只需再求解结构刚度方程得到各结点位移后，只需再返回单元分析，即可求出各单元杆端力，进而绘出返回单元分析，即可求出各单元杆端力，进而绘出结构内力图。结构内力图。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 6 出版社 科技分社 9.2 杆件结构的离散化杆件结

9、构的离散化9.2.1 单元与结点的划分和编码单元与结点的划分和编码 由若干根杆件组成的结构称为由若干根杆件组成的结构称为杆件结构杆件结构。使用。使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化离散化。为方。为方便起见，常将杆件结构中的便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元移法的独立单元，这就必然导致结构中，这就必然导致结构中杆件的转折杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点改变点等成

10、为连接各个单元的结点。只要确定了杆等成为连接各个单元的结点。只要确定了杆件结构中的全部结点，结构中各结点间的所有单元件结构中的全部结点，结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。也就随之确定了。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 7 出版社 科技分社 确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些编号称为编号称为结点码结点码。在确定完结点码后，对结点间的。在确定完结点码后，对结点间的单元也依次编号，从而获得单元也依次编号，从而获得单元码单元码。如图所示分别。如图所示分别是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。

11、 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 2EIEI11E I654321765432198754387432211I2E56(a)(b)8 出版社 科技分社 9.2.2 两种直角坐标系两种直角坐标系 结构离散化后，杆件单元的方向千差万别。在结构离散化后，杆件单元的方向千差万别。在作整体分析时，需要在结点处建立平衡方程，为此作整体分析时，需要在结点处建立平衡方程，为此又需要一个统一的计算基准坐标系。因此，这里引又需要一个统一的计算基准坐标系。因此，这里引入两套直角坐标系来建立后续需要研究的力和位移入两套直角坐标系来建立后续需要研究的力和位移等物理量之间的关系。等物理量之间的关系。（1）

12、单元坐标系单元坐标系 单元坐标系单元坐标系（又称（又称局部坐标系局部坐标系）是单元分析时）是单元分析时使用的坐标系，它只与具体某一单元相对应。对结使用的坐标系，它只与具体某一单元相对应。对结构中任意单元构中任意单元 e ，本章约定其坐标系用，本章约定其坐标系用 表示；表示；坐标系原点取为该单元一端的端结点坐标系原点取为该单元一端的端结点i（称为（称为始结点始结点或或始端始端）；由原点指向另一端结点）；由原点指向另一端结点j（称为（称为末结点末结点或或末端末端）的方向，为杆轴）的方向，为杆轴 坐标正向，记作坐标正向，记作 ； 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 xyx( )ex9 出

13、版社 科技分社 以轴沿顺时针方向旋转以轴沿顺时针方向旋转90为坐标轴为坐标轴 正向，记正向，记作作 ，如下图所示。，如下图所示。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 y( )ey3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O2（2）整体坐标系整体坐标系 整体坐标系整体坐标系（又称（又称结构坐标系结构坐标系）是整体分析时）是整体分析时使用的坐标系，它不和任何单元直接相关。设置整使用的坐标系，它不和任何单元直接相关。设置整10 出版社 科技分社 体坐标系的目的是使各物理量在进行整体分析时有体坐标系的目的是使各物理量在进行整体分析时有统一的衡量尺度。本章约定整

14、体坐标系使用统一的衡量尺度。本章约定整体坐标系使用x-y表表示，示，x轴正方向水平向右，以轴正方向水平向右，以x轴沿顺时针方向旋转轴沿顺时针方向旋转90为为y轴正向，即轴正向，即y轴正方向竖直向下，整体坐标轴正方向竖直向下，整体坐标系原点可取为任意点。系原点可取为任意点。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O211 出版社 科技分社 为了使图形看起来简洁清爽，一般不再标出单为了使图形看起来简洁清爽，一般不再标出单元坐标系，通常在各单元的杆轴上绘一箭头表明元坐标系，通常在各单元的杆轴上绘一箭头表明 轴的正向即可

15、，如图（轴的正向即可，如图（b）所示。）所示。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O2x12 出版社 科技分社 9.2.3 力和位移的正负号规定力和位移的正负号规定1）外荷载和支反力）外荷载和支反力(1)结点荷载和支反力结点荷载和支反力 结点荷载结点荷载是指作用于结点上的荷载。本章约定是指作用于结点上的荷载。本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。结点集中力偶和支座反力偶以顺为正，反之为负。结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为

16、负。时针转向为正，反之为负。(2)非结点荷载非结点荷载 非结点荷载非结点荷载是指作用于杆件上的荷载。本章约是指作用于杆件上的荷载。本章约定非结点集中力和分布力以单元坐标系正向相同时定非结点集中力和分布力以单元坐标系正向相同时为正，反之为负。非结点集中力偶，仍以顺时针转为正，反之为负。非结点集中力偶，仍以顺时针转向为正，反之为负。向为正，反之为负。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 13 出版社 科技分社 2）结点位移）结点位移 由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形，因此，对于平面刚架中的每个刚结点的轴向变形，因此，对于平面刚架

17、中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量位移分量u，竖直方向的线位移分量，竖直方向的线位移分量v，和结点的转，和结点的转角位移分量角位移分量q q。对于这三个分量，本章约定线位移。对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正，转角以顺时针转向为与整体坐标系方向一致为正，转角以顺时针转向为正，反之为负。正，反之为负。 3）单元杆端力和杆端位移）单元杆端力和杆端位移 单元杆端截面的内力和位移分别称为单元杆端截面的内力和位移分别称为单元杆端单元杆端力力和和杆端位移杆端位移。 下图所示为平面刚架中的单元下图所示为平面刚架中

18、的单元 e ，其始端为，其始端为i，末端为末端为j。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 14 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 jvjiejNF(uj)(jFQMjj()(iuiFNQFivi()(iiMxiejyjix)(jjM)ju(FxjyjFv(j)(ivFyixiFui()Mii()Oye(f1)1f5)5(f3)3(f6)6(f22()yx(f4)4xOyij(1f)1)(2f2)(33f44(f)55)(ff66)(a) 单元坐标系下的广义分量(c) 整体坐标系下的广义分量e(b) 单元坐标系下的分量(d) 整体坐标系下的分量15 出

19、版社 科技分社 约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号义符号f和和d d 表示，当参照系为单元坐标系时，还需表示，当参照系为单元坐标系时，还需在在f和和d d上添加上划线，即用上添加上划线，即用 “ ”和和“ ”以示区以示区别。为区别两端结点各方向的分量，约定始端别。为区别两端结点各方向的分量，约定始端i沿沿x或坐标方向为或坐标方向为1号方向，沿号方向，沿y或方向为或方向为2号方向，转号方向，转角方向为角方向为3号方向；依此类推，末端号方向；依此类推，末端j的三个方向分的三个方向分别用别用4、5、6表示。表示。 上图中（上图中（a）和（）和（c）

20、标明了两套坐标系中所有）标明了两套坐标系中所有24个广义分量（括号中的是广义位移分量）。约定个广义分量（括号中的是广义位移分量）。约定各分量与相应坐标系正向一致时为正，力矩或转角各分量与相应坐标系正向一致时为正，力矩或转角分量以顺时针转动为正，反之为负。分量以顺时针转动为正，反之为负。 单元杆端力和杆端位移分量，也可以按它们实单元杆端力和杆端位移分量，也可以按它们实际的物理意义表示为上图（际的物理意义表示为上图（b）和（）和（d）的形式。）的形式。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 fd16 出版社 科技分社 即用轴力、剪力、弯矩和水平位移分量即用轴力、剪力、弯矩和水平位移分量u

21、、竖直位、竖直位移分量移分量v、转角位移分量、转角位移分量q q 等我们熟知的表示方法等我们熟知的表示方法来绘制。采取传统方法表示时，各分量用下标注明来绘制。采取传统方法表示时，各分量用下标注明其作用的结点；同时，若参照系为单元坐标系，各其作用的结点；同时，若参照系为单元坐标系，各分量还需添加上划线以示区别。分量还需添加上划线以示区别。 公式（公式（9.1）和（）和（9.2）给出了参照系为单元坐）给出了参照系为单元坐标系时，分别使用广义方式和传统方式表示的单元标系时，分别使用广义方式和传统方式表示的单元杆端力和杆端位移列阵。杆端力和杆端位移列阵。 单元坐标系中的单元杆端力列阵为单元坐标系中的单

22、元杆端力列阵为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 17 出版社 科技分社 单元坐标系中的单元杆端位移列阵为单元坐标系中的单元杆端位移列阵为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 ( )( )N1Q23N4Q56eeiieiieejjjjFfFfMfFfFfMf FFF（9.1）( )( )123456eeiieiieejjjjuvuvddqdddqd（9.2）18 出版社 科技分社 公式（公式（9.3）和（）和（9.4）给出了参照系为整体坐）给出了参照系为整体坐标系时，分别使用广义方式和传统方式表示的单元标系时，分别使用广义方式和传统方式表示的单元杆端力和杆端位移列阵。

23、杆端力和杆端位移列阵。 整体坐标系中的单元杆端力列阵为整体坐标系中的单元杆端力列阵为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 ( )( )123456eexiyieiieexjjyjjFfFfMfFfFfMf FFF（9.3）19 出版社 科技分社 整体坐标系中的单元杆端位移列阵为整体坐标系中的单元杆端位移列阵为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 ( )( )123456eeiieiieejjjjuvuvddqdddqd （9.4） 以上以上4式中的列阵子块式中的列阵子块 、 、 、 和和 、 、 、 分别代表相应坐标系中杆端分别代表相应坐标系中杆端i和和j的力与位移。的

24、力与位移。 矩阵位移法的正负号规定与位移法和材料力学矩阵位移法的正负号规定与位移法和材料力学中的规定不尽相同，请读者注意区分中的规定不尽相同，请读者注意区分。eiFejFeiFejFeiejeiej20 出版社 科技分社 9.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵9.3.1 一般单元一般单元 一般单元一般单元是指其始末两端每端有三个、两端共是指其始末两端每端有三个、两端共6个独立位移未知量的平面刚架单元，如下图所示。个独立位移未知量的平面刚架单元，如下图所示。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 uiujyjFQjFiviiNiiQFi1AEMi, , Ijl,v

25、jNj1jMFjx21 出版社 科技分社 表示单元杆端力和杆端位移之间转换关系的方表示单元杆端力和杆端位移之间转换关系的方程，称为程，称为单元刚度方程单元刚度方程。矩阵位移法不再忽略轴向。矩阵位移法不再忽略轴向变形，但仍忽略在线弹性小变形的前提下，轴向受变形，但仍忽略在线弹性小变形的前提下，轴向受力状态和弯曲受力状态间的相互影响。因此，可以力状态和弯曲受力状态间的相互影响。因此，可以分别推导这两种受力状态下杆端力和杆端位移之间分别推导这两种受力状态下杆端力和杆端位移之间的转换关系的转换关系 。 1）轴向受力状态下，轴向杆端力同轴向杆端）轴向受力状态下，轴向杆端力同轴向杆端位移之间的关系位移之间

26、的关系 如图（如图（a），如果杆端），如果杆端i发生轴向位移发生轴向位移 而杆端而杆端j不动时，根据材料力学和平衡条件不动时，根据材料力学和平衡条件 ，有，有 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 0 xF NiiEAFulNjiEAFul （a）iu22 出版社 科技分社 同理如图（同理如图（b），当杆端），当杆端j发生轴向位移发生轴向位移 而杆而杆端端i不动时，有不动时，有 如果同时在杆端如果同时在杆端i和和j分别发生了轴向位移分别发生了轴向位移 和和 ，只需将（只需将（a）、（）、（b）两式中对应的轴向杆端力叠加）两式中对应的轴向杆端力叠加起来即可起来即可. 土木工程专业系列教

27、材结构力学 出版社 科技分社 FNFNijuilEAi1ijxlEAujiiNF1jNFjjx(a)(b)NijEAFul NjjEAFul（b）jujuiu23 出版社 科技分社 2）弯曲受力状态下，杆端剪力及杆端弯矩同垂）弯曲受力状态下，杆端剪力及杆端弯矩同垂直于杆轴方向的相对线位移及杆端转角之间的关系直于杆轴方向的相对线位移及杆端转角之间的关系 两端固定的单跨超静定梁两端固定的单跨超静定梁AB，在无外荷载的，在无外荷载的作用时，其位移法的转角位移方程为作用时，其位移法的转角位移方程为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 NNiijjijEAEAFuullEAEAFuull （

28、c）24 出版社 科技分社 如果把该梁视矩阵位移法的一般单元，使其如果把该梁视矩阵位移法的一般单元，使其A和和B两端分别同一般单元的始端两端分别同一般单元的始端i和末端和末端j对应。使用矩对应。使用矩阵位移法的符号表示方法和正负号规定，则（阵位移法的符号表示方法和正负号规定，则（d）式中相应符号应做如下变换式中相应符号应做如下变换 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 22QQ2234262466612ABABABBAABABABBAABABEIEIEIMlllEIEIEIMlllEIEIEIFFlllqqqqqq （d）QQQQABiBAjABiBAjMMMMFFFF ABjiAi

29、Bjvvqqqq（e）25 出版社 科技分社 于是，（于是，（d）式化为）式化为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 Q323222Q32322212612664621261266264iiijjiiijjjiijjjiijjEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllllEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllllqqqqqqqq （f） 综合轴向受力状态下推得的（综合轴向受力状态下推得的（c）式和弯曲受）式和弯曲受力状态下推得的（力状态下推得的（f）式，可写出一般单元全部的）式，可写出一般单元全部的杆端力和杆端位移转换关系，即杆端力和杆端位移转换关系

30、，即26 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 式中的式中的E、I、A、l分别为单元的材料弹性模量、横分别为单元的材料弹性模量、横截面惯性矩、横截面面积和单元长度。截面惯性矩、横截面面积和单元长度。NQ232NQ232()612()()426()()612()()246()iijiijijiijijjijjijijjijijEAFuulEIEIFvvllEIEIEIMvvlllEAFuulEIEIFvvllEIEIEIMvvlllqqqqqqqq （9.5）27 出版社 科技分社 将式（将式（9.5）写成矩阵形式，即可得）写成矩阵形式，即可得单元坐标单元坐标系中一般

31、单元的单元刚度方程系中一般单元的单元刚度方程 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 ( )( )N3232Q22NQ323222000012612600646200000012612600626400eeiiiiijjjEAEAllEIEIEIEIFullllFvEIEIEIEIMllllEAEAFllFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllq( )eijjjuvq（9.6）28 出版社 科技分社 上式也可简写为上式也可简写为其中其中 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 eeeFK （9.7）( )3232223232220000126126006462000

32、00012612600626400eeEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllK（9.8）29 出版社 科技分社 称为一般单元的称为一般单元的单元刚度矩阵单元刚度矩阵，简称，简称单刚单刚。 矩阵位移法仅采用位移法中的两端固支单跨超矩阵位移法仅采用位移法中的两端固支单跨超静定梁来推导单元刚度方程，这使得其基本单元类静定梁来推导单元刚度方程，这使得其基本单元类型归一化，更便于应用程序的开发。型归一化，更便于应用程序的开发。9.3.2 特殊单元特殊单元 杆端独立位移未知量因被约束变为已知位移，杆端独立位移未知量因被约束变

33、为已知位移，或者不独立于其它杆端位移的单元，称为或者不独立于其它杆端位移的单元，称为特殊单元特殊单元。例如连续梁单元和理想桁架单元等。例如连续梁单元和理想桁架单元等。 1）连续梁单元）连续梁单元 忽略轴向变形的连续梁或无结点线位移的刚架，忽略轴向变形的连续梁或无结点线位移的刚架，经过离散化后，单元两端只有独立的杆端转角未知经过离散化后，单元两端只有独立的杆端转角未知量量 和和 。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 eKiqjq30 出版社 科技分社 将线位移将线位移 的条件代入式（的条件代入式（9.6）中，并注意到杆端剪力不独立于杆端弯矩，则可得中，并注意到杆端剪力不独立于杆端弯

34、矩，则可得连续梁单元的单元刚度方程为连续梁单元的单元刚度方程为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 0iijjuvuv( )( )( )4224eeeiijjEIEIMllEIEIMllqq （9.9）相应的单元刚度矩阵为相应的单元刚度矩阵为( )4224eEIEIllEIEIll eK（9.10）31 出版社 科技分社 可见，连续梁单元的单刚可以由一般单元单刚可见，连续梁单元的单刚可以由一般单元单刚划去与零位移相应的行和列，即式（划去与零位移相应的行和列，即式（9.8）中的第）中的第1、2、4、5行和列而得。行和列而得。 2）理想桁架单元）理想桁架单元 理想桁架中的各杆件只有轴向

35、变形，即理想桁架中的各杆件只有轴向变形，即 ， 。而。而 ，将这一条件代入式，将这一条件代入式（9.6），可得理想桁架单元的单元刚度方程为），可得理想桁架单元的单元刚度方程为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 0iu 0ijijvvqq0ju ( )( )( )NNeeeiijjEAEAuFlluEAEAFll （9.11）相应的单元刚度矩阵为相应的单元刚度矩阵为32 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 可见，理想桁架单元的单刚也可由一般单元单可见，理想桁架单元的单刚也可由一般单元单刚划去与零位移相应的行和列，即式（刚划去与零位移相应的行和列，即式（

36、9.8）中的）中的第第2、3、5、6行和列而得行和列而得。9.3.3 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质 1）单元刚度系数的物理意义）单元刚度系数的物理意义 单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数单元刚度系数，代表由单位杆端位移引起的杆端力。代表由单位杆端位移引起的杆端力。 ( )eeEAEAllEAEAll K（9-.12）33 出版社 科技分社 若以若以 代表单元刚度矩阵中的某系数，则它代表单元刚度矩阵中的某系数，则它的值等于当单元的第的值等于当单元的第m个杆端位移方向发生正向单个杆端位移方向发生正向单位位移（其它杆端位移为零）时，引起的第位位移（其它杆端位

37、移为零）时，引起的第l个杆端个杆端位移方向的杆端力。位移方向的杆端力。 例如下图给出了一般单元单刚系数例如下图给出了一般单元单刚系数 和和 的物的物理意义。理意义。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 ( )elmk23k62kxyij,E, A l,Ii=123kyiA,E, Il,jxvi=1i162k23k(a)的物理意义(b)的物理意义k6234 出版社 科技分社 根据单刚系数的物理意义可知，单刚中任一列根据单刚系数的物理意义可知，单刚中任一列的元素，均可由令单元中与该列列号对应的杆端位的元素，均可由令单元中与该列列号对应的杆端位移发生正向单位位移而求得。例如欲求一般单元单

38、移发生正向单位位移而求得。例如欲求一般单元单刚第刚第5列的所有元素，只需令列的所有元素，只需令 ，再依，再依“始端轴、始端轴、剪、弯到末端轴、剪、弯剪、弯到末端轴、剪、弯”的方向编号顺序求出这的方向编号顺序求出这些杆端内力，就得到了些杆端内力，就得到了 6个刚度系数。个刚度系数。 2）单元刚度矩阵是对称方阵）单元刚度矩阵是对称方阵 一般单元的单刚是一般单元的单刚是66的对称方阵，特殊单元的对称方阵，特殊单元的单刚亦是对称方阵。单刚的对称性可由线弹性结的单刚亦是对称方阵。单刚的对称性可由线弹性结构的反力互等定理证明，即为构的反力互等定理证明，即为 而而 对角线上的主系数恒大于零，这同位移法对角线

39、上的主系数恒大于零，这同位移法一致。一致。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 1jv 15k65k( )( )eelmmlkk(,1,2,6)lml m；（9.13）eK35 出版社 科技分社 3）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵 从数学的角度来说，从数学的角度来说， 的行列式的行列式 之值等于零，之值等于零，即不存在逆阵，因此奇异。即不存在逆阵，因此奇异。 从力学概念的角度来说，我们注意到从力学概念的角度来说，我们注意到一般单元一般单元始末端的六个杆端位移未知量并未被任何约束限制始末端的六个杆端位移未知量并未被任何约束限制，好像单元好像单元“浮

40、于空中浮于空中”，这样的单元称为，这样的单元称为自由单元自由单元。给定一组符合变形协调条件的杆端位移给定一组符合变形协调条件的杆端位移 ，我们可，我们可以通过单元刚度方程以通过单元刚度方程 求得一组杆端力求得一组杆端力 ；但如果给定一组平衡的杆端力但如果给定一组平衡的杆端力 ，由于自由单元的，由于自由单元的刚体位移未被约束限定，因而无法推出唯一确定的刚体位移未被约束限定，因而无法推出唯一确定的一组杆端位移一组杆端位移 。也就是说，对于一组平衡的杆端。也就是说，对于一组平衡的杆端力力 ，可能有无限多组由弹性位移和刚体位移共同，可能有无限多组由弹性位移和刚体位移共同组成的杆端位移组成的杆端位移 与

41、之对应，因而一般单元的单刚与之对应，因而一般单元的单刚奇异。奇异。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 eKeKeeeeFK eFeFeeFe36 出版社 科技分社 4）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 是单元的固有性质是单元的固有性质 只与单元的弹性模量只与单元的弹性模量E、横截面积、横截面积A、惯性、惯性矩矩I及杆长及杆长l有关，而与外荷载无关。有关，而与外荷载无关。9.4 整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵 9.4.1 坐标变换矩阵坐标变换矩阵 从单元分析进入整体分析时，需要将参照坐标从单元分析进入整体分析时，需要将参照坐标系统一为整体坐标系，才便于建立结点平衡方

42、程；系统一为整体坐标系，才便于建立结点平衡方程；整体分析结束后，需计算单元杆端力以求取单元内整体分析结束后，需计算单元杆端力以求取单元内力，此时又需将参照坐标系重新设为各单元坐标系。力，此时又需将参照坐标系重新设为各单元坐标系。因此，有必要建立两套坐标系的转换关系。因此，有必要建立两套坐标系的转换关系。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 eKeK37 出版社 科技分社 上图将杆单元上图将杆单元 e 在单元坐标系中的杆端力和整在单元坐标系中的杆端力和整体坐标系体坐标系xOy中的杆端力一同绘出。中的杆端力一同绘出。 若设从整体坐标系若设从整体坐标系x轴转向单元坐标系轴的夹轴转向单元坐

43、标系轴的夹角为角为a a（顺时针为正），根据投影关系，可得（顺时针为正），根据投影关系，可得 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 OjM =MjFxjNjFFQjyjFejiFyiQiFxiFFNiiM=Miyxyx38 出版社 科技分社 写成矩阵形式写成矩阵形式 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 NQNQcossinsincoscossinsincosixiyiixiyiiijxjyjjxjyjjjFFFFFFMMFFFFFFMMaaaaaaaa （9.14）39 出版社 科技分社 或简写为或简写为 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 ( )( )QNQ

44、cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eeNixiiyiiixjjyjjjjFFFFMMFFFFMMaaaaaaaa（9.15）eeFTF（9.16）其中其中40 出版社 科技分社 称为称为单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵。它是一个正交矩阵，即有。它是一个正交矩阵，即有 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001aaaaaaaaT（9.17）1TTT（9.18） 如需将如需将 转换为转换为 ，则可使用下式，则可使用下式e

45、FeF-1TeeeFT FT F（9.19） 上述转换关系也同样适用于杆端位移上述转换关系也同样适用于杆端位移 和和 之之间的转换，即有间的转换，即有 ee41 出版社 科技分社 9.4.2 整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵 类比单元坐标系中的单元刚度方程类比单元坐标系中的单元刚度方程 ，可以写出可以写出整体坐标系中的单元刚度方程整体坐标系中的单元刚度方程式中式中 就是整体坐标系中的单元刚度矩阵。就是整体坐标系中的单元刚度矩阵。 下面来推导下面来推导 ：将将 左右两边先前左右两边先前乘乘 ，得，得 ，再参考式（，再参考式（9.19），左边），左边即为即为 ，再将式（，再将式

46、（9.20）代入右边，可得）代入右边，可得 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 eeT（9.20）TeeT （9.21）eeeFK eeeFK （9.22）eKeKeeeFK TTTTeeeT FT K eFTeeeFT K T42 出版社 科技分社 比对式（比对式（9.22），可得），可得 将式（将式（9.8）和（）和（9.17）代入上式右边进行矩阵）代入上式右边进行矩阵运算，可得整体坐标系中的一般单元的单元刚度矩运算，可得整体坐标系中的一般单元的单元刚度矩阵为阵为其中其中 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 （9.23）TeeKT K T12312345245635

47、612345622eSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSK（9.24）43 出版社 科技分社 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 （9.25）22132332224352612cossin12()sincos6sin12sincos6cos2EAEISllEAEISllEISlEAEISllEISlEISlaaaaaaaa44 出版社 科技分社 整体坐标系中的单刚中的元素整体坐标系中的单刚中的元素 ，其值等于当，其值等于当单元的第单元的第m个杆端位移方向发生正向单位杆端位移个杆端位移方向发生正向单位杆端位移1（其它杆端位移为零）时，引起的第（其它杆端位移为零）时，引起的第l个

48、杆端位移个杆端位移方向的杆端力。例如下图给出了一般单元单刚系数方向的杆端力。例如下图给出了一般单元单刚系数和的物理意义。和的物理意义。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 ( )elmk23k62k(a)y的物理意义k23x的物理意义(b)62kyxi=1ijk23j,AIE, ,lvi=1ii162kOOIE,A,l45 出版社 科技分社 仍具有类似仍具有类似 的一些性质：的一些性质： 是对称方阵，这仍可用线弹性结构反力互等是对称方阵，这仍可用线弹性结构反力互等定理证明；定理证明； 一般单元的一般单元的 是奇异矩阵，这是因为坐标变是奇异矩阵，这是因为坐标变换未改变一般单元是自由单

49、元的性质；换未改变一般单元是自由单元的性质； 除与单元本身属性有关外，还与两坐标系除与单元本身属性有关外，还与两坐标系的夹角的夹角a a有关。这是有关。这是 同同 的明显区别。的明显区别。 9.5 用直接刚度法形成结构刚度矩阵用直接刚度法形成结构刚度矩阵 在对结构进行离散化和单元分析后，就需要将在对结构进行离散化和单元分析后，就需要将各单元重新集成为原结构，进行结构整体分析，从各单元重新集成为原结构，进行结构整体分析，从本节开始将介绍结构整体分析的方法。本节开始将介绍结构整体分析的方法。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 eKeKeKeKeKeKeK46 出版社 科技分社 9.5

50、.1 结构刚度方程结构刚度方程 结构整体分析的目标就是在整体坐标系中，用结构整体分析的目标就是在整体坐标系中，用单元分析的结果形成结构刚度方程。单元分析的结果形成结构刚度方程。结构刚度方程结构刚度方程反映的是结构的结点位移和结点力之间的关系，同反映的是结构的结点位移和结点力之间的关系，同位移法中的典型方程相对应。结构刚度方程可写为位移法中的典型方程相对应。结构刚度方程可写为 式中，式中，K代表代表结构刚度矩阵结构刚度矩阵，简称，简称总刚总刚； 代表代表结结点位移未知量列阵点位移未知量列阵；P代表代表综合结点荷载列阵综合结点荷载列阵。 为求解结点位移未知量列阵为求解结点位移未知量列阵 ，需要先形

51、成，需要先形成K和和P，本节将讨论总刚，本节将讨论总刚K的形成，而下节将讨论的形成，而下节将讨论P的形的形成。成。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 KP（9.26）47 出版社 科技分社 9.5.2 结点位移分量的统一编码结点位移分量的统一编码 经单元分析后，需要将各单元在约束的连接下经单元分析后，需要将各单元在约束的连接下重新形成原结构。因此，整体分析首先应当正确合重新形成原结构。因此，整体分析首先应当正确合理地反映结构各单元所受约束的情况，对结构的支理地反映结构各单元所受约束的情况，对结构的支承（外约束）情况和结点（内约束）情况进行描述。承（外约束）情况和结点（内约束）情况

52、进行描述。具体来说，就是具体来说，就是需要对结点位移分量进行统一编码需要对结点位移分量进行统一编码。 1）后处理法和先处理法）后处理法和先处理法 形成整体刚度方程时，考虑结构约束的常用方形成整体刚度方程时，考虑结构约束的常用方法有两种法有两种后处理法后处理法和和先处理法先处理法，所谓，所谓“后后”和和“先先”是指在形成结构刚度方程之后，还是之前引是指在形成结构刚度方程之后，还是之前引入支承条件。入支承条件。 后处理法在单元分析完成以后，并不急于处理后处理法在单元分析完成以后，并不急于处理支承条件，不论单元杆端位移未知还是已知，都将支承条件，不论单元杆端位移未知还是已知，都将其对应的单刚元素和单

53、元杆端力分量集成进入总刚其对应的单刚元素和单元杆端力分量集成进入总刚 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 48 出版社 科技分社 K和综合结点荷载列阵和综合结点荷载列阵P中，从而形成一个中，从而形成一个“浮于浮于空中空中”的无支承的体系的刚度方程，称为的无支承的体系的刚度方程，称为结构原始结构原始刚度方程刚度方程。接下来才考虑支承情况，修正结构原始。接下来才考虑支承情况，修正结构原始刚度方程中的刚度方程中的K和和P，以防止因总刚奇异而解不出，以防止因总刚奇异而解不出结点位移结点位移 。 先处理法则是在单元分析完成后，就考虑每个先处理法则是在单元分析完成后，就考虑每个单元的支承情况，

54、只让未知（而避免已知）单元杆单元的支承情况，只让未知（而避免已知）单元杆端位移对应的单刚元素和单元杆端力分量集成进入端位移对应的单刚元素和单元杆端力分量集成进入K和和P，因而形成的结构刚度矩阵实际上已经包含，因而形成的结构刚度矩阵实际上已经包含了全部约束信息，无需再修正。了全部约束信息，无需再修正。 因为没有已知位移分量对应的部分，先处理法因为没有已知位移分量对应的部分，先处理法相对后处理法来说，结构刚度方程的规模会缩减，相对后处理法来说，结构刚度方程的规模会缩减，求解更加容易。同时，先处理法在处理铰结点、求解更加容易。同时，先处理法在处理铰结点、 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分

55、社 49 出版社 科技分社 忽略轴向变形等情况时也更灵活，因此本章后面将忽略轴向变形等情况时也更灵活，因此本章后面将只介绍先处理法。只介绍先处理法。 2）结点位移分量的统一编码）结点位移分量的统一编码 从从9.2节我们知道，平面刚架的每个结点有三个节我们知道，平面刚架的每个结点有三个位移分量，即整体坐标系位移分量，即整体坐标系x方向、方向、y方向和转角方向方向和转角方向上的上的u、v、q q，我们需要找出这些结点全部位移分，我们需要找出这些结点全部位移分量中的未知位移分量进行编号。下面给出结点位移量中的未知位移分量进行编号。下面给出结点位移分量编码的约定：分量编码的约定： (1)基本约定基本约

56、定 按结点编号的顺序，对每个结点，依按结点编号的顺序，对每个结点，依u、v、q q的顺序，考查它们的位移分量是否被约束。对未被的顺序，考查它们的位移分量是否被约束。对未被约束的结点位移分量（即结点位移未知量），按顺约束的结点位移分量（即结点位移未知量），按顺序对它们进行编码；对被支承约束或为已知的结点序对它们进行编码；对被支承约束或为已知的结点 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 50 出版社 科技分社 位移分量，则用编码位移分量，则用编码“0”表示。位移分量编码统一表示。位移分量编码统一标在结点码后的括号中。如下图所示结构中，结点标在结点码后的括号中。如下图所示结构中，结点2和和

57、3的三个位移分量，及结点的三个位移分量，及结点5的转角位移分量未的转角位移分量未被约束，按顺序编号；而其它结点位移分量都被约被约束，按顺序编号；而其它结点位移分量都被约束，所以编束，所以编“0”号。号。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 11(0,0,0)232(1,2,3)3(4,5,6)4(0,0,0)5(0,0,7)4一般情况下结点位移分量的统一编码一般情况下结点位移分量的统一编码 51 出版社 科技分社 (2)铰结点的处理方法铰结点的处理方法 先来定义两类铰结点：铰结的杆件全部是链杆先来定义两类铰结点：铰结的杆件全部是链杆或桁杆的全铰结点，称为或桁杆的全铰结点，称为全桁铰

58、结点全桁铰结点，简称，简称全桁铰全桁铰。铰结的杆中有梁式杆的铰结点，称为铰结的杆中有梁式杆的铰结点，称为梁铰结点梁铰结点，简，简称称梁铰梁铰。下面分别说明这两类结点位移分量的编码。下面分别说明这两类结点位移分量的编码方法：方法： a. 全桁铰结点全桁铰结点 全桁铰结点一般出现在桁架和组合结构中，由全桁铰结点一般出现在桁架和组合结构中，由于杆端转角对桁杆单元来说无意义，为此约定相应于杆端转角对桁杆单元来说无意义，为此约定相应转角的位移分量编码为转角的位移分量编码为“0”。如图（。如图（a）所示的桁）所示的桁架，四个铰结点都是全桁铰，所以每个转角位移分架，四个铰结点都是全桁铰，所以每个转角位移分量

59、的编码都填入量的编码都填入“0”。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 52 出版社 科技分社 又如图（又如图（b）所示组合结构的）所示组合结构的7结点，它所铰结结点，它所铰结的、三个单元也都是链杆，所以的、三个单元也都是链杆，所以7结点是结点是全桁铰，它的第三个位移分量编码应该填全桁铰，它的第三个位移分量编码应该填“0”。 土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社 6543214(5,0,0)3(0,0,0)2(3,4,0)1(1,2,0)1(0,0,1)2(2,3,4)3(5,6,7)5(9,10,11)6(12,0,13)4(5,6,8)7(14,15,0)线位移一致无

60、意义分量无意义分量无意义分量无意义分量无意义分量12356C(a) 桁架(b) 组合结构74线位移一致6543214(5,0,0)3(0,0,0)2(3,4,0)1(1,2,0)1(0,0,1)2(2,3,4)3(5,6,7)5(9,10,11)6(12,0,13)4(5,6,8)7(14,15,0)线位移一致无意义分量无意义分量无意义分量无意义分量无意义分量12356C(a) 桁架(b) 组合结构74线位移一致53 出版社 科技分社 梁铰结点梁铰结点 梁铰可能既铰结了链杆又铰结了梁式杆，处理梁铰可能既铰结了链杆又铰结了梁式杆，处理梁铰的方法是：梁铰的方法是： 对梁铰所铰结的全部梁式杆，选取一