结构动力学 很好很有用

1、结结 构构 动动 力力 学学结构力学（）授授 课课 内内 容容13.2 单自由度体系的自由振动13.6 一般多自由度体系的自由振动13.1 动力计算的特点和动力自由度 13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 13.7 多自由度体系在任意荷载下的强迫振动13.8 计算频率的近似法 13.3 单自由度体系的强迫振动 13.4 两个自由度体系的自由振动 13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点13.1 13.1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度 13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类 13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的

2、自由度13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点 结构动力学：结构动力学： 研究结构在研究结构在动力荷载动力荷载作用下的作用下的动力反应。动力反应。（1 1）地震现场录像）地震现场录像（2 2）地震振动台实验录像）地震振动台实验录像例如地震荷载：例如地震荷载：动力荷载：荷载的动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置大小、方向、作用位置 随时间而变化。随时间而变化。（1 1）TacomaTacoma大桥风毁录像大桥风毁录像（2 2）南浦大桥风洞实验录像）南浦大桥风洞实验录像例如风荷载：例如风荷载：13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点荷载的变化周期是结构自振周期荷载的

3、变化周期是结构自振周期5 5倍以上，则可看成静荷载。倍以上，则可看成静荷载。用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的用于教学演示的小型振动台，小型振动台，铝质和有机玻璃模型铝质和有机玻璃模型铝质模型的自由铝质模型的自由振动记录振动记录有机玻璃模型的有机玻璃模型的自由振动记录自由振动记录用于教学演示的用于教学演示的小型振动台，小型振动台，铝质和有机玻璃模型铝质和有机玻璃模型有机玻璃模型的有机玻璃模型的自由振动记录自由振动记录铝质模型的自由铝质模型的自由振动记录振动记录动力计算与静力计算的区别：动力计算与静力计算的区别：加速度：加速度：

4、 可否忽略可否忽略 动力计算的内容：动力计算的内容：1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型自振频率、阻尼、振型2）荷载的变化规律及其动力反应动力反应 （自由振动） （受迫振动）1）牛顿运动定律2）惯性力 动静法动静法（达朗伯原理）特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡动平衡！建立微分方程，, ,y y y 13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点 如何考虑如何考虑13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类1 1）周期荷载）周期荷载2 2）冲击荷载）冲击荷载3 3）随机荷载）随机荷载P(t )tPt简谐荷载简谐荷载P(t)ttrPP(t)ttrPP(t)tPP(

5、t)t爆炸荷载爆炸荷载1 1爆炸荷载爆炸荷载2 2突加荷载突加荷载地震波地震波一般周期荷载一般周期荷载结构结构（系统）（系统）13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类结构结构（系统）（系统）输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）控制系统控制系统（装置、能量）（装置、能量）13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类 建筑抗震设计原则建筑抗震设计原则 结构结构“小震不破坏，中震

6、可修复，大震不倒塌。小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。” y13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。 动力自由度：动力自由度：这是因为：惯性力取决于质量分布质量分布及其运动方向运动方向。mE、A、I、 R体系振动自由度为？无限自由度无限自由度( (忽略忽略 ) )m三个自由度三个自由度忽略轴向变形忽略转动惯量自由度为？单自由度单自由度m0,0mEAR例：简支梁：例：简支梁：m13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度集中质量法：集中质量法： 将分布质量集中到某些位置。例例1 1：2EIEIEIy(a)(a)单自

7、由度单自由度y1y2(b)(b)两个自由度两个自由度例例2 2：(t)(c)(c)三个自由度三个自由度( )m x(d)(d)无限自由度无限自由度( , )y x tx13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度例例3 3：u(t)v(t)例例4 4：确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响集中质量法几点注意：集中质量法几点注意： 1）体系动力自由度数不一定等于质量数。一个质点一个质点两个两个DOFDOF两个质点两个质点一个一个DOFDOF两个质点两个质点三个三个DOFDOF 2）体系动力自由度与其超静定次数无关。 3）体系动力自由度决定了结

8、构动力计算的精度。m1m2yxxx13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度改变改变水平振动时的计算体系水平振动时的计算体系 3 3个自由度个自由度 4 4个自由度个自由度 m1m2m32 2个自由度个自由度 自由度与质量数自由度与质量数 不一定相等不一定相等 y1y2y1y3y2y3y4y1y213.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立13.2 13.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动13.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3 13.2.3 结构的自

9、振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响一一、自由振动自由振动 （体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力）（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力） 1.1.自由振动产生原因自由振动产生原因 体系在初始时刻体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。受到外界的干扰。 静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 y2.2.研究单自由度体系的自由振动重要性研究单自由度体系的自由振动重要性 （1 1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 （2

10、2）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性自由振动反映了体系的固有动力特性 自振频率和振型自振频率和振型 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立以一悬臂柱为对象：以一悬臂柱为对象：自由振动 初始位移初始速度同时作用y(t)kmymmy 模型模型2 2隔离体隔离体理解理解两模两模型中型中 “k” 含义含义my mky模型模型1 1“弹簧小车弹簧小车”kyky建

11、立自由振动的微分方程建立自由振动的微分方程: : 两种方法： 1）刚度法 力的平衡力的平衡2）柔度法 位移协调位移协调 1 1k1P 建立方程1 1）刚度法：）刚度法：以质量为隔离体以质量为隔离体00Xmyky1k模型模型2 2模型模型1 1刚度系数 k柔度系数 概念理解概念理解 my kyy13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立建立自由振动的微分方程建立自由振动的微分方程: : 两种方法： 1）刚度法 力的平衡力的平衡2）柔度法 位移协调位移协调 建立方程2 2）柔度法：）柔度法：M点位移ykymy ky13.2.1 13.2.1 单自由

12、度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立ymFi ymFyi 0 yym 惯性力建立方程建立方程1 1）刚度法：）刚度法：mykyW0y 0kymyWstdyyy()()0stdstdk yym yyW0ststkyWy0ddkymy0kymy以质量为隔离体以质量为隔离体my 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立建立方程建立方程2 2）柔度法：）柔度法：mkymy Wstdyyy()stdstdstyym yyy 0sty 0ymy以梁为对象建立位移方程以梁为对象建立位移方程( )y tkykymyW ymyW stWy

13、ddymy ky13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立（1 1）刚度法）刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。平衡方程，需要用到刚度系数。 方法小结方法小结 （2 2）柔度法）柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。需要用到柔度系数。刚度法刚度法 柔度法柔度法 （3 3）方法选择）方法选择 谁较简单？谁较简单？ 谁较容易求得。谁较容易求得。 取决于结构的取决于结构的柔度系数柔度系数 刚度系数刚度系数 超静定

14、结构，查表（形常数）超静定结构，查表（形常数） 静定结构，图乘法求静定结构，图乘法求 顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！ 0myky原方程：原方程：0kyym2()km令：通解为：通解为：12( )sincosy tCtCt 由由初始条件：初始条件：020(0) yyCy001(0)vyvC00( )cossinvy tytt解为：解为：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t0v0v13.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答化成单项三角函数的形

15、式化成单项三角函数的形式: :解又可表达为：解又可表达为：将其展开：将其展开：( )sincoscossiny tatat00( )cossinvy tytt相比较得：相比较得：0sinya0cosva22100020tanvyayv ( )sin()y tat则：振幅则：振幅T0y(t)taa0y自由振动总位移：自由振动总位移：初始相位角初始相位角13.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率( )sin()y tat由式由式: :可知可知时间时间经经 后，质量完成了一个

16、振动周期。后，质量完成了一个振动周期。2T用用T 表示周期，表示周期， 周期函数的条件周期函数的条件: : y(t+T )=y(t )12fT1)1)自振周期计算公式：自振周期计算公式：2mTk2m2Wg2stg2)2)自振频率计算公式：自振频率计算公式：1stkggmmW秒内的振动次数秒内的振动次数2用用 表示圆频率：表示圆频率：用用 表示频率：每秒钟内的振动次数表示频率：每秒钟内的振动次数f 泛美大厦，泛美大厦，6060层层钢结构，南北方向钢结构，南北方向的基本固有周期为的基本固有周期为2.902.90秒，秒， 大坝，大坝，400400英尺高的混凝土重力坝的英尺高的混凝土重力坝的基本固有周

17、期由强迫振动试验测得在蓄基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为水为310310英尺和英尺和345345英尺十分别为英尺十分别为0.2880.288秒和秒和0.3060.306秒，秒， 金门大桥，金门大桥，金门大桥桥墩跨距金门大桥桥墩跨距1280.21280.2米全桥总米全桥总长长2737.42737.4米的米的悬索桥，其横向振动的基本基本固悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为有周期为18.2018.20秒，竖向振动的基本基本固有周期秒，竖向振动的基本基本固有周期为为10.9010.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.813.81秒，扭转振动的基本基本固有周

18、期为秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.434.43秒秒 例例13.113.1 求图示梁结构的自振周期和自振频率。求图示梁结构的自振周期和自振频率。mEIl/2l/21P l/4解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（图乘法）348lEI32248mlTmEI 思考思考 比较图示结构的自振频率348EIl ml/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(a)(b)(b)(c)(c)(a)(b)(c)(a)(b)(c)13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 例例13.213.2 图示机器与基础总重量图示机器与基础总重量W=60kN，基础下，基础下土壤的抗

19、压刚度系数为土壤的抗压刚度系数为 cz=0.6N/cm3，基础底面积，基础底面积 A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。W解: 让振动质量向下单位位移 需施加的力为：3112 109.844.2760kkgsmW k = cz A= 0.610320 =12103 kN/m自振频率为：13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 例例13.313.3 如图所示简支梁，将一重为如图所示简支梁，将一重为W的物体从高的物体从高h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律。处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律

20、。hyyystW 解:自由落体后，梁以一定的 初速度上下作自由振动， 其振动平衡位置为 yst 。sin()yAt设：其中：stgy22002100tanvAyyv振幅：初始相位角：初始条件：002styyygh ststyW13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率1.例如设: 则0.4,10stycm hcm98049.5/0.4stgrad sy20.42 10 0.42.86Acm 0.4()0.1410.142 10arctgarctgrad 则振动规律为：2.86sin(49.50.14)yt具体例子比较具体例子比较: :13.2.3 13.2.3

21、 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率h0.4stAycm()2arctg 0.4sin(49.5)2yt13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率2.2. 如图所示简支梁，将一重为如图所示简支梁，将一重为W的物体将物体无初速的物体将物体无初速地放置在梁中点，求该系统的振动规律。地放置在梁中点，求该系统的振动规律。98049.5/0.4stgrad syststyW2.86sin(49.50.14)yt比较结果可知，比较结果可知，h10cm时的振幅位移是时的振幅位移是h0的的7倍倍则振动规律为：11 求图示结构的自振频率。求图示结构的自振频率。LL

22、/2EIk作业作业LEIEIEILmm22 列出图示结构的运动方程。列出图示结构的运动方程。kEI 2mL/2L/3L/2m思考题思考题P286P286页页13-113-1，13-213-2，13-413-4，13-513-5，13-613-6，13-713-7作业作业 例例13.413.4 求图示结构的自振频率。求图示结构的自振频率。LL/2EIkL/2kP=1M1图图31313L33()22222222222984LLLLLLEIkLEIk解：解：画画M1 1图；由图；由M1图图求得求得 ；由；由 求得求得 。3/2319(84LmEIk13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率

23、结构的自振周期和自振频率 例例13.513.5 求图示结构的频率。求图示结构的频率。解解1 1： 是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于结构对称，可取半刚架计算。结构对称，可取半刚架计算。342EImL311212()22223222324LLLLLLLEIEILEIEIEILmmM图图L/2L/2P=1/2P=1/22 2L/2L/2EIEIEI13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率P=1 例例13.613.6 列出图示结构的运动方程。列出图示结构的运动方程。kEI 2mL/2L/3L/2m12my2my 1k2

24、( ) t解：是单自由度体系。解：是单自由度体系。 以以 建立位移方程。建立位移方程。( ) t1122( )( 2)()tmymyP=1k121/2P=1k124/3k121/L112L243L12Ly243Ly14441( )( 2)()223318LLtmmmLL 13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率M=113.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响mky1) 不考虑阻尼0y(t)taamky=0c2) 考虑阻尼阻尼是客观存在的阻尼是客观存在的 振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼阻尼。 （1 1）产

25、生阻尼的原因）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力 （2 2）阻尼力的确定）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼粘滞阻尼( )R tcy y(t)mykymy kmccy 有阻尼模型有阻尼模型建立动平衡方程0mycyky标准化得:km2cm0ckyyymm其中: 称为阻尼比二阶常微分方程可变为：220yyy设特解为：tyCe特征方程为：2220解为：2(1) 111 、（1）1 令：21r则代数方程解：ri 13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响111 、小阻尼、临界阻尼、过阻

26、尼的自由振动则微分方程通解为：12cossintrryeCtCt000cossintrrryyeytt220000200()sin() , trrrvyyyeataytgvy，也可:tyyktyaeyk+1tkT1)1)是一种衰减振动是一种衰减振动2)2)对自振频率的影响对自振频率的影响21rr 当0.2,则 0.96r/1在工程结构问题中0.010.1此时，阻尼的影响可以忽略。实部初始条件初始条件虚部13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响1)1)是一种衰减振动是一种衰减振动阻尼对固有振动蘋率的影响阻尼对自由振动阻尼对自由振动衰减速率的影响衰减

27、速率的影响如图右如图右2)2)对自振频率的影响对自振频率的影响 当0.2,则 0.96r/1在工程结构问题中0.01)引起的动力反应微分冲量微分冲量01( )( )sin()ty tPtdm13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应一般动荷载的动力反应一般动荷载的动力反应: :杜哈梅积分杜哈梅积分初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 为零为零（1 1）突加荷载）突加荷载 P(t)tPo001( )sin()ty tPtdm02(1cos)(1cos)stPtytmysty(t)t023质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡 位置作简谐振动位置

28、作简谐振动ystyst举例说明举例说明000( ) 0tP tPt01( )( )sin()ty tPtdm13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应max ( )2sty ty （2 2）短时荷载）短时荷载 P(t)tPou000( )00tP tPtutu 1 1）方法一：）方法一：00011( )( )sin()()tuy tPtdPSintdmm2sinsin()22stuuyt13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应( )(1 cos)sty tyt 阶段阶段 (0(0t u) )同突加荷载同突加荷

29、载： 阶段阶段 ( (t u) )：P(t)tPou000( )00tP tPtutu 阶段阶段 ( (t u) )：体系以：体系以 作自由振动。作自由振动。( ), ( )y uy u 2 2）方法二：）方法二：( )(1 cos)sty tyt( )sinsty uyu ( )cos()cossty tytut2sinsin()22stuuyt13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 阶段阶段 (0(0t u) )同突加荷载同突加荷载：( )(1 cos)sty uyu 3 3）方法三：）方法三：P(t)tPP(t)tPu( )(1 cos)st

30、y tyt( )1 cos()sty tytu1)1)当当0 u(cos()cos)stytut2sinsin()22stuuyt1 cos()stytu( )(1 cos)sty tyt13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应P(t)tPuy(t)t023讨论主要针对u展开ystT/21 1）当）当u T/2，最大动最大动 位移发生在阶段位移发生在阶段max ( )2sty ty 2 2）当）当0u )引起的动力反应：P(t)td( )dSPdt微分冲量微分冲量()( )sin()trrPddyetm()0( )sin()ttrrPdyetm有阻尼

31、杜哈梅积分有阻尼杜哈梅积分地震作用地震作用有阻尼的平稳振动:00y 初位移：00初速度:13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动微分方程的建立两个自由度体系自由振动微分方程的建立13.4 13.4 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性13.4.4 13.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解两个自由度体系自由振动方程的一般解13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立（1 1）因结构特征必须

32、简化为多自由度体系）因结构特征必须简化为多自由度体系多层房屋、多层房屋、 不等高排架等不等高排架等（2 2）为满足计算精度的要求）为满足计算精度的要求烟囱、烟囱、 高耸建筑物等高耸建筑物等 基本方法基本方法刚度法：刚度法：柔度法：柔度法： 按结构的位移协调条件建立运动方程按结构的位移协调条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程（1 1）柔度法）柔度法y1y2（m1m222m y211121P 22121212建立方程：建立方程：111111222( )( )( )y tm y tm y t221112222( )( )( )y tm y tm y t13.4

33、.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立柔度系数：柔度系数：注意注意柔度柔度系数系数 物理物理意义意义11P 11m y（2 2）刚度法）刚度法质量隔离体质量隔离体m2m12K111( )0m y tK222( )0m y tK列平衡方程：列平衡方程：1K2K1y122y如何确定？如何确定？13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立22m y 11m y 1Ky1y2（m1m22K1K弹弹性性力力惯惯性性力力刚度系数刚度系数: :k k1K2K122y1yk11k21112k12k22112得到运动方程：得到

34、运动方程：11111122( )0m y tk yk y22211222( )0m y tk yk y2211222Kk yk y1111122Kk yk y111( )0m y tK222( )0m y tK注意注意 物理意义物理意义ijk13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率111112212211212222( )( )( )( )( )( )y tm y tm y ty tm y tm y t 设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，

35、即：（1 1）柔度法）柔度法微分方程：微分方程：211222()()yYSintyY Sint （2 2）求得：求得：1122()()yYSintyY Sint（1 1）把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程：221 1112122122121122222()()()0()()()0mYSintmY SintYSintmYSintmY SintY Sint 13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY齐次线性方程组齐次线性方程组: :非零解非零解频率方程频率方程1 112

36、121212220mmDmm关于关于的二次代数方程的二次代数方程1 11222121212()()0mmmm得：得：系数行列式系数行列式 应等于零应等于零1221112221112221122122112()()4()2mmmmm m 方程两正根为方程两正根为: :112211自振频率自振频率1213.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率第一频率第一频率 （基频）第二频率第二频率（2 2）刚度法）刚度法1112112222211222( )0( )0m y tk yk ym y tk yk y微分方程：微分方程：设解为：设解为：13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频

37、率频率方程和自振频率1122()()yYSintyY Sint（1 1）211222()()yYSintyY Sint （2 2）把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程：21111 112222221 1222()()()0()()()0mY Sintk Y Sintk Y SintmY Sintk Y Sintk Y Sint可求得：可求得：频率方程：频率方程：21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y齐次线性方程组：齐次线性方程组：自振频率：自振频率：2211221122112212211,21212124()12kkkkk

38、kk kmmmmm m13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率2111122212220kmkDkkm较小的较小的 第一频率（基频），第一频率（基频）， 为第二频率。为第二频率。1213.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性（1 1）主振型）主振型1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY(1)1212(1)21 11211YmYm Y1(1)Y2(1)m1m2(柔度法)121221 1121YmYm 22221211mm1 1 1）当）当第一主振型第一主振型(1)1(1)21YY若：若：13.4.3 13.4

39、.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性m1m2（1 1）主振型）主振型1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY121221 1121YmYm (2)1212(2)21 11221YmYm (柔度法)22221211mm2 2 2）当）当第二主振型第二主振型(2)1(2)21YY 若：若：Y1(2)Y2(2)21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y则，用刚度系数表示的主振型为：则，用刚度系数表示的主振型为：(1)112(1)221111(2)112(2)221121YkYkmYkYkm 平衡方程：平衡方程：（2 2）主

40、振型）主振型13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性21122222211121YkkmYkmk 两种方法是等价的两种方法是等价的（3 3）主振型的正交性）主振型的正交性13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性m1m211m y22m y运动方程：运动方程：按按 振动时：振动时：1 位移与加速度同时达到最大，因此位移与加速度同时达到最大，因此 可以看作可以看作是最大惯性力产生的静位移。是最大惯性力产生的静位移。 (1)(1)12YY1122()()yYSintyY Sint(1)111(1)221()()yYSintyYSint2

41、(1)11112(1)2121()()yYSintyYSint 作自由振动时，体系上承受的是惯性力。作自由振动时，体系上承受的是惯性力。准备准备1 1：13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性1P111222111222PPTP准备准备2 2： 功的互等定理。功的互等定理。1 12 22P1112221P1 12 22P211222在梁上先作用在梁上先作用P P1 1, ,再作用再作用P P2 2, ,整个过程中体系做的功为：整个过程中体系做的功为：在梁上先作用在梁上先作用P P2 2, ,再作用再作用P P1 1, ,整个过程中体系做的功为：整个过程中体系做的

42、功为：222111222122PPTP12TT 1 1号力在号力在2 2号力引起的位移上做的功号力引起的位移上做的功112221PP功的互等定理功的互等定理2 2号力在号力在1 1号力引起的位移上做的功号力引起的位移上做的功（3 3）主振型的正交性）主振型的正交性用功的互等定理来证明。用功的互等定理来证明。第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型功的互等定理功的互等定理2(1)(2)2(1)(2)2(2)(1)2(2)(1)11 11122221 112222()()()()mYYm YYmYYm YY整理得：整理得：22(1)(2)(1)(2)121 11222()()0mY Ym Y Y1

43、2第一正交关系第一正交关系虚功虚功1 1虚功虚功2 2(1)(2)(1)(2)1 112220mY Ym Y YY1(1)Y2(1)m1m22(1)122m Y2(1)11 1mYm1m22(2)21 1mY2(2)222m Y13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性Y1(2)Y2(2)如何解释正交性？如何解释正交性？利用第一正交关系利用第一正交关系1) 1) 同乘同乘212(1)(2)2(1)(2)11112122()()0mYYmYY虚功虚功1 10 02) 2) 同乘同乘222(2)(1)2(2)(1)12112222()()0mYYmYY虚功虚功2 20

44、 0 这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，各主振型能单独存在而不相互干扰。各主振型能单独存在而不相互干扰。13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性(1)(2)(1)(2)1 112220mY Ym Y Y1221112221112221122122112()()4()2 mmmmmm11112mm21112mm 例例13.1513.15 求简支梁的自振频率和主振型，并验证主求简支梁的自振频率和主振型，并验证主

45、振型的正交性。振型的正交性。l/3l/3l/3 P=1 P=129l29l解：解：1 1）求柔度系数）求柔度系数311224243lEI312217486lEI2 2）代入方程）代入方程3 3）自振频率）自振频率13115.69EIml232122EIml12mmEI1M2M13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性l/3l/3l/3mm4 4）主振型）主振型(1)1122(1)1111211 YmmY(2)1122(2)1112211 YmmY第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型5 5）验证主振型的正交性）验证主振型的正交性(1)( 2 )(1)( 2 )1

46、112220m YYm YY?(1)(2)(1)(2)1112221(1)1( 1)0 m YYm YYmm即：故满足正交性条件故满足正交性条件13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性利用对称性另解：利用对称性另解： 若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是不是对称就是反对称。故可取半边结构计算。对称就是反对称。故可取半边结构计算。l/3l/3l/312mmEIl/31l/91解：解： 1 1）简化）简化2 2）图乘）图乘3115162lEI131115.69EImml322486lEI2322122EImml3 3）

47、自振频率）自振频率对称对称反对称反对称13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 例例13.1613.16 求图示刚架的自振频率和主振型，并验证主求图示刚架的自振频率和主振型，并验证主振型的正交性。振型的正交性。m2m1k2k1解：解：1 1）求刚度系数）求刚度系数k22k12k11=k1+k2 , k21= -k2 k22=k2 , k12= -k2k21k112111122212220kmkDkkm2 2）频率方程）频率方程13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性11m2m1k2k1m2m1k2k1222(2)()0km kmk

48、若：若：m1=m2=m，k1=k2=k21135 0.6182kkmm，22235 1.618 2kkmm，3)3)主振型主振型(1)112(1)22111111.618 YkYkm第一主振型第一主振型(2)112(2)22112110.618 YkYkm第二主振型第二主振型Y2(1)=1.618Y1(1)=1Y2(2)=0.618Y1(1)=113.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性若：m1=nm2，k1=nk2讨论讨论2212221141(2)2knnmn2 2）主振型）主振型(1)2211(1)212212:YkYkm1124n(2)2212(2)2122

49、22:YkYkm1124n取取 n=9010191222121222()()0kkmkmk1 1）频率方程）频率方程22222222(1)()0nknmkmk3 3）验证主振型的正交性）验证主振型的正交性(1)(2)(1)(2)111222221(1)10( 9)0 m YYm YYmm 9013.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 称为“鞭梢效应”13.4.4 13.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解两个自由度体系自由振动方程的一般解结构位移形状保持不变的振动形式结构位移形状保持不变的振动形式主振型主振型: :1122( )sin()( )sin()y

50、 tYtytYt= =常数常数设设 解解实际上是像一个单自由度体系在振动特殊形式特殊形式1122( )( )y tYy tYY1Y2条条 件件初始位移和初始速度应与此主振型相对应初始位移和初始速度应与此主振型相对应 实际上，初始时刻的 y0 或 v0 通常不能完全 与某一振型相对应。一般解一般解(1)(2)111112122(1)(2)212112222( )sin()sin()( )sin()sin()y tAYtA Yty tAYtA Yt第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法13.5 13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动两个自由度体系在

51、简谐荷载下的强迫振动13.5.2 13.5.2 刚度法刚度法13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动柔度法柔度法（1 1）建立振动微分方程）建立振动微分方程22m y11m yPy1y21m2mtP sintP sin1P2P位移方程位移方程11 11122121()()sinPymym yt 21 12122222()()sinPymym yt 1 1 1122 12111 1 2122 2222sinsinPPmym yytmym yyt（2 2）动位移的解答及讨论）动位移的解答及讨论齐次解（齐次解（ ）特解（）特解（ ）r设特解

52、：设特解：1122( )sin( )siny tYty tYt2211112122122121122222(1)0(1)0 PPmYmYmYmY方程的解：方程的解：22111212022121222(1)(1) mmDmm其中：其中：21212122222(1) PPmDm21111221212(1) PPmDm讨讨 论论 01122D1 D, D PP，01)1)当当时时静荷载作用静荷载作用 2)2)当当时时422012D,D,D120, 0YY1121, PPYY来不及反应来不及反应12 或3)3)当当时时22111212022121222(1)(1) mmDmm0D0且且 不全为零时不全

53、为零时12DD，12, YY共振共振13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法121200DDYYDD（3 3）动内力幅值的计算）动内力幅值的计算由由Y1 、Y2值可求得位移和惯性力值可求得位移和惯性力位移：位移： 惯性力：惯性力：1122sinsinyYtyYt21112222sinsinmymYtmymYt外荷载：外荷载：sinPt惯性力幅值惯性力幅值21112222ImYImYPI1I212max1 122( )PM tM IM IM叠加公式叠加公式 动内力有正负号，叠加要注意！动内力有正负号，叠加要注意！13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法位移、惯性力和荷载同时达位移、惯性力和荷载同

54、时达到幅值，动内力也同时达到到幅值，动内力也同时达到最大。求内力时可将动荷载最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，按静力法求解作用于结构，按静力法求解 例例13.1713.17 求图示结构质点求图示结构质点1 1和和2 2点的动位移幅值和动弯点的动位移幅值和动弯矩幅值图。已知：矩幅值图。已知：121,0.75mmm EICl/4l/2l/412m1m2EItP sin I1=11M I2=12M解：解：1 1）求柔度系数）求柔度系数311223256lEI312217768lEI2 2）求频率）求频率136.93EIml自振频率自振频率荷载频率荷载

55、频率35.198EIml313256PPlEI327768PPlEIPPM316Pl316l13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法3 3）计算）计算012DDD、21212122222(1) PPmDm21111221212(1) PPmDm22111212022121222(1)(1) mmDmm0.406530.01025PlEI30.00911PlEI4 4）位移、惯性力幅值）位移、惯性力幅值31100.0252DPlYDEI32200.0224DPlYDEI21110.6808ImYP22220.6051ImYP13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法5 5）求质点）求质点1 1、2

56、 2处弯矩幅值处弯矩幅值max1 122( )PM tM IM IM1max2max( )0.3530 ( )0.2185M tPlMtPlP0.6808P120.6051P120.3530Pl0.2185PlM6 6）质点）质点1 11y1M1112.150yPY11max1( )1.883MstM tM11yM 在两自由度体系中在两自由度体系中 没有统一的动力系数没有统一的动力系数13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法13.5.2 13.5.2 刚度法刚度法m1m21sinPt2sinPt2y1y11121122( )0m y tk yk y22211222( )0m y tk yk y

57、1sinPt2sinPt（1 1）建立微分方程）建立微分方程（2 2）设特解）设特解只考虑平稳振动只考虑平稳振动1122( )sin( )siny tYty tYt设：211111221221 122222()()km Yk YPk Ykm YP（3 3）求）求D1，D2和和D32111120221222kmkDkkm112122222()PkDPkm211112212kmPDkP（4 4）求位移幅值）求位移幅值Y1=D1/D0Y2=D2/D0有关动内有关动内力计算，力计算，同柔度法同柔度法静力法静力法 例例13.1813.18 二层刚架，求其动力反应谱。二层刚架，求其动力反应谱。m2m1k2

58、k1sinPt解：解：1 1）求刚度系数）求刚度系数k11=k1+k2 , k21= -k2 , k22=k2 , k12= -k22111120221222kmkDkkm112122222()PkDPkm211112212kmPDkP2 2）求位移幅值）求位移幅值2221100P kmDYDD22200Dk PYDD221222122+ kkkkmmP0P013.5.2 13.5.2 刚度法刚度法m2m1k2k1sinPt13.5.2 13.5.2 刚度法刚度法3 3）讨论：）讨论：考察考察 m1=m2=m，k1=k2=k 的情况的情况21100P kmDYDD2200DkPYDD2220

59、2 Dkmkmk2242023()kkDmmm22222012()()Dm2211,方程方程 D00 0 的根的根22222121223, kkmm211222212222222121(1)(1)1(1)(1)mYkPkYPk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.01PkYkm3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.02PkYkm212222121(1)(1)(1)mk22222121(1)(1) 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。两质点的位移两质点的位移动力系数不同动力

60、系数不同120.6181.618kkmm和13.5.2 13.5.2 刚度法刚度法如图示对称结构在对称荷载作用下，讨论其共振情况。如图示对称结构在对称荷载作用下，讨论其共振情况。l/3l/3l/312mmEItP sin11221221,kkkk1 1）刚度系数）刚度系数(2)221(2)2122221 YkYkm2 2）第二主振型）第二主振型222221121221kmkmkk3 3）计算）计算012DDD、当当=2 ，D0= 0 ，且有，且有112122222()PkDPkm12122220()PkDPkm211112212()kmPDkP2112221()0kmPDkP121200,DD