2020高考数学重拳运用向量法解题

1、2020 高考数学重拳运用向量法解题 难点 3 运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐步加大了对这部分内容的考查力 度，本节内容要紧是关心考生运用向量法来分析，解决一些相关咨询题 难点磁场 ()三角形 ABC 中，A(5, 1)、B(- 1 , 7)、C(1 , 2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2) / CAB 的平分线 AD 的长；(3)cosABC 的值 案例探究 例 1如图，平行六面体 ABCD AIBICIDI的底面 ABCD 是菱形，且/ CiCD= / BCD. (1)求证：CiC 丄 BD. CD (2)当 的值为多

2、少时，能使 AJC丄平面 C1BD ?请给出证明 CC1 命题意图：此题要紧考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等咨询题以及对立体几 何图形的解读能力 知识依靠：解答此题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直咨询题，这就使几何咨询题代数化，使繁琐的论 证变得简单 错解分析：此题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再确实是要清晰条件中提供的 角与向量夹角的区不与联系 技巧与方法：利用 a 丄 b a b=0 来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可 b, CC1 BD =c(a b)=c a c b=|c| |a|cose |c| |b|cose =0,

3、A C1C 丄 BD. C1BD，只须证 A1C 丄 BD , A1C 丄 DC1, 由 CA1 C1D (CA AA) (CD CC1) =(a+b+c) (a c)=|a|2+a b b c |c|2=|af |c|2+|b| |a|cose |b| |c| cose =0,得 当|a|=|c|时，AQ丄 DC1,同理可证当|a|=|c|时，A1C 丄 BD, 例 2如图，直三棱柱 ABCA1B1C1,底面 ABC 中，CA=CB=1，/ BCA=90 M、N 分不是 A1B1、A1A 的中点. (1) 求BN的长; 求 cos 的值; 求证：A1B 丄 C1M. 命题意图：此题要紧考查考

4、生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何咨询题 级题目 知识依靠：解答此题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标 . 错解分析：此题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标 技巧与方法：能够先找到底面坐标面 xOy 内的 A、B、C 点坐标，然后利用向量的模及方一直找出其他的点的坐标 (1)解：如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 O xyz. 依题意得：B(0, 1, 0), N(1 , 0, 1) |BN|= (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 . 3 . (1)证明：设 CD =a, CB=b,CCj=c,依题意，|a|=|b|, C

5、D、CB、 CC1中两两所成夹角为 e ,因此 BD CD DB =a 解：假设使 A1C 丄平面 CD CC1 =1 时, A1C 丄平面 C1BD. BA1=(1, 1,2),CB1=(0 , 1 , 2) 解：依题意得：A1(1 , 0, 2), C(0, 0, 0), B1(0, 1 , 2). BA CBi =1 X 0+( 1) X 1+2 X 2=3 |BAi|= (1 0)1 2 (0 1)2 (2 0)2 6 |CBi | (0 0)2 (1 0)2 (2 0)2 、5 - BA| CB1 3 30 cos BA,CB1 11 |BC1 | |CB1 | J6 5 10 1

6、1 证明：依题意得：C1(0, 0, 2), M(_, ,2) 2 2 1 1 C1M (2,2,0)，AB ( 1,1, 2) 1 1 二 A1B C1M ( 1) 1 ( 2) 0 0, A1B C1M, 2 2 二 A1B 丄 C1M. 锦囊妙计 1. 解决关于向量咨询题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加 深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算表达了数与形互相转化和紧密结合的思想 2. 向量的数量积常用于有关向量相等， 两向量垂直、射影、夹角等咨询题中 .常用向量的直角坐标运算来证明向量 的垂直和平行咨询题；禾 U 用向量的夹角公式和距离公

7、式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的咨询题 3. 用空间向量解决立体几何咨询题一样可按以下过程进行摸索： (1) 要解决的咨询题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2) 所需要的向量是否？假设未知，是否可用条件转化成的向量直截了当表示？ 所需要的向量假设不能直截了当用条件转化成的向量表示，那么它们分不最易用哪个未知向量表示？这些未知 向量与由条件转化的向量有何关系？ (4)如何样对差不多表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 消灭难点训练 一、选择题 1. ()设 A、B、C、D 四点坐标依次是(一 1, 0), (0, 2), (4 , 3), (3, 1),那么四边形

8、 ABCD 为( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 AB = a, AC =b, a b0, 2. ( ) ABC 中，GABC= ,|a|=3,|b|=5,那么 a 与 b 的夹角是( 1 建立适当的坐标系，并写出 A、B、A1、C1的坐标; 2 求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角. 7. ()两点 M( 1 , 0), N(1 , 0),且点 P 使MP MN ,PM PN ,NM NP成公差小于零的等差数列 (1)点 P 的轨迹是什么曲线？ 假设点 P 坐标为(x0,y0),Q 为PM与PN的夹角，求 tan 0 . 8. ( )E、F、G、H 分不是空间四边形 A

9、BCD 的边 AB、BC、CD、DA 的 中点. 15 B. 150 A.30 二、 填空题 3. ()将二次函数 y=x2的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x 5 的图象只有一个公共点(3, 1)，那么向量 a= _ . 4. ()等腰 ABC 和等腰 Rt ABD 有公共的底边 AB,它们所在的平面成 60角，假设 AB=16 cm,AC=17 cm, 那么 CD= _ 三、 解答题 C.150 D.30 或 150 5.()如图，在 ABC 中，设 AB =a, AC =b, AP =c, AD = =口 b(0 口 1),试用向量 a, b 表示 c. 6.()正三棱

10、柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a,侧棱长为.2 a. (1)用向量法证明 E、F、G、H 四点共面； 用向量法证明：BD /平面 EFGH ; 设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 参考答案 难点磁场 1 1 7 2 9 9 解：(1)点 M 的坐标为 XM= 0;yM , M(0,) 2 2 2 2 |AM| (5 0)2 ( 1 2)2 罟. 2 2 2 2 (2)|AB| .(5 1) ( 1 7) 10,|AC| ,(5 1) ( 1 2) 5 D 点分BC的比为 2. 1 2 1 1 7 2 2 11 -XD ， - 1 2 3 1 2 3 |AD| (5 1

11、)2 (1 11)2 14 2. 3 3 3 / ABC 是 BA 与 BC 的夹角，而 BA=(6, 8，BC =(2, 消灭难点训练 、1.解析： AB =(1 , 2，DC =(1 , 2， AB= DC , AB / DC，又线段 AB 与线段 DC 无公共点， AB / DC 且 |AB|=|DC|,. ABCD 是平行四边形，又 |AB|=j5 , AC =(5 , 3，|AC|=j34 ,.|AB|M | AC , A ABCD 不 是菱形，更不是正方形；又 BC =(4 , 1， 1 4+2 1=6丰0,A AB不垂直于BC，二 ABCD 也不是矩形，应选 D. 答案：D 15

12、 1 1 2. 解析：T 3 5sin a 得 Sin a =一，那么 a =30 或 a =150 . 4 2 2 又 a bv 0,A a =150 . 答案：C 二、 3.(2,0) 4.13 cm 三、 5.解：T BP 与 BE 共线， BP=mBE =m( AE AB )=m( 口 b a), AP = AB + BP =a+m( 口 b a)=(1 m)a+m 口 b 又 CP 与 CD 共线， CP= nCD= n(AD AC )= n(入 a b), AP = AC + CP =b+ n(入 a b)=n 入 a+(1 n)b 由，得(1 ma+ 口 mb=入 na+(1 n

13、)b. 1 m a n m 1 0 a 与 b 不共线， 即 m 1 n n m 1 00,有 OM -(OA OB OC OD). 4 5 cos ABC BA BC |BA|BC| _6_2_(_8)_(_5)_ 、62 ( 8)2 22 ( 5)2 52 2629 10 29 145 1 1 1 解方程组得：m= ,n 代入式得 c=（1 m）a+m 口 b= 入（1 口 ）a+ 口（1 入）b 1 1 1 6解：（1）以点 A 为坐标原点 O,以 AB 所在直线为 Oy轴，以 AA1所在直线为 Oz 轴，以通过原点且与平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox轴，建立空间直角坐标系 由，得

14、 A（0，0，0，B（0，a,0A（0,0, 72a）,d（于a,，忑 a）. a l - j 3 取 A1B1 的中点 M，因此有 M(0, - Ja,连 AM , MC1, 有 MC1 =(亍 a,0,0, 且 AB=(O, a,0 , AA1 =(0,0 ,2 a) 由于M6 AB =0, MC1 AA1=0，因此 MC1丄面 ABB1A1，二 AC1与 AM 所成的角确实是 AC1与侧面 ABB1A1所 成的角 3 a a AC1 =( a,2，、2a), AM (0,2a) 2 a AC1 AM 0 4 9 2 a 42a2 * I 1a2 2a2 4 ,3a,|AM | 2a co

15、s ACi, AM NM =（2,0）, A MP 小于零的等差数列, -MN =2(1 +x), PM 等价于 PN =x2+y2 1, NM NP =2(1 x)因此，MP MN , PM PN,NM NP 是公差 x2 2(1 x) 1 2(1 x) 2(1 2 2(1 x) 0 x) 因此，点 P 的轨迹是以原点为圆心, .3 为半径的右半圆 点 P 的坐标为(X0,y0) F 2 2 PM PN x02 y02 .(4 2xo)(4 2xo) 1 2,|PM | |PN | 2 4 x0 .厂)2 y。2 (1 X0)2 y。2 sin PM PN |PM | PN 3, 1 ( 2

16、 2 X0 1,0 1 1 - 2 , tan 4 Xo sin cos .3 X。2 |y| cos cos 1 cos2 1 4 0 Xo - - - 1 8证明：(1连结 BG,那么 EG EB BG EB -(BC BD) EB BF EH EF EH 1 , 由共面向量定理的推论知： E、F、G、H 四点共面，(其中BD = EH 2 _ _ _ d d d _ _ A (2 丨因为 EH AH AE AD AB (AD AB) - BD . 2 2 2 2 因此 EH / BD，又 EH面 EFGH , BD 面EFGH 因此 BD /平面 EFGH . (3 丨连 OM , OA

17、, OB, OC, OD , OE, OG 由(2知EH IBD，同理FG - BD，因此EH FG , EH FG,因此 EG、FH 交于一点 M 且被 M 平分，因 2 2 此 1 1 1 11 1 1 OM -(OE OG) -OE -OG _(OA OB) _(OC OD) 2 2 2 2 2 2 2 1 - - - (OA OB OC OD). 难点 3 运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐步加大了对这部分内容的考查力 度，本节内容要紧是关心考生运用向量法来分析，解决一些相关咨询题 难点磁场 ()三角形 ABC 中，A(5, 1)、B

18、(- 1 , 7)、C(1 , 2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2) / CAB 的平分线 AD的长；(3)cosABC 的值. 案例探究 例 1如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且/ C1CD= / BCD. (1)求证：C1C 丄 BD. CD (2)当 的值为多少时，能使 A1C 丄平面 C1BD ?请给出证明. CC1 命题意图：此题要紧考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等咨询题以及对立体几 何图形的解读能力 知识依靠：解答此题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直咨询题，这就使几何咨询题代数化，使繁琐的论 证变得简单 错解分析：此

19、题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再确实是要清晰条件中提供的 角与向量夹角的区不与联系. 技巧与方法：利用 a 丄 b a b=0 来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可 (1)证明：设CD =a, CB=b,CC1=c,依题意，|a|=|b|, CD、CB、 CC1中两两所成夹角为 9 ,因此BD CD DB =a b, CC1 BD =c(a b)=c a c - b=|c| |a|cos9 |c| |b|cos9 =0, C1C 丄 BD. (2)解：假设使 A1C 丄平面 C1BD，只须证 AQ 丄 BD , AQ 丄 DC1, 由 CA1

20、 C1D (CA AA1) (CD CC1) =(a+b+c) (a c)=|a|2+a b b c |c|2=|a2 |c|2+|b| |a|cos9 |b| |c| cos9 =0,得 当|a|=|c|时，A1C 丄DC1,同理可证当|a|=|c|时，A1C 丄 BD, CD=1 时，AiC 丄平面 CiBD. CC1 例 2如图，直三棱柱 ABC AiBiCi,底面 ABC 中，CA=CB=1，/ BCA=90 M、N 分不是 AiBi、AiA 的中点. (1)求BN的长; 求 cos的值; (3) 求证：AiB 丄 CiM. 命题意图：此题要紧考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决

21、立体几何咨询题 级题目 知识依靠：解答此题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 0 xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标 错解分析：此题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标 技巧与方法：能够先找到底面坐标面 xOy 内的 (1)解：如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 依题意得：B(0, 1 , 0), N(1 , 0, 1) - |BN |= (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 ,3. (2)解：依题意得：Ai(1 , 0, 2), C(0, 0, 0), 二 BAi=(1, 1,2),CBi=(0, 1 , 2) BAi CBi =1 x 0+( 1) X 1+2 X 2=3

22、 - 2 2 2 | BAi |= . (1 0) (0 1) (2 0) 1 1 CiM ( ,0),AiB ( 1,1, 2) 2 2 一 1 1 一 -AiB CiM ( 1) 1 ( 2) 0 0, AiB CiM, 2 2 二 AiB 丄 CiM. 锦囊妙计 1. 解决关于向量咨询题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加 深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算表达了数与形互相转化和紧密结合的思想 2. 向量的数量积常用于有关向量相等， 两向量垂直、射影、夹角等咨询题中 .常用向量的直角坐标运算来证明向量 的垂直和平行咨询题；禾 U 用向量的

23、夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的咨询题 3. 用空间向量解决立体几何咨询题一样可按以下过程进行摸索： (1) 要解决的咨询题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2) 所需要的向量是否？假设未知，是否可用条件转化成的向量直截了当表示？ 所需要的向量假设不能直截了当用条件转化成的向量表示，那么它们分不最易用哪个未知向量表示？这些未知 向量与由条件转化的向量有何关系？ (4) 如何样对差不多表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 消灭难点训练 A、B、C 点坐标，然后利用向量的模及方一直找出其他的点的坐标 O xyz. Bi(0, 1 , 2). |CBi|

24、 ,(0 0)2 (1 0)2 (2 0)2 cos BA| ,CB1 BAi CBi |BC； | |CBi | 30 .6 -.5 10 (3)证明：依题意得: Ci(0, 0, 2), 1 1 M(232) 一、选择题 1.()设 A、B、C、D 四点坐标依次是(一 1, 0), (0, 2), (4 , 3), (3, 1),那么四边形 ABCD 为( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D平行四边形 15 AB = a, AC = b, a b0, 0ABC= ,|a|=3,|b|=5,那么 a 与 b 的夹角是( 4 A.30 B. 150 C.150 D.30。或 150 二、

25、填空题 3. ()将二次函数 y=x2的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x 5 的图象只有一个公共点(3, 1)，那么向量 a= _ . 4. ()等腰 ABC 和等腰 Rt ABD 有公共的底边 AB,它们所在的平面成 60角，假设 AB=16 cm,AC=17 cm, 那么 CD= _ . 三、 解答题 5. ()如图，在 ABC 中，设 AB =a, AC =b, AP =c, AD =入 a,(0 入 1), AE =口 b(0 口 1),试用向量 a, b 表示 c. 6. ()正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a,侧棱长为.2 a. (1) 建立适当的坐标

26、系，并写出 A、B、A1、C1的坐标； (2) 求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角. 7. ()两点 M( 1 , 0), N(1 , 0),且点 P 使MP MN ,PM PN, NM NP成公差小于零的等差数列 (1)点 P 的轨迹是什么曲线？ 假设点 P 坐标为(xo,yo),Q 为PM与PN的夹角，求 tan 0 . 8. ( )E、F、G、H 分不是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的 中点. (1)用向量法证明 E、F、G、H 四点共面； 用向量法证明：BD /平面 EFGH ; / ABC 是 BA 与 BC 的夹角，而 BA=(6 , 8，BC =(2,

27、5设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 0,有 OM 1 . 1(0A OB OC OD). 参考答案 难点磁场 1 1 解：(1)点 M 的坐标为XM= - 2 0;yM 9 9 2, M(0,2) 2 9 2 |AM | (5 0)2 ( 1 2)2 ”221 2 - ： 2 (2)|AB| ,(5 1)( 7)2 10,|AC| /(5 1)2 ( 1 2)2 D 点分BC的比为 2. 1 3,yD 2 11 2 3 |AD| 1 2 11 2 (5 7 ( 1 6) 14 2. 3 2.( ) ABC 中, 4 4 BA BC 6 2 ( 8) ( 5) 52 262

28、9 cosABC - |BA| |BC| J62 ( 8)2 J22 ( 5)2 129 145 消灭难点训练 一、1解析：AB =(1 , 2，DC =(1 , 2， AB= DC ,. AB / DC，又线段 AB 与线段 DC 无公共点，二 AB / DC 且 |AB|=|DC|，A ABCD 是平行四边形，又 | 丽|=卢，AC =(5，3，|屁 |=、/34， | AB | AC, ABCD 不 是菱形，更不是正方形；又 BC =(4 , 1， 1 4+2 1=6丰O： AB不垂直于BC , ABCD 也不是矩形，应选 D. 答案：D 15 1 1 2解析：T 3 5sin a 得

29、Sin a =，那么 a =30 或 a =150 4 2 2 又 a bv 0,. a =150 . 答案：C 二、3.(2,0) 4.13 cm = j BP =m BE =m( AE AB)= m( 口 b a), AP = AB + BP =a+m( 口 b a)=(1 m)a+m 口 b 又 CP 与 CD 共线， CP = nCD= n( AD AC )= n(入 a b), AP = AC +CP =b+ n(入 a b)= n 入 a+(1 n)b 由，得(1 ma+ 口 mb=入 na+(1 n)b. -一八、 1 m a” n m 1 0 / a 与 b 不共线， 即 m

30、1 n n m 1 0 6解：（1）以点 A 为坐标原点 O,以 AB 所在直线为 Oy轴，以 AA1所在直线为 Oz 轴，以通过原点且与平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox轴，建立空间直角坐标系 0 a 由，得 A（0， 0, 0，B（0, a,0,A1（0,0,十2 a）,C1（ -a,?, J2 a） a J - 3 (2)取 A1B1 的中点 M，因此有 M(0, - ,J2a，连 AM , MC1, 有 MC1 =(a,0,0, 2 2 且 AB =(0, a,0 , AA1 =(0,0 .2 a) 由于 M6 AB =0, MC1 AA1 =0，因此 MC1丄面 ABB1A1,： AC1与 AM 所成的角确实是 AC1与侧面 ABB1A1所 成的角 - ；3 a a - v AC1=( ya, , 2a), AM (0,?, 2a), AC1 AM5解：T BP与BE共线, 解方程组得: 1 m=- 1 代入式得 c=(1 m)a+m 口 b= 入（1 口）a+ 口 （1 入）b 2a2 2 9 3 2 而|AC1|姑 1 2 -a