72全微分方程

1、全微分方程 第二节第二节一、全微分方程一、全微分方程二、积分因子法二、积分因子法 第七章 一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法1.1.定义定义: :0),(),( dyyxqdxyxp则则dyyxqdxyxpyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xqyp 全微分方程全微分方程2.2.解法解法: :0),(),( dyyxqdxyxp应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xqyp 通解为通解为 yyx

2、xdyyxqxdyxpyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxpdyyxqxxyy ;),(cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xqxyyp 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224yyxx 例例1 1例例2. 求解求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyp 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解用凑微分法求通解. 将方程改写为将

3、方程改写为0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx故原方程的通解为故原方程的通解为021d2xyx或或cxyx221,xq机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122二、积分因子法二、积分因子法思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程这不

4、是一个全微分方程 ,12x就化成例就化成例2 的方程的方程 .,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxqyxxyxpyx为全微分方程为全微分方程,),(yx则称在简单情况下在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘0d),(d),(yyxqxyxp若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.例例2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常用的积分因子有常用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 例例3. 求解求

5、解0d)1(d)1(yxyxxyyx解解: 分项组合得分项组合得)dd(yxxy即即0)dd()(d22yyxxyxyx选择积分因子选择积分因子,),(221yxyx同乘方程两边同乘方程两边 , 得得0dd)()d(2yyxxyxyx即即0)lnd()lnd(1dyxyx因此通解为因此通解为,lnln1cyxyx即即yxecyx1因因 x = 0 也是方程的解也是方程的解 , 故故 c 为任意常数为任意常数 . 0)dd(yxxyyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例4

6、求微分方程求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为原方程的通解为.)(322322cyxx .132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy a a 常数变易法常数变易法: :b b 公式法公式法: :.4343cxxxyy 通解为通解为.1xcy 对应齐方通解对应齐方通解.1)(xxcy 设设.43)(43cxxxc ,11211cdxexeydxxdxx 例例5解解2 2整理得整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xqyp .是

7、全微分方程是全微分方程a a 用曲线积分用曲线积分法法: :,)(),(0032 yxdydxyxxyxub b 凑微分法凑微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd一阶微分方程小结一阶微分方程小结分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程思考题思考题方程方程0324223 dyyxydxyx是否为全微分方程？是否为全微分方程？思考题解答思考题解答 32yxyyp,64yx 4223yxyxxq,64yx xqyp 原方程原方程是是全微分方程全微分方程.一、一、 判别下列

8、方程中哪些是全微分方程判别下列方程中哪些是全微分方程, ,并求全微分方并求全微分方程的通解程的通解: :1 1、0)2( dyyxedxeyy；2 2、0)(22 xydydxyx；3 3、02)1(22 dede. .二、二、 利用观察法求出下列方程的积分因子利用观察法求出下列方程的积分因子, ,并求其通并求其通解解: :1 1、02 xdxyxdyydx；2 2、dxyxydyxdx)(22 ； 3 3、0)1()1( xdyxyydxxy. .练练 习习 题题三、三、 验证验证)()(1xygxyfxy 是微分方程是微分方程 0)()( dyxyxgdxxyyf的积分因子的积分因子, ,并求方程并求方程0)22()2(2222 dyyxxdxyxy的通解的通解 . .四、四、 已知已知21)0( f, ,试确定试确定)(xf, ,使使0)()( dyxfydxxfex为全微分方程为全微分方程, ,并求此并求此全微分方程的通解全微分方程的通解 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、cyxey 2； 2 2、不是全微分方程；、不是全微分