定积分在几何上的应用

1、定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 表示为niiixfu10)(lim1) 所求量 u 是与区间a , b上的某函数 f (x) 有关的2) u 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量 ;第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfud)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式uxxfbad)(这种分析方法成为元

2、素法元素法 (或微元法微元法)近似值精确值四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfad)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfabad)(边梯形面积为 a ,右图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfabad)()(21xxxdxxy22oy4 xyxy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy

3、得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyad)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42aabxoyx12222byax解解: 利用对称性 , xyadd所围图形的面积 . 有axya0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxd)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tada解解:ttad)cos1 ( t

4、tad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20axyoa2,0)(, ,)(c设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2a所求曲边扇形的面积为d)(212a 对应 从 0 变解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20a22a331022334a到 2 所围图形面积 . 2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)

5、0()cos1 (aar2221aa22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2定义定义: 若在弧 ab 上任意作内接折线 ,0m1imimnmabyox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 ab 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iimm1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.ni 10lims则称sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs)()()(ttytx弧长元素(弧微分

6、) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22

7、ta02a8xyoa2设所给立体垂直于x 轴的截面面积为a(x), ,)(baxa在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxavd)(d因此所求立体体积为xxavbad)(xabxxxd)(xa上连续,xyoabxyoab)(xfy 2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbxav 当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddycv xxoy)(yxcdya2柱壳体积xxxdy也可按柱壳法求出yvyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxvayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td

8、02并与底面交成 角,222ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xrxa)(rxrrxxrv022dtan)(2123231tan2xxr0rtan323r利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .orxyxxyoab设平面光滑曲线, ,)(1bacxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsysd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfsbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsysd2d侧

9、面积元素xyd2sddx2dy x的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积s 的 )(2ttttd)()(22s侧面积为xryo上绕在,21222rrxxxryxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 s .解解: 对曲线弧,2122xxxxry应用公式得212xxs22xr 2 122xrxxd21d2xxxr)(212xxr当球台高 h2r 时, 得球的表面积公式24rs1x2xozyx一周所得的旋转体的表面积 s .解解: 利用对称性2022sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cos1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角