多面体与球的内切和外接常见类型归纳

1、多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：一正四面体与球cbdaosef如图所示，设正四面体的棱长为a，r为内切球的半径，r为外接球的半径。则高se=a,斜高sd=a，oe=r=se-so，又sd=bd,bd=se-oe,则在 r=。r=so=ob=特征分析：1 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。2 r=3r. r= r=。此结论可以记忆。例题一。1、一个四面体的所有

2、棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）分析：借助结论，r=,所以s=4=3。2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）分析：借助r=3r，答案为9：1。二、特殊三棱锥与球sacobocbas四个面都是直角三角形的三棱锥。sa因为saac，sbbc，球心落在sc的中点处。所以r=。三正方体与球。1正方体的外接球即正方体的8个定点都在球面上。aob关键找出截面图:abcd为正方体的体对角面。设正方体的边长为a，则ab=a，bd=2r，ad=a，dcr=a。dc2 正方体的内切球。bdca（1）与正方体的各面相切。如图：abcd为正方体的平行侧面的正方形。r

3、=adbc（2）与正方体的各棱相切。如图：大圆是正方形abcd的外接圆。ab=cd=a，r=a。3 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则r=，s=12。2一个球与棱长为1 的正方体的12条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。r=1=v=3将棱长为1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都

4、相切。r=，v=。4p、a、b、c、是球o面上的四个点，pa、pb、pc两两垂直，且pa=pb=pc=1，则球的体积是 解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以r=，v=。四、正棱柱与球 bacc1a11b1d11do1正三棱柱外接球。如图所示：过a点作ad垂直bc,d为三角形abc的中心，d1同样得到。则球心o必落在dd1的中点上。利用三角形oad为直角三角形，oa=r,可求出r.2.正四棱柱外接球。道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。例题：1。已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 cbado解析：如上图，oa=,od=，ad=，可求a6，v=54.2. 正四棱柱abcd-a1b1c1d1的各个顶点都在半径为r的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 解析：截面如图：abcd为正四棱柱的体对角面od=r，设ad=a，底面正方形的边长为b，则有dc=b，则r2=（a/2）2+（b/2）2，s=4ba=。五、长方体与球cbado1长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。2在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。例题：一个三