一元二次方程的根的分布

1、第八节第八节 二二 次次 函函 数数2.掌握二次函数的最值及性质；掌握二次函数的最值及性质；考纲要求考纲要求1.理解二次函数的概念及图像的特征；理解二次函数的概念及图像的特征；1 1二次函数的三种表示形式二次函数的三种表示形式 一般式：一般式： 顶点式：顶点式： , 其中其中 为为抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标 两根式：两根式： ， 其中其中 是抛是抛物线与物线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标yax2bxc(a0)ya(xx1)(xx2)x1，x2ya(xh)2k k(a0) (h，k k)解析式解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a000)的图象的图象方程方程ax2

2、bxc0(a0)的解的解 无解无解ax2bxc0(a0)的解集的解集 . .rax2bxc0)的解集的解集x|x1xx2 . . . . 3.3.三个二次的关系三个二次的关系xx2xx1 x1x2x0 x|xx2x|xx0 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布考虑：考虑：a0的一元二次方程，当二次项的一元二次方程，当二次项系数小于系数小于0时，先化为正。时，先化为正。强调：把一元二次方程化为强调：把一元二次方程化为标准形式标准形式： ax2+bx+c=0 (a0)一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布1：零分布：零分布 （1）有两正根）有两正根 （2）有两负根）有两负根 （3）一正一负）

3、一正一负一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布2：k分布分布 （1）有两个大于）有两个大于k的根的根 （2）有两个小于）有两个小于k的根的根 （3）一个大于）一个大于k，一个小于，一个小于k （4）有一个根在区间）有一个根在区间(k1,k2)内内 （5）区间）区间(k1,k2)内有两个根内有两个根210(0).axbxca结论一元二次方程有两个正根000421212acxxabxxacb24002(0)0bacbafc 方程根的零分布情形：10021xxxy02ab1x2x0ao0c0220(0).axbxca结论一元二次方程有两个负根000421212acxxabxxacb240(0)00

4、2bacfcba xy1x2x0ao0c002ab0021xx230(0).axbxca结论一元二次方程 有两异号根0040021221acxxacbxx0(0)0afcxy1x2x0ao0c0 xy1x2x0ao02abxy1x2x0ao02ab240(0).axbxca结论一元二次方程 有一根为零一根非零0, 021xx0, 021xx210(0).axbxcak结论一元二次方程 有两个大于的根0)(00421212kxkxkxkxacb0)(2042kfkabacb分布方程根的情形k：2xyk2ab1x2x0ao0kkxkx21xy02k kab1x2x0ao0k220(0).axbxc

5、ak结论一元二次方程 有两个小于的根0)(0)()(042121221kxkxkxkxacbkxkx0)(2042kfkabacb分布方程根的情形k：2xy02ab1x2x0ao0k0)(kfxy1x2x0aok21230(0),.axbxcaxkx结论一元二次方程 有两个根 且0( )0af kxy1x2x0ao1k2k0)(1kf0)(2kf212111240(0)( ,).axbxcak kxkxk结论一元二次方程在区间内有且只有一根即0)()(21kfkfxy1x2x0ao1k2k0)(1kf0)(2kfabx22211kxxk2121220)(0)(04kabkkfkfacb240(

6、0)axbxca结论一元二次方程的根满足命题方向命题方向1 二次方程根的分布二次方程根的分布例题例题1 二次函数二次函数 ，设，设 的两个的两个实根实根 . (1)如果如果 )0( 1)(2abxaxxfxxf)(21,xx的值；，求且axxb2|212解：解：(1) 当当 时，时，2b)0( 1)(2abxaxxf方程方程为xxf)(012 xax2|12xx4212）（xx4421212xxxx）（axxaxx1,12121由韦达定理可知，01442 aa代入上式可得221,221aa解得：（舍去）（舍去）42)0(01) 1()2(212xxaxbax的两根满足1) 1()(2xbaxx

7、g设0)4(0)2(gg01) 1(41601) 1(24baba即41412ba02ba0)(xxxf的对称轴为函数又120abx4221xx)(xf0 xx 10 x（2）如果）如果 ，设函数，设函数 图像的对称轴为图像的对称轴为 ，求证：，求证：例例2 已知函数已知函数 的图像经过的图像经过两点两点,如图所示如图所示,且函数且函数 的值域为的值域为0,9,过动点过动点 作作 轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为a，连线，连线op.6 , 0,)(2xcbxaxxf)0 , 6()0 , 0(和)(xf)(,(tftpxxyaop(1)求函数求函数 的解析式；的解析式；)(xf(2)记记 的面

8、积为的面积为s，求，求s的最大值；的最大值；oap解：由已知及图像可得函数解：由已知及图像可得函数 的对称轴的对称轴 ,顶点顶点(3,9) )(xf3x6944320)0(2abacabf0, 6, 1cba6 , 0,6)(2xxxxf故|21)()2(apoats)6(212ttt）（ 6 , 0t2236)(tttst（0,4）4（4,6）（ts）（ts0极大值由上表可得当由上表可得当 时，三角形面积取得最大值时，三角形面积取得最大值.4t即即16)446(421)4()(2max sts)4(23tt命题方向命题方向2 与二次函数有关的综合问题与二次函数有关的综合问题命题方向命题方向3

9、 数学思想方法在二次函数最值中应用数学思想方法在二次函数最值中应用例例3 已知已知 ，求，求 的最小值的最小值.) 10(2)(2xxaxxf)(xfxxfa2)(0) 1 ( 时，当解：上递减，在 1 , 02) 1 ()(minfxf,2)(,022的图像开口向上时）当（xaxxfa.1ax 且对称轴为，即当1, 11aa, 1 , 02)(2内的图像对称轴在xaxxfaaaafxf121)1()(min，即当10, 11aa, 1 , 02)(2右侧的图像对称轴在xaxxf, 1 , 0)(递减在xf2) 1 ()(minafxf的图像开口向下，时，）当（xaxxfa2)(032轴的左侧

10、，在且对称轴yax, 01上递减，在 1 , 02)(2xaxxf2) 1 ()(minafxf1,11, 2)(minaaaaxf综上所述1.二次函数的性质二次函数的性质(1)定义在r上的二次函数f(x)与x轴有两个交点(-1,0),(2,0),若f(0)0，则f(x)有最_值(填“大”或“小”).(2)若f(x)=ax2+bx+2b0的解集为(-1,2)，则实数b的取值范围是_.(3)已知二次函数f(x)的二次项系数为1，且满足f(1-x)=f(1+x),f(2)=-1，则f(x)=_.(4)若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数，则f(x)的单调递增区间为_.大0,221xx,02.二次方程根的分布二次方程根的分布(1)函数f(x)=-x2+2ax+2-a，若f(x)=0在-1,1上的根只有一个，则a应满足的条件是_.(2)函数f(x)=x2-x-3的图象被x轴截得的弦长是_.(3)设f(x)=x2+px+q，且f(1)=f(2)=0，则f(x)0的解集为_.(4)若关于x的方程ax2+x+a+1=0有一个负实数根，则实数a的取值范围是_.11/3aa