选修41第二讲直线与圆的位置关系

1、选修选修4-1几何证明选讲几何证明选讲第二讲直线与圆的位置关系第二讲直线与圆的位置关系一一.圆周角定理圆周角定理圆周角定理圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。圆心角的一半。已知已知 在在 o中，中，bc所对的圆周角和圆心角分别是所对的圆周角和圆心角分别是bac, boc. 求证求证：bac= boc. 21abocaboc(1)(2)aboc(3)aboc(1)aboc(2)aboc(3)(1)圆心圆心o在在bac的一条边上的一条边上.oa=oc, c =bac boc =c +bacbac=boc.(2)圆心圆心o在在bac的内部的

2、内部.作直径作直径ad.由由(1)有有bad=bod,dac=docbad+dac= =(bod+doc)bac=boc.(3)圆心圆心o在在bac的外部的外部.作直径作直径ad.由由(1)有有dab=dob,dac=docdac-dab= =(doc-dob)bac=boc. 一个周角是一个周角是360.把圆周等分成把圆周等分成360份，每份，每一份叫做一份叫做1的弧的弧. 1的弧的弧是指任何一个圆来说的是指任何一个圆来说的,跟圆的半径的跟圆的半径的大小无关大小无关. 如图如图, aob=90,所以所以ab是是90的弧的弧,a b b 也也是是90.都是周角的四分之一都是周角的四分之一.但但

3、ab并不等于并不等于a b b , ,因为它们所在圆因为它们所在圆的半径不等的半径不等. .故故相等的弧相等的弧和和相等度数的相等度数的弧弧意义是意义是不同不同的的. .圆心角定理圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。推论推论1 同弧同弧或或等弧等弧所对的圆周角相等所对的圆周角相等; 同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等.推论推论2 半半 圆圆(或直径或直径)所对的圆周角是直角所对的圆周角是直角; 90的的圆周角所对的弦是直径圆周角所对的弦是直径. 同圆或等圆中同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等相等的弧所对

4、的圆心角相等,所对的圆周角也相等所对的圆周角也相等.例例1 如图如图,ad是是abc的高的高,ae是是abc的外接圆直径的外接圆直径.求证求证:abac=aead. 证明证明:连接连接be.,900ecabeadc.abadaeacabac=aead.,abeadcabcedo例例2 如图如图,ab与与cd相交于圆内一点相交于圆内一点p. 求证求证:ad的度数与的度数与bc的度数和的一的度数和的一 半等于半等于apd的度数的度数.dacbpe证明证明:过点过点c作作ce/ab交圆于点交圆于点e,则有则有.capdae=bc, ( ? )dae=da+ae=ad+bc, 又又dce的度数等于的度

5、数等于dae的一半的一半 apd的度数等于的度数等于ad的度数与的度数与bc的度数和的一半的度数和的一半.abe=bec习题习题2.1(p26)1.如图如图,oa是是 o的半径的半径,以以oa为直径的为直径的 c 与与 o的弦的弦ab交于点交于点d,求证求证:d是是ab的中点的中点.2.如图如图,圆的直径圆的直径ab=13cm,c为圆上一点为圆上一点,cdab,垂足垂足d,且且cd=6cm.求求ad的长的长.3.如图如图,bc是是 o的直径的直径, adbc,垂足垂足d.ab=af,bf和和ad相交于相交于e.求证求证:ae=be.abdocacbdobcadef(第第1题题)(第第2题题)(

6、第第3题题)e圆内接多边形圆内接多边形-所有顶点都在一个圆上的多边形所有顶点都在一个圆上的多边形.这个圆称这个圆称多边形的外接圆多边形的外接圆.思考思考: 任意三角形都有外接圆任意三角形都有外接圆.那么那么 任意正方形有外接圆吗任意正方形有外接圆吗?为什么为什么? 任意矩形有外接圆吗任意矩形有外接圆吗? 等腰梯形呢等腰梯形呢? 一般地一般地, 任意四边形都有外接圆吗任意四边形都有外接圆吗?abcdoabcdadbcdabc如果一个四边形内接于圆如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征那么它有何特征?dabc如图（如图（1）连接oa,oc.则b= . d=212103600018036021db0

7、180:ca同理可得定理定理1 圆内接多边形的对角互补圆内接多边形的对角互补将线段将线段ab延长到点延长到点e,得到图（得到图（2）（1）dabce（2）.1800ebcabc由于.1800dabc而.debc定理定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。假设假设：四边形：四边形abcd中，中，b+d=180求证求证：a,b,c,d在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.cabdeoabcdeo证明：证明：(1)如果点如果点d在在 o外部。则外部。则（1）（2）aec+b=180因因b+d=180得得 d=aec与与“三角形外角大于任

8、意三角形外角大于任意不相邻的内角不相邻的内角”矛盾。故点矛盾。故点d不可能在圆外。不可能在圆外。(2)如果点如果点d在在 o内部。则内部。则b+e=180b+adc=180e=adc同样矛盾。同样矛盾。点点d不可能在不可能在 o内。内。综上所述，点综上所述，点d只能在圆周上，四点共圆。只能在圆周上，四点共圆。圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种通过对每一种情形分别论证情形分别论证,最后获证结论的方法最后获证结论的方法-穷举法穷举法

9、推论推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. dabce例例1 如图，如图， 都经过都经过a,b两点。经过点两点。经过点a的的直线直线cd与与 交于点交于点c,与与 交与点经过点交与点经过点b的直的直线线ef与与 交于点交于点e,与与 交与点交与点f.12oo与与1o2o1o2oacdebf1o2o证明证明：连接：连接abbad=e. bad+f=180 e+f=180 ce/df . 求证：求证：ce/df.四边形四边形abec是是 的内的内接四边形。接四边形。 1o四边形四边形adfb是是 的内的内接四

10、边形。接四边形。 2o例例2 如图，如图，cf是是abc的的ab边上的高，边上的高，fpbc,fqac.求证求证：a,b,p,q四点共圆四点共圆afbpqc证明：连接证明：连接pq。在四边形在四边形qfpc中，中，fpbc fqac.fqa=fpc=90.q,f,p,c四点共圆。四点共圆。qfc=qpc.又又cfab qfc与与qfa互余互余.而而a与与qfa也互余也互余.a=qfc.a=qpc.a,b,p,q四点共圆四点共圆习题习题2.21.ad,be是是abc的两条高，的两条高，求证：求证：ced=abc.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同求证：对角线互相垂直的四边形中，各边

11、中点在同一个圆周上。一个圆周上。cabedo3.如图，已知四边形如图，已知四边形abcd内接于圆，延长内接于圆，延长ab和和dc相相交于交于e,eg平分平分e,且与且与bc,ad分别相交于分别相交于f,g. 求证：求证： cfg=dgf.abefgdc圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系:相交相交-有两个公共点有两个公共点相切相切-只有一个公共点只有一个公共点相离相离-没有公共点没有公共点切线的性质定理切线的性质定理:ol切线的性质定理切线的性质定理逆命题是否成立逆命题是否成立?m反反证证法法推论推论1: 经过经过圆心圆心且垂直于切线的直线必经过且垂直于切线的直线必经过切点切点.推论推论2:

12、经过经过切点切点且垂直于切线的直线必经过且垂直于切线的直线必经过圆心圆心.这与线圆相切矛盾这与线圆相切矛盾.思考思考:圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直假设不垂直,l作作om因因“垂线段最短垂线段最短”,故故oaom,即圆心到直线距离小于半径即圆心到直线距离小于半径.a切线的判定定理切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.aolb直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于a的点b.连ob.则在rtabo中oboa=r故b在圆外例例1 如图如图,ab是是 o的直径的直径, o过过bc的

13、中点的中点d,deac.求证求证:de是是 o是切线是切线.证明证明:连接连接od. bd=cd,oa=ob,od是是abc的中位线的中位线,od/ac.又又 deacdec=90ode=90又又d在圆周上在圆周上,de是是 o是切线是切线.aobdce例例2 如图如图. ab为为 o的直径的直径,c为为 o上一点上一点,ad和和过过c点的切线互相垂直点的切线互相垂直,垂足为垂足为d.求证求证:ac平分平分dab.abocd证明证明:连接连接oc, occd.又又adcd,oc/ad.由此得由此得 aco=cad.oc=oa. cao=aco. cad=cao.故故ac平分平分dab.cd是是

14、 o的切线的切线,习题习题2.31.如图如图,abc为等腰三角形为等腰三角形,o是底边是底边bc的中点的中点, o与腰与腰ab相切于点相切于点d.abocd求证求证:ac与与 o相切相切.e2.已知已知:oa和和ob是是 o的半径的半径,并且并且oaob,p是是oa上任意一点上任意一点,bp的延长线交的延长线交 o于于q.过过q作作 o的切的切线交线交oa的的延长线于延长线于r,.求证求证:rp=rqboparqaqo= apq3.ab是是 o的直径的直径,bc是是 o的切线的切线,切点为切点为b,oc平行于弦平行于弦ad.求证求证:dc是是 o的切线的切线.aobcd1324cod与cob全

15、等思考思考:当当p由圆内移动到圆外是由圆内移动到圆外是,有何结论有何结论?bc与与ad的度数差的一半等于的度数差的一半等于apd的度数的度数.dacbpad的度数与的度数与bc的度数和的一半等于的度数和的一半等于apd的度数的度数.dacbpeab与与cd相交于圆内一点相交于圆内一点p.证明证明: acd= ad21 p= bac- acp即即apd的度数等于的度数等于 bc与与ad度数的一半度数的一半.圆内角定理圆内角定理:且且bac= p+ acpcab= bc21在图（）中，根据圆内接四边形性质，在图（）中，根据圆内接四边形性质， 有有在图（）中，是切线时，在图（）中，是切线时， 仍成立

16、吗？仍成立吗？（）（）（）（）（）（）猜想：猜想：abc是是 o的内接三角形，的内接三角形，ce是是 o的切线，则的切线，则bce= a.分析：延用从特殊到一般的思路。先分析分析：延用从特殊到一般的思路。先分析abc为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。角三角形的情形化归为直角三角形的情形。ocococ(1)圆心o在 abc的边bc上证明证明: :即即abc为直角三角形为直角三角形abocece为切线，为切线， bce90 又又a是半圆是半圆上的圆周角，上的圆周角， a90 bcea(2)圆心圆心o在在abc的内部

17、的内部作作oo的直径的直径cp,cp,则则ocppce= pac= 90 bce= pce-pcb= 90-pcb.bac= pac-pab= 90-pab.而而pab= pcbbce= bac(3)圆心圆心0在在abc的外部的外部,作作oo的直径的直径cp,cp,那么那么 ocppce= pac= 90 bce= pce+pcb = 90+pcb.bac= pac+pab = 90+pab.而而pab= pcbbce= bac综上所述，综上所述，猜想成立。猜想成立。aaaaabbbbbccccc下面五个图中的下面五个图中的bac是不是弦切角？是不是弦切角？1.弦切角弦切角:顶点在圆上，一边与

18、圆相交，顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。另一边与圆相切的角叫做弦切角。几何语言几何语言: ba切切 o于于aac是圆是圆o的弦的弦2.弦切角定理弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。dbac= adcm例例1.如图已知如图已知ab是是 o的直径的直径,ac是弦是弦,直线直线ce和和 o切于点切于点c,adce,垂足为垂足为d.求证求证:ac平分平分bad.oabcde12思路一思路一:思路二思路二: 连结连结oc,由切线性质由切线性质,可得可得ocad,于是有于是有2=3,又由于又由于1=3,可可证得证得1=2oabcde3121

19、.弦切角弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，顶点在圆上，一边与圆相交， 另一边与圆相切的角。另一边与圆相切的角。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们角都是通过它们所夹的（或所对的）同一所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知联系起来，因此，当已知有切线有切线时时常添线构建弦切角常添线构建弦切角或或添切点添切点处的半径处的半径应用切线的性质求解。应用切线的性质求解。 2.弦切角定理弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.小结：小结：注意：注意：习题习题2.41.如图，经过圆上的点如图，

20、经过圆上的点t的切线和弦的切线和弦ab的延的延长线相交于点长线相交于点c。求证：求证：atc=tbc2.如图，如图， o和和 o都经过都经过a,b两点，两点，ac是是 o的切线，交的切线，交 o于点于点c,ad是是 o的切线，交的切线，交 o于点于点d,求证：求证：ab=bcbdactbbacood探究探究1:ab是直径是直径,cdab交点交点p.线段线段pa,pb,pc,pd之间有何关系之间有何关系?papb=pcpd1.相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦，被圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。交点分成的两条线段长的积相等。acbpdocabpdoacbpdoa(c.p)b

21、d探究探究2:把两条相交弦的交点把两条相交弦的交点p从圆内从圆内 运动到圆上运动到圆上.再到圆外，再到圆外，结论结论 是否还能成立是否还能成立?papb=pcpdp在圆外:易证padpcb .pbpdpcpa故故papb=pcpdp在圆上:pa=pc=0, 仍有 papb=pcpdapcbdpac 2.割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等段长的积相等.a(b)podcpapb=pcpd探究探究3:使割线使割线pb绕绕p点运动到切线的点运动到切线的位置位置,是否还能成立是否还能成立?

22、apbodca(b)podc连接ac,ad易证pacpda 上式可变形为上式可变形为pa=pcpd3.3.切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切从圆外一点引圆的切线和割线，线和割线，切线长切线长是这点到割线与圆是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项交点的两条线段长的比例中项. .故故papb=pcpd仍成立仍成立因为因为a,b重合，重合，探究探究4:使割线使割线pd绕绕p点运动到切线的点运动到切线的位置位置,可以得出什么结论可以得出什么结论?a(b)podc易证易证rtoaprtocp. pa=pc4.4.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长条切

23、线，它们的切线长相等相等, ,圆心和圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角这一点的连线平分两条切线的夹角. .a(b)poc(d)pa=pcpd思考思考:1.由切割线定理能证明切线长定由切割线定理能证明切线长定理吗理吗?如图由如图由p向圆任作一条割线向圆任作一条割线ef试试试试.a(b)poc(d)ef思考思考:2.你能将切线长定理推广到空间你能将切线长定理推广到空间的情形吗的情形吗?o例例1.圆内的两条弦圆内的两条弦ab,cd交于圆内一点交于圆内一点p,已知已知pa=pb=4.pc= pd,求求cd的长的长. cdabp41解:设cd=x,则pd= ,pc=x54x51由相交弦定理,得papb

24、=pcpd44= 求得 x=10,x54x51cd=10例例2.e是圆内的两条弦是圆内的两条弦ab,cd的交点的交点,直线直线ef/cb,交交ad的延长线于的延长线于f,fg切切圆于圆于g.求证求证:(1)dfeefa; (2)ef=fg abcofged321effdfaefdfeefaef=fafd又又gf=fafdgf= efef=fg例例3.如图如图,两圆相交于两圆相交于a,b两点两点,p是是两圆公共弦两圆公共弦ab上的任一点上的任一点,从从p引两引两圆的切线圆的切线pc,pd.求证求证:pc=pdpabdc析：析：pc=papb又又pd=papbpc= pdpc=pd例例4.如图如图

25、,ab是是 o的直径的直径,过过a,b引引两条弦两条弦ad和和be,相交于点相交于点c,求证求证:acad+bcbe=ab.abdecof分析分析:a,f,c.e四点共圆四点共圆bcbe=bfba.f,b,d,c四点共圆四点共圆acad=afab.acad+bcbe=afab+bfba =ab(af+bf)=ab例例5.如图如图,ab,ac是是 o的切线的切线,ade是是 o的割线的割线,连接连接cd,bd,be,ce.baecod问题问题1 由上述条件能推出哪些结论由上述条件能推出哪些结论?探究探究1: acd= aecadc ace aeaccecdcdae=acce 同理同理 bdae=

26、abbe 因为因为ac=ab,由由 可得可得 becd=bdce 图图探究探究2: 猜想并可证明猜想并可证明问题问题2 在图在图(1)中中,使使线段线段ac绕绕a旋转旋转,得到图得到图(2),其中其中ec交圆于交圆于g,dc交圆于交圆于f,此时又能推出哪些此时又能推出哪些结论结论?baecod图图baecodfg图图adc ace 同样可得同样可得证明如下证明如下:baecodfg图图ab=adae,而而ab=ac,ac=adae,即即acadaeaccad= eac,(对应边成比例且夹角相等对应边成比例且夹角相等). adc ace 另一方面另一方面连接连接fg由于由于f,g,e,d四点共圆

27、四点共圆 cfg= aec,又又acf= aec, cfg= acf, fg/ac baecodfg图图问题问题3 在图在图(2)中中,使线段使线段ac继续绕继续绕a旋转旋转,使割使割线线cfd变成切线变成切线cd,得到图得到图(3),此时又能推出哪此时又能推出哪些结论些结论?baecodfg图图p探究探究3: 可以推出（可以推出（1）（6）的所有结论。）的所有结论。baecodqg图图p此外此外ac/dg.cecgaeadadce=aecg acd aecacadcecdaccd=adce 由由可得：可得：accd=aecg 连接连接bd,be,延长延长gc到到p,延长延长bd交交ac于于q,则则pcq= pgd= dbe,故故c,e,b,q四点共圆四点共圆 习题习题2.55.如图如图, o与与 o 相交与点相交与点a,b.a,b.pq是是 o的的切线切线,求证求证:pn=nmnqqnpooa