椭圆的定义及基标准方程带动画

1、生生活活中中的的椭椭圆圆思思考考数学实验数学实验 (1)取一条细绳，取一条细绳， (2)把它的两端固定在板把它的两端固定在板上的两个定点上的两个定点f1、f2 (3)用铅笔尖（用铅笔尖（p）把细）把细绳拉紧，在板上慢慢移绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的动看看画出的 图形图形1.1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？的？2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？系？f

2、 f1 1f f2 2f2f1p(1)(1)由于绳长固定，所以点由于绳长固定，所以点p p到两到两个定点的距离和是个定值个定点的距离和是个定值（2 2）点）点p p到两个定点的距离和要大到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离于两个定点之间的距离（一）椭圆的定义（一）椭圆的定义 平面内到两个定点平面内到两个定点f1，f2的距离之和等于常数的距离之和等于常数 （2a） （大于（大于|f1f2 |）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。 定点定点f1、f2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭

3、圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：amfmf221(2a2c)mf2f1小结：椭圆的定义需要注意以下几点小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.1.平面上平面上-这是大前提这是大前提2.2.动点动点m m到两定点到两定点f f1 1，f f2 2的距离之和是常数的距离之和是常数2a 2a 3.3.常数常数2a2a要大于焦距要大于焦距2c2c注意：注意：1.当当2a2c时时,轨迹是（轨迹是（ ）椭圆椭圆2.当当2a=2c时时,轨迹是一条线段轨迹是一条线段, 是以是以f1、f2为端为端 点的线段点的线段 3.当当2a0)，m与与f1和和f2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c)

4、 ，则，则f1、f2的坐的坐标分别是标分别是( c,0)、(c,0) .xf1f2m0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）122mfmfa222212(),()mfxcymfx cyaycxycx2)()(2222 得方程由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，限限制条件制条件：代代入坐标入坐标椭圆的标准方程的推导222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 22222222

5、22422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方) 0( 12222babxay012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：椭圆的标准方程1ofyx2fm1 12 2yoffmx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点f( (c，0)0)f(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系a2 2= =b2 2+c+c2 2mf1+mf2=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoffmx1ofyx2fm两类标准方程的对照表注注: : 共同

6、点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.哪个分母大，焦点就在哪个轴上。哪个分母大，焦点就在哪个轴上。练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标。2212516xy+=答：在答：在 x 轴（轴（-3，0）和（）和（3，0）221144169xy+=答：在答：在 y 轴（轴（0，-5）和（）和（0，5）222211xymm+=+答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）先定位，再定量先定位，再定量11625

7、)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？ ?2222xy1.1xa3a( )xy2.1yb9b( )方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。0b3a33、已知椭圆的方程为：、已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若cd为过为过左焦点左焦点f1的弦，则的弦，则 f2cd的周长为的周长为_1162522yx543(3,0)、(-3,0)6

8、0f1f2cd|cf1|+|cf2|=2a例例 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（4 4，0 0）、（）、（4 4，0 0），），椭圆上的一点椭圆上的一点p p到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于1010；解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x x轴上轴上 设它的标准方程为设它的标准方程为 所求的椭圆的标准方程为所求的椭圆的标准方程为22221(0)xya bab 2a=10 2a=10， c=4c=422222549bac 221259xy（2 2）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（0 0，2

9、 2）、（）、（0 0，2 2），），并且椭圆经过点并且椭圆经过点解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在y y轴上，轴上，由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，35,22 设它的标准方程为设它的标准方程为22221(0)yxabab222235352222222a2 1010a 又又 c=2c=222210 4 6bac 所求的椭圆的标准方程为所求的椭圆的标准方程为221106yx 例例2:2:如图，在圆如图，在圆解：设解：设m(x,y), p(xm(x,y), p(x0 0,y,y0 0) )00：,.2yxxy于是00（ ,)pxy22由于在x +y =4上,2200所以x +y =4.x22+4y

10、 =4,4x22即:+y =1,所以所以m m点的轨迹是一个焦点在点的轨迹是一个焦点在x x轴上的椭圆。轴上的椭圆。224xy上任取一点上任取一点p p，过，过p p作作x x轴的垂线段轴的垂线段pdpd，d d为垂足。当点为垂足。当点p p在圆上运动时，线在圆上运动时，线段段pdpd的中点的中点m m的轨迹是什么？的轨迹是什么？00,2xxyy2200把代入x +y =4中,得例例3：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是表示的曲线是焦点在焦点在y轴上的椭圆，求轴上的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。解：解：由由 4x2+ky2=1,可得可得221114xyk 因为因为方程表示的曲线是焦点在方程表示的曲线是焦点在y轴上轴上的椭圆，所以的椭圆，所以11k4即：即：k4所以所以k的取值范围为的取值范围为0k4。10,0kk又例例4 4、化简：、化简：10)3()3(2222yxyx答案：答案：1162522xy|mf1|+ |mf2|