直线的法向量和点法式方程

1、x知知 识识 回回 顾顾知知 识识 回回 顾顾什么叫方向向量什么叫方向向量 ？与一条直线平行的非零向量叫做这条与一条直线平行的非零向量叫做这条直线的方向向量直线的方向向量oyv通常用 表示知知 识识 回回 顾顾知知 识识 回回 顾顾abl1l2与一条直线与一条直线 平行平行 的非零向量叫做这的非零向量叫做这条直线的方向向量条直线的方向向量思考：思考：1、一条直线的法向量是唯一的吗？、一条直线的法向量是唯一的吗？2、这些法向量的位置关系是怎样的？、这些法向量的位置关系是怎样的？概概 念念 形形 成成垂直垂直法法概概 念念 形形 成成3、同一条直线的方向向量、同一条直线的方向向量 和和 法向量法向

2、量 的位置关系是怎样的？的位置关系是怎样的？vnn通常用 表示问问 题题 探探 究究问问 题题 探探 究究直线 的一个法向量n=(a,b),则直线 的一个方向向量v如何表示？( ,)bav( , )vx y设方向向量nv0axbyxbya 整 理 得(, )b a 或v1212两向量a(a ,a ), b (b ,b )垂直的充要条件是01122a b +a b口口 答答 练练 习习口口 答答 练练 习习nv(2,3)( 4,5)口口 答答 练练 习习口口 答答 练练 习习xyo 画出符合要求的直线画出符合要求的直线 图图1p01、经过点、经过点p0 xy 画出符合要求的直线画出符合要求的直线

3、图图2non2、垂直于非零向量、垂直于非零向量xyo 画出符合要求的直线画出符合要求的直线 图图3np0n3、既经过点、既经过点p0又垂直于非零向量又垂直于非零向量公公 式式 推推 导导公公 式式 推推 导导,na bxyo p0(x0 , y0)000已知直线经过点p(x ,y )，一个法向量n=(a,b)，求直线的方程l熟熟 记记 公公 式式 ,na bxyo p0(x0 , y0)直直 线线 的的 点点 法法 式式 方方 程程000直线经过点p(x ,y )，一个法向量n=(a,b)，则直线的点法式方程a(x-x0)+b(y-y0)=0 熟熟 记记 公公 式式 la(x-x0)+b(y-

4、y0)=0n熟熟 记记 公公 式式 熟熟 记记 公公 式式 2(x+3)-4(y 2(x+3)-4(y5)=05)=00(3,5)p(2,4)n 0( 3,5)p (2, 4)n -2(x-3)- -2(x-3)- 4(y+5)=04(y+5)=00(3, 5)p( 2, 4)n lll 根据直线根据直线 的方程，写出直线的方程，写出直线 经过的一个经过的一个已知点已知点p p0 0和直线和直线 的一个法向量的一个法向量 的坐标的坐标. . 2(x-3)+4(y-5)=0 2(x-3)+4(y-5)=0 学学 以以 致致 用用a(x-x0)+b(y-y0)=0例例1：求过点求过点p(1, 2)

5、,且一个法向量为且一个法向量为n=(3,4)的直线方程。的直线方程。（x x0 0 , y , y0 0）（a,ba,b）解：代入直线的点法式方程解：代入直线的点法式方程, 得得3 (x-1)+ 4(y-2) =0整理得整理得3x+ 4y-11 =0练习练习1. 求过点求过点p，且一个法向量为，且一个法向量为 的直线方程的直线方程.(1)p(1，2)， =(3，4) (2) = (3,2), p(1，5)，nnn学学 以以 致致 用用例例2：已知点已知点a(3,2)和点和点b(-1,-4)求线段求线段ab的垂直平分线方程。的垂直平分线方程。abc分析：分析：用用 式求直线方程式求直线方程点点

6、法法点点cab 法向量1212,22xxyy2121,xx yy学学 以以 致致 用用学学 以以 致致 用用中点坐标公式中点坐标公式解：中点c的坐标24,23-12, 11ab 法向量1 342 ，46 ，-4 (x-1)-6(y+1) =02x+3y+1 =0整理得oyxl代入直线的点法式方程, 得练习：练习：已知点已知点a( ？, ？)和点和点b( ？, ？)求线段求线段ab的垂直平分线方程。的垂直平分线方程。学学 以以 致致 用用学学 以以 致致 用用反反 思思 小小 结结2 2、掌握一个方程掌握一个方程 1 1、理解一个概念理解一个概念a( x - x0 ) +b( y - y0 )=

7、0 与直线垂直的非零向量与直线垂直的非零向量反反 思思 小小 结结3 3、利用直线的点法式方程可以解决、利用直线的点法式方程可以解决（1 1）已知直线上一点和直线的法向量）已知直线上一点和直线的法向量（2 2）求线段的垂直平分线方程）求线段的垂直平分线方程（3 3）求三角形一边的高线所在直线方程）求三角形一边的高线所在直线方程直线的法向量直线的法向量直线的点法式方程直线的点法式方程布布 置置 作作 业业补充（附加）补充（附加）三角形三角形abc,a(1,-3),b(-2,4),c(0，-2)求（求（1）bc边中垂线方程边中垂线方程（2） bc边边高线方程高线方程（3 3）bc边中线方程边中线方

8、程abcde 必做：必做：p86 p86 练习练习4 4、5 5、6 6布布 置置 作作 业业敬请指导敬请指导敬请指导敬请指导公公 式式 推推 导导公公 式式 推推 导导p(x, y)垂直垂直(x-x0 , y-y0 )a(x-x0)+b (y-y0)=0 ,na bpp0pp0pp0 xyo p0(x0 , y0)直直 线线 的的 点点 法法 式式 方方 程程 (1)向量向量 的坐标为：的坐标为： , (2) 与与n=(a,b)的位置关系的位置关系是：是： , (3) 与与n 垂直的充要条件是：垂直的充要条件是： ,公公 式式 推推 导导公公 式式 推推 导导即即a a( (x-xx-x0 0)+