欧几里得空间习题课

1、1基本内容例题选讲基本解题方法2一、基本内容一、基本内容首页 上页 下页 返回 结束 1. 基本概念(1) 内积与欧氏空间概念(4个条件)(2) 向量的长度、距离与夹角|( ,) ( ,) |d ( ,),arccos, 0,.| 长度：距离：夹角：3(4) 标准正交基由两两正交的单位向量组成的基.1212,( ,)0,vvvv 恒恒有有(5) 正交子空间11,( ,)0,vv 恒恒有有|( ,)0 wwvwvww 的的正正交交补补：且且(6) 欧氏空间的同构同构映射保持运算(加法、数乘、内积)首页 上页 下页 返回 结束 4首页 上页 下页 返回 结束 2. 基本性质设v为欧氏空间,对于v的

2、内积,有:(1) ,( ,)00.v 对对于于1111(2) (,)(,).ststiijjijijijijklk l 2(3) ( ,)( ,)( ,).|( ,)| | .,. 即即 等等号号成成立立线线性性相相关关关于标准正交基, 有:(4) 正交向量组是线性无关的.5首页 上页 下页 返回 结束 12(5) ,1, (,) ( ,1,2, )0, nijiji jnij 是是标标准准正正交交基基的的当当当当3. 标准正交基下基本度量的表达式1211, , ,nnniiiiiivxy设设是是欧欧氏氏空空间间 的的一一个个标标准准正正交交基基12,.n 即即: :是是标标准准正正交交基基的

3、的是是它它的的度度量量矩矩阵阵是是单单位位矩矩阵阵则则6首页 上页 下页 返回 结束 5. 正交变换与正交矩阵1212. : 1) ,( ( ),( )( ,); 2) ,|( )| |; 3) ,(),(),(); 4) nnnvvvvv 设设 是是 维维欧欧氏氏空空间间 的的一一个个线线性性变变换换是是正正交交变变换换的的刻刻化化对对对对都都有有设设是是 的的标标准准正正交交基基是是正正交交变变换换也也是是 的的标标准准正正交交基基是是正正交交变变换换在在任任意意标标准准正正 交交基基下下的的.矩矩阵阵是是正正交交阵阵7.naa ae 级级实实数数矩矩阵阵 是是正正交交矩矩阵阵标准正交基到

4、标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;11221122(),1, ,0, .1, 0, ijijijninjijijinjnaaaija aa aa aijija aa aa aij 设设则则 是是正正交交矩矩阵阵当当当当 .naar是是正正交交矩矩阵阵的的列列向向量量组组和和行行向向量量组组都都构构成成 的的标标准准正正交交基基首页 上页 下页 返回 结束 8首页 上页 下页 返回 结束 6. 对称变换与对称矩阵. : 1) ,( ( ),)( ,( ); 2) .nvv 设设 是是 维维欧欧氏氏空空间间 的的一一个个线线性性变变换换是是对对称称变变换换的的刻刻化化对对是是对对称称变变换换在在标标

5、准准正正交交基基下下的的矩矩阵阵是是对对 称称矩矩阵阵 (2) 实对称矩阵的特征值都是实数.(1) 对称变换的特征值都是实数.主要结论:9 (3) .对对称称变变换换的的属属于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量必必正正交交 (4) .对对称称变变换换的的属属于于不不同同特特征征值值的的特特征征子子空空间间必必正正交交(5) ,.nara 设设 是是实实对对称称矩矩阵阵 则则中中属属于于 的的不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量必必正正交交1 (7) , .nantt attat 对对 级级实实对对称称阵阵都都存存在在 级级正正交交矩矩阵阵 ，使使为为对对角角阵阵(6) , 设设 是

6、是对对称称变变换换 则则存存在在标标准准正正交交基基 使使在在这这个个基基下下的的矩矩阵阵是是对对角角矩矩阵阵. .首页 上页 下页 返回 结束 10二、基本解题方法二、基本解题方法首页 上页 下页 返回 结束 2. 学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念. 内积实际上是定义在线性空间v上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性. 1. 欧氏空间是一个实数域上的线性空间, 对于线性空间的一些基本概念,比如向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用. 注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.11 3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度量性质显得较为简单. 4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再单位化(即正交化与单位化分开进行).也可