初一暑假小班北师旧版(7)—平面几何

1、方信教育 方信教育小班教学教案 Lanzhou Fangxin Century Education Technology Ltd.小班教学辅导教案年级：初一 学科：数学 任课教师：李兆桓 授课时间：2011年8月1日(星期一)姓名性别学校总课时13第7课教学课题线段、射线、直线、角，直线的平行与垂直，尺规作图教学目标知识点：线段、射线、直线、角、余角与补角，直线的平行与垂直，直线平行的判定与性质，尺规作图考点：线段、射线、直线、角；平行、垂直；余角与补角；直线平行的判定与性质；尺规作图能力：掌握直线、射线、线段的概念及关系，掌握角的表示及度量以及角平分线，余角与补角概念与性质，掌握平行线的判定

2、定理与性质定理，掌握尺规作图的基本作图及一般步骤方法：知识点归纳，习题讲解难点重点重点：线段、射线、直线、角、余角与补角，直线的平行与垂直，直线平行的判定与性质，尺规作图难点：线段、射线、直线，角、余角与补角，直线平行的判定与性质，尺规作图的方法与技巧课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_一、线段、直线、射线1. 线段：直线上不同的两点和这两点之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。线段可以用表示两个端点的大写字母来表示，如，可以表示为线段AB，其中A，B是线段的两个端点；也可以用一个小写字母来表示，如线段；线段的性质：两点之间，线段最短；这是说平面内任意两个点之间的所有连线中，线段

3、最短。两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离。如果线段上有一点把一条线段分成两条相等的线段，那么该点叫做线段的中点。如图：，线段AB上一点M，如果有AMBM，则点M为线段AB的中点。此时有AMBMAB。这里的相等是指线段的长度间的等量关系。例1.已知如图（1），点A，B在直线的两侧，在直线上求一点P，使得PA+PB最小 图（1） 图（2）解析：根据两点之间，直线段最短的定理，要求一点P使PAPB最小，连接A、B两点与直线的交点就是所求点P如图（2）。例2. 如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段

4、AB上有5个点时，线段总数共有10条， （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？解析：当线段上的3个点时，共有3条线段：3；当有4个点时，共有6条线段：6，当有5个点时，共有10条线段：10如此可推出当线段上有n个点时，共有条线段。解：（1）当线段上有6个点时，线段总数为：15； （2）当线段上有n个点时，线段总数为：。举一反三：1. 如图，AB8cm，CB5cm，D是AC的中点，求DC的长。2.如图，直线m的同侧有两点A、B，在直线上找一点C，使ACBC最短。3. 往返于A、B两地的客车，中途必须停靠C、D、E三个站点，根据你所学的

5、知识回答：（1）需要制定多少种不同的票价？ （2）需要设计多少种不同的车票？ 2. 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。射线有一个端点，只向不是端点的那一方向无限延伸。射线可以用表示射线的端点和射线上不同于端点的任意一点的大写字母来表示，如：，可以表示为射线AB，其中A是射线的端点，B是表示射线上不同于端点的任意一点的大写字母；也可以用一个小写字母来表示，如射线；射线是直线的一部分，把射线反向延长后就得到一条直线，直线上一点把这条直线分成两条射线。3. 直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线；直线没有端点、可以向两端无限延伸、是不可测量长度的。直线可以用直线上任意表示不同两点的大写字母

6、来表示，如：，可以表示为直线AB，其中A，B是表示直线上表示不同的两点的字母；也可以用一个小写字母来表示，如直线；直线的性质：过两点有且只有一条直线，也就是说两点确定一条直线。小结：直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能测量长度，也不能比较大小；射线有一个端点，可以向一方无限延伸，也不能测量长度，不能比较大小；线段有两个端点，有长度，可以测量也可以比较大小。例3.如图，A、B、C、D是不在同一条直线上的四个点，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线？ 解析：过A点可以画出三条通过其他三点的直线，过B点也可以画出三条通过其他三点的直线，过C点也可以画出三条通过其他三点的直线，过D点也可以画

7、出三条通过其他三点的直线。这样，一共得到3412条直线，但其中每条直线都重复过一次，所以再除以2，因此，图中一共有6条直线。解：如图，一共有6条直线。举一反三：1.关于直线，射线，线段的描述正确的是（ ）A. 直线最长，线段最短 B. 直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点C. 射线是直线长度的一半 D. 直线、射线及线段的长度都不确定。2. 如图，下列说法中正确说法的个数是（ ）直线AB和直线BA是同一条直线 射线AB与射线BA是同一条射线线段AB和线段BA是同一条线段 图中有两条射线A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.过两点有且只有一条直线，过三点最多有三条直线，过四点最多有

8、6条直线，那么：（1）过5点最多有多少条直线？ （2）过6点最多有多少条直线？（3）探索过n点最多有多少条直线？二、角、余角与补角1.角：同一平面内，有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。这个公共顶点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角的定义也可以定义为：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。角有两个要素：有公共端点的两条射线，也就是组成角的两边；角的顶点，也就是两条射线的公共端点。2. 角的表示：角可以用三个大写的字母来表示，如AOB，其中O是角的顶点，A，B是角的两边上的任一点，表示的时候要将顶点的字母写在中间；也可以用一个大写字母来表示，如A，用这种方法表示

9、的时候，一定要注意角的顶点处只有一个角，如果有多个角，就不能用这种方法表示，否则容易引起混淆；也可以用一个数字或希腊字母来表示，如1，2，等。3. 角的分类：按角大小可以分为：锐角：大于0小于90的角；直角：等于90的角；钝角：大于90小于180的角。平角：一条射线绕着它的端点旋转，当终止位置和起始位置在同一条直线上时，所成的角叫平角。周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终止位置又回到起始位置，也就是重合时，所成的角叫周角。平角是180，周角是360.4. 角的度量：角可以用量角器来度量，度量单位是：度（）、分（）、秒（）；度量单位之间的换算关系是：1=60，1=60（即1度等于60分，1分等于

10、60秒）.1直角=90，一平角=180，一周角=360.5. 角平分线：在同一平面内，如果从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。例4. 如图，已知：AOE=100，BOF=80， OE平分BOC，OF平分AOC，求EOF的度数。 解析：本题已知AOE和BOF，又OE平分BOC，OF平分AOC，所以可以利用转化的思想，把EOF转化成COE+COF，再利用条件去求。解：OF平分AOC，OE平分BOC 设BOECOE1，COFAOF2 则有：AOE221100 BOF21280 得：3（12）180 1260即EOF1260。举一反三：如图，直线AB与C

11、D相交于点O，OP是BOC的平分线，OEAB，OFCD，AOD=40求：POB，EOF的度数6.余角与补角余角：如果两个角的和是90，那么称这两个角互为余角。其中一个角是另一个角的余角。如：A+B=90,则A与B互为余角，其中A是B的余角，同样，B是A的余角。补角：如果两个角的和是180，那么称这两个角互为补角。其中一个角是另一个叫的补角。如：A+B=180，则A与B互为补角，其中A是B的补角，同样B是A的补角。如果给定一个锐角，它的余角就是（90），它的补角就是（180）。7. 余角与补角的性质定理余角性质：同角的余角相等。如A+B=90,A+C=90,则：C=B. 等角的余角相等。如A+B

12、=90,D+C=90,A=D则：C=B.补角性质：同角的补角相等。如A+B=180,A+C=180,则：C=B. 等角的补角相等。如A+B=180,D+C=180,A=D则：C=B.例5.一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角的度数。解：设这个角为，则它的余角为（90），则根据题意得： （90）3180 解得：45。小结：解决这类问题，一般将未知的角设出来，再把它的余角与补角表示出来，根据题意列出方程求解。举一反三：1.已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个解的度数。2.一个角的余角比它的补角的还少20，求这个角。三、相交线与垂线1.同位角、内错角、同旁内角、对顶角如图三条直线，相交

13、所成的八个角中：同位角：2和6都在截线的同侧，又分别处在两条被截直线，同侧的位置，像这样具有这种位置关系的角称为同位角。同样地，1和5，3和7等都是同位角；内错角：3和5在截线的两侧，又处在两条被截直线，之间，像这样具有这种位置关系的角称为内错角。同样地，4和6也是内错角；同旁内角：3和6都在截线的同侧，又处在两条被截直线，之间，像这样具有这种位置关系的角称为同旁内角。同样地，4和5也是同旁内角。对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角称为对顶角。3的两边的反向延长线分别是1的两边，且1与3有公共顶点，则1与3是对顶角，同样2与4，5与7，6与8也是对顶角。对顶角

14、性质：对顶角相等。两个角成对顶角所满足的条件：对顶角是同一平面内两条直线相交所成的角；这两个角有一个共同的顶点；这两个角的两边互为延长线.小结：准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线。例6. 如图，直线a，b，c两两相交，123，265，求4的度数解析：1与2是对顶角，3与4是对顶角，根据对顶角的性质：对顶角相等解决本题。解：举一反三：直线AB，CD，EF相交于点O，且AOD=100，1=30，求2的度数2.垂线两条直线相交所成的4个角中有一个是直角，就说这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足

15、.垂直关系用符号“”表示。垂直是相交的一种特殊情况，两条直线的垂直是相互的，如中，是的垂线，同时也是的垂线。在同一平面内，过直线外一点做这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的长度就是该点到这条直线的距离。垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一点可以在直线上，也可以在直线外；直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。例7. 如图，CDAB，垂足为C，1=130，求2的度数解：11303=18013050CDABBCD902903905040。例8. 如图所示，已知OAOC于点O，AOB=COD，试判断OB和OD的位置关系并说明理由证明：OAOC

16、AOC90 即AOBBOC90 又AOBCOD CODBOC90 即BOD90 OBOD。例9. 如图，ACBC，AC=9，BC=12，AB=15（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；（2）点C到直线AB的距离是多少？ 解析：考查点到直线的距离的定义，利用三角形面积公式求出点C到直线AB的距离。解：（1）ACBC，AC9，BC12 点A到直线BC的距离为AC9 点B到直线AC的距离为BC12. （2）设点C到直线AB的距离为h，则： ABC的面积BCACABh 15h129 h 点C到直线AB的距离为。举一反三：1. 如图，直线AB与CD交于O，EOAB于O，AOD=150，

17、求COE的度数2. 如图，已知OAOB，1与2互补，求证：OCOD3. 如图，ACBC，AC=3，BC=4，AB=5，求点C到AB的距离是多少？四、平行线1. 平行公理及推论公理：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，也就是说，平行于同一条直线的两条直线互相平行，如若，则.例10. 如图，如果CDAB，CEAB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？解析：利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行来证明。证明：CDAB，CEAB，且CD与CE都经过点C 过直线AB外一点C有且只有一条直线与直线AB平行 CD与CE

18、在同一条直线上 C，D，E三点共线。举一反三：如图，已知OACD，OBCD，那么AOB是平角，为什么？3.直线平行的判定 图1 图2 图3两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如图1，直线和被直线所截，1和2是同位角，如果1=2，那么.简单地说：同位角相等，两直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如图2，直线和被直线所截，1和2是内错角，如果1=2，那么.简单地说：内错角相等，两直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；如图3，直线和被直线所截，1和2是同旁内角，如果1与2互为补角，那么.简单地说：同旁内

19、角互补，两直线平行；小结：、是判定直线平行的主要方法，另外还可以根据平行公理的推论（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）和在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行来判定，熟练掌握这些判定方法，根据不同的题目，选择适当的方法判定直线的平行。例11. 如图，直线EF分别与AB，CD交于点G，H，1250说明ABCD的理由。证明：1250（已知）2GHD（对顶角相等） 1GHD（等量代换） ABCD（同位角相等，两直线平行）例12. 如图，E、F分别在AB、CD上，1D，2与C互余，ECAF。求证：ABCD证明：ECAF（已知） 1C90 又2C90（已知） 12（同角

20、的余角相等） 又1D（已知） 2D（等量代换） ABCD（内错角相等，两直线平行）例13. 如图，若CABCED+CDE，求证：ABCD证明：在ECD中 CCDECED180（三角形内角和定理） 又CABCEDCDE（已知） CCAB180（等量代换） ABCD（同旁内角互补，两直线平行）小结：运用判定定理证明直线平行时，要理清是哪两条直线是平行直线，哪条直线是截线，然后正确找出“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键。举一反三：1. 如图，CE平分ACD，1B，请说明ABCE的理由2. 如图：AE平分DAC，DAC120，C=60，试证明：AEBC。3. 如图，已知AE、CE分别

21、是BAC、ACD的平分线，且1+2AEC证明：ABCD。4.直线平行的性质两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简记为：两直线平行，同位角相等；两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简记为：两直线平行，内错角相等；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简记为：两直线平行，同旁内角互补.另外还学习过了平行线的另两个性质：平行线且有传递性，即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；小结：平行的判定定理是由确定“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角的相等或互补关系，就可以判定两直线平等；而性质定理是已知两直线平行这一前提，

22、来确定同位角、内错角相等，同旁内角互补的数量关系。例14. 如图，已知AECA+C，试说明：ABCD。分析：过点E作辅助线EFAB，利用平行线的性质，可证明AB与CD都平行于EF，从而证得ABCD。证明：如图，过E作EFAB AAEF（两直线平行，内错角相等） 又AECAC（已知） AECAEFC（等量代换） 又AECAEFCEF CCEF CDEF（内错角相等，两直线平行） ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）例15. 如图，ABCD，12，34，证明：ADBE证明：ABCD（已知） 415（两直线平行，同位角相等） 又12（已知） 425（等量代换） 又34（已知） 325（等量

23、代换） 即：3DAC ADBE（内错角相等，两直线平行）举一反三：1. 已知ABC中，B70，CD平分ACB，23，求1的度数2. 如图，已知：AF、BD、CE、ABC、DEF均是直线，EQFAPB，CD求证：AF证明：EQFAPB（已知）EQFAQC（对顶角相等）APBAQC（等量代换） _DB_EC（ 同位角相等，两直线平行） _ABPC （ 两直线平行，同位角相等）CD（已知） _ABPD（ 等量代换） _DF_AC（ 内错角相等，两直线平行）AF （ 两直线平行，内错角相等）五、尺规作图1.尺规作线段和角，就是用没有刻度的直尺和圆规作与已知线段相关或与已知角大小相关的线段和角。尺规作图

24、限定的作图工具只有没有刻度的直尺和圆规。最基本的作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的角平分线；（4）作线段的垂直平分线2.尺规作图的一般步骤：写出已知：根据题意，写出已知的量或量的关系；写出求作：写出要求作的图形，并表示出与已知量的关系；比如相等、平分、或者倍数等关系。写出作法：也就是写出求作图形的一般过程；证明：写出证明，证明通过上述步骤所作的图形就是我们要求的图形。根据题目的要求而言，如没有特别说明，一般不需要写出证明过程。例16. 作图：求作一个角，使其等于已知角的倍（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和证明）。解析：写出已知，求作。已

25、知AOB，先作AOB的角平分线OD，再以OB为一边，在AOB外部作BOC，使BOCBOD，则AOC就是所求作的角。已知：AOB，如图； 求作：AOC，使AOCAOB。例17. 作一个等腰ABC，使底边长BCa，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）解析：写出已知，求作。先作底边长BC，使BCa，再作BC的垂直平分线EF，交BC于D，在DE上截取DAh，连接AB、AC，则ABC为求作的等腰三角形。已知：，；求作：等腰ABC，使底边BCa,高ADh。例18. 某县计划在A、B两村之间建一座定点医疗站P，A、B两村座落在两相交公路内（如图所示）医疗站必须满足

26、下列条件：使其到两公路距离相等；到张、李两村的距离也相等请你通过作图确定P点的位置解析：如图，医疗站P即要到两条公路的距离相等，又要到A、B两村的距离相等，则P即要在MON的平分线上，又要在线段AB的垂直平分线上，故分别作MON的平分线与线段AB的垂直平分线，两条直线的交点就是P所在的位置。举一反三：1.作一三角形ABC，使其两边与已知线段a，b相等，夹角与已知角相等（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法、证明）2. 如图，MN为河流，A、B分别表示甲、乙两间工厂，现要在河岸上修建一痤污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，确定污水处理厂应建在河边的什么位置？（用尺规作图

27、，保留作图痕迹，不要求写出作法、证明）3.如图，有三个居民小区A、B、C，现要在这三个小区内部修建一健身中心，使健身中心到这三个小区的距离相等，试确定健身中心的位置（要求：用尺规作图，保留傻痕迹，不写作法、证明）课后作业：一、填空1. 线段有_个端点，射线有_个端点，直线_端点；2. 如图所示，已知ABAC，ACAD，且ABACAD32，则AB_，AC_，AD_； 3. 已知点C是线段AB的中点，AB的长度为10cm，则AC的长度为_cm；4. 已知点A、点B、点C是直线上的三个点，则下图中有_条线段，有_条射线，有_条直线；5. 如图，C、D是线段AB上的两个点，CD8cm，M是AC的中点，N是DB的中点，MN12cm，那么线段AB的长等于_cm；6.如图1，已知AOC60，OD平分AOC，那么AOD_，BOC_；7.如图2，OE平分BOC，OF平分AOC，则AOFBOE_；8.如图