2022版新教材高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及综合应用学案含解析新人教A版

1、第三节平面向量的数量积及综合应用一、教材概念结论性质重现1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a，b，o是平面上的任意一点，作a，b，则aob叫做向量a与b的夹角设为a与b的夹角，则的取值范围是00或ab，ab2.平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移

2、”实现(2)两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线3向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.(1)要准确理解数量积的运算律，例如，abac(a0)，不能得出bc，两边不能约去同一个向量(2)平面向量数量积运算的常用公式(ab)(ab)a2b2.(ab)2a22abb2.(ab)2a22abb2.4平面向量数量积的性质已知两个非空向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则abx1x2y1y2

3、.性质几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是()2若两个非零向量a，b满足|b|2|a|2，|a2b|3，则a，b的夹角是()a b c dd解析：因为|b|2|a|2，|a2b|3，所以(a2b)2a

4、24ab4b29，得ab2.所以cos 1.因为0，所以.3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.12解析：因为2ab(4,2)(1,k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，所以102k0，解得k12.4已知点a(1,1)，b(1,2)，c(2,1)，d(3,4)，则向量在方向上的投影为_解析：(2,1)，(5,5)，由定义知，在方向上的投影为.考点1平面向量数量积的运算基础性1(2020重庆模拟)已知向量a(3，1)，b(1,2)，则a在b上的投影为()abcda解析：由数量积定义可知，a在b方向上的投影为|a|cosa，b.2(2020乐山模拟

5、)已知向量a与向量m(4,6)平行，b(5,1)，且ab14，则a()a(4,6)b(4，6)cdb解析：因为向量a与向量m(4,6)平行，可设a.由ab14可得5kk14，得k4，所以a(4，6)3(2020三明模拟)已知正方形abcd的边长为1，点m满足，设am与bd交于点g，则()a1b2c3d4a解析：以a为原点，ab和ad分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则a(0,0)，b(1,0)，c(1,1)，d(0,1)因为，所以m为线段cd的靠近点d的三等分点，所以m.(方法一)显然dgmbga，且相似比为13.，(1,1)，(1,1)1.(方法二)直线bd的方程为yx1，直线a

6、m的方程为y3x.联立解得所以点g.所以(1,1)111.4已知a(x,1)，b(2,4)，若(ab)b，则x等于_12解析：因为a(x,1)，b(2,4)，所以ab(x2,5)又(ab)b，所以(x2)(2)200，所以x12.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算考点2平面向量数量积的性质应用性(2020汕头二模)已知非零向量a，b，若

7、|a|b|，且a(a2b)，则a与b的夹角为()ab cdb解析：因为a(a2b)，所以a(a2b)a22ab0，所以ab.又|a|b|，所以cosa，b，且0a，b，所以a与b的夹角为.1将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|ab|a|b|0”，求a与b的夹角解：由|ab|a|b|0，所以(ab)2a2b2，a22abb2a2b2.设a与b的夹角为，则|a|22|a|b|cos |b|2|a|2，化简得12cos 11，解得cos .又0，所以a与b的夹角.2本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30，且|a|2ab|1”，求|b|.解：因为|2ab|1，所以|2ab|24a24abb2

8、1，所以44|b|cos 30b21，整理得|b|22|b|3(|b|)20，解得|b|.(2020人大附中三模)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，ab是一条侧棱，pi(i1,2，8)是上底面上其余的八个点，则集合y|y，i1,2,3，8中的元素个数()a1 b2 c4 d8a解析：由图可知，所以()2.因为正方体的棱长为1，abbpi，所以0，所以2101.故集合y|y，i1,2，8中的元素个数为1.1求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|.(2)利用|a|.2求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos ，的取值范围为0，(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则co

9、s .(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中3两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，求向量ab与ab的夹角解：将|ab|ab|两边平方，得a2b22aba2b22ab，所以ab0.将|ab|a|两边平方，得a2b22aba2，所以b2a2.设ab与ab的夹角为，所以cos .又因为0，所以.考点3平面向量数量积的应用综合性考向1平面向量与三角函数已知a，b，c的坐标分别是a(3,0)，b(0,3)，c(cos ，sin )(1)若|，求角 的值；(2)若1，求的值解：(1)因为a，b，c的坐标分别是a(3,0)，b

10、(0,3)，c(cos ，sin )，所以(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)所以|，|.因为|，所以，即(cos 3)2(sin )2(cos )2(sin 3)2，所以sin cos ，所以tan 1，所以k，kz.(2)由(1)知，(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，所以(cos 3)cos sin (sin 3)13(sin cos )1.所以sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ，所以2sin cos .所以2sin cos .平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或

11、垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等考向2平面向量的最值问题(2020武汉模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()a1b1c2d2a解析：设e(1,0)，b(x，y)，则b24eb30x2y24x30(x2)2y21.如图所示，a，b(其中a为射线oa上动点，b为圆c上动点，aox)所以|ab|min|cd|11(其中cdoa)平面向量的最值一般有两种处理方法(

12、1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决1. (2020西城区二模)设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|axb|(xr)的最小值为()abc1db解析：|axb|2a22xabx2b2x2x1，所以当x时，|axb|取得最小值.2已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f (x)ab|ab|，求f (x)的最大值和最小值解：(1)abcos cos sin sin cos 2x.因为ab，所以|ab|2|cos x|.因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos

13、x.(2)f (x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12.因为x，所以cos x1，所以当cos x时，f (x)取得最小值；当cos x1时，f (x)取得最大值1.(2019天津高考)在四边形abcd中，adbc，ab2，ad5，bad30，点e在线段cb的延长线上，且aebe，则_.四字程度读想算思求1.数量积的计算方法；2用哪个公式好？用恰当的基底或坐标表示两向量转化与化归四边形abcd中，adbc，ab2，ad5，a30，点e在线段cb的延长线上，aebe1.基向量法1；2基向量法2；3基向量法3；4坐标法1；5坐标法21.几何法计算线段与夹角；2用基底或坐标表示与；

14、3计算数量积1.向量的线性运算法则；2数量积计算公式思路参考：探究aeb中的边角大小1解析：如图，因为adbc，且dab30，所以abe30.又因为aebe，所以eab30.所以e120.所以在aeb中，aebe2.所以()()21222cos 3052cos 3052cos思路参考：用，作基向量表示.1解析：如图，因为aebe，adbc，bad30，所以在等腰三角形abe中，bea120.又ab2，所以aebe2，所以.因为，所以.又，所以()222|cos 3021225251.思路参考：构造菱形aebf.1解析：如图，过点b作ae的平行线交ad于点f.因为adb

15、c，所以四边形aebf为平行四边形，因为aebe，故四边形aebf为菱形因为bad30，ab2，所以af2，即.因为，所以()222512101.思路参考：利用坐标法求ae，be所在直线的方程1解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则b(2，0)，d.因为adbc，bad30，所以abe30.因为aebe，所以bae30，所以直线be的斜率为，其方程为y(x2)，直线ae的斜率为，其方程为yx.由得x，y1，所以e(，1)所以(，1)1.思路参考：利用坐标法确定点a，b，d，e的坐标1解析：过点b作bf垂直于adf.因为ab2，a30，则bf，af3.又因为adbc，aebe，则ebabadeab30，则be2.以f为原点，fd，fb为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，则a(3,0)，b(0，)，d(2,0)，e(2，)所以(2，)，(1，)，则231.1本题考查平面向量数量积的计算问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于数量积计算的两个公式，利用基向量法或者坐标法求解2基于课程标准，解答本