2022版新教材高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列学案含解析新人教B版

1、第2节等差数列一、教材概念结论性质重现1等差数列的定义如果数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an1and恒成立，则称an为等差数列，其中d称为等差数列的公差等差数列的定义用递推公式表示为an1and(nn*，d为常数)2等差数列的通项公式(1)如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是ana1(n1)d.(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是anak(nk)d.当d0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数andn(a1d)3等差中项如果x，a，y是等差数列那么称a为x与y的等差中项，即a.4等差数列的常用性质(1)通项公式

2、的推广公式：anam(nm)d(n，mn*)d(nm)(2)若an为等差数列，且mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，wn*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为md的等差数列(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列5等差数列的前n项和公式及其性质(1)设等差数列an的公差为d，其前n项和snna1d.(2)等差数列an的前n项和为sn，数列sm，s2msm，s3ms2m，(mn*)也是等差数列，公差为m2d.(3)等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，若a10，d0，则sn存在最大值；若a10，则sn存在最小

3、值(4)若等差数列an的项数为偶数2n，则s2nn(a1a2n)n(anan1)；s偶s奇nd，.(5)若等差数列an的项数为奇数2n1，则s2n1(2n1)an1；.数列an是等差数列数列的前n项和公式snn2nsnan2bn(a，b为常数)，所以当d0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(4)已知数列an的通项公式

4、是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(5)等差数列的前n项和sn是项数为n的二次函数()2等差数列an中，a4a810，a106，则公差d等于()a b c2da解析：因为a4a82a610，所以a65.又a106，所以公差d.故选a.3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项的和s11等于()a58b88 c143d176b解析：s1188.4设数列an是等差数列，其前n项和为sn.若a62且s530，则s8等于()a31b32 c33d34b解析：由已知可得解得所以s88a1d32.5一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每

5、秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过_秒落到地面20解析：设物体经过t秒降落到地面，物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列，所以4.90tt(t1)9.801 960，即4.90t21 960，解得t20.考点1等差数列的定义、通项公式、基本运算基础性1等差数列an的前n项和为sn，若a13，s535，则数列an的公差为()a2b2 c4d7b解析：因为a13，s535，所以53d35，解得d2.2(2020宜春模拟)已知等差数列an中，a11，前10项的和等于前5项的和若ama70，则m()a10b9 c8d2b解析：设等差数列an的公差为d，a11

6、.因为前10项的和等于前5项的和，且ama70，则1045d510d,2(m5)d0，解得m9.3(2021哈尔滨实验中学模拟)数列是等差数列，且a11，a3，那么a2 022()abcdb解析：设等差数列的公差为d，且a11，a3，所以1，3，所以312d，解得d1.所以1n1n，所以an1.那么a2 0221.4(2019江苏卷)已知数列an(nn*)是等差数列，sn是其前n项和若a2a5a80，s927，则s8的值是_16解析：设数列an的公差为d，则解得a15，d2，所以s88(5)216.等差数列运算问题的解题策略(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式

7、或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题考点2等差数列的判定与证明综合性数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和sn，并证明：.(1)证明：因为an1，所以，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解：由(1)知2n1，所以snn2，.证明：1.1若本例条件变为“若a11，a2，(nn*)”，求数列an的通项公式解：由已知式可得，知数列是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.2若本例条件变为“a1，na

8、n1(n1)ann(n1)”，求数列an的通项公式解：由已知可得1，即1.又a1，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以(n1)1n，所以ann2n.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出snan2bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nn*，bn是an和an1的等比中项设cnbb，nn*, 求证：数列cn是等差数列证明：由题意得bana

9、n1，有cnbban1an2anan12dan1，因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以数列cn是等差数列考点3等差数列性质的应用应用性考向1等差数列项的性质问题(1)(2020宁德二模)已知等差数列an的前n项和为sn，且a2a5a89，则s9()a21b27 c30d36b解析：因为等差数列an的前n项和为sn，且a2a5a893a5，所以a53，则s99a527.(2)记sn为等差数列an的前n项和若a4a524，s648，则an的公差为()a1b2 c4d8c解析：(方法一)设等差数列an的公差为d，依题意解得d4.(方法二)等差数列an中，s648，则a1a616a2a5.又

10、a4a524，所以a4a22d24168，所以d4.等差数列的项的性质的关注点(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qn*)，则amanapaq.(2)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质(3)项的性质常与等差数列的前n项和公式sn相结合命题考向2等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列an的前n项和为sn.若s57，s1021，则s15等于()a35b42 c49d63b解析：在等差数列an中，s5，s10s5，s15s10成等差数列，即7,14，s1521成等差数列，所以7(s1521)214，解得s1542.(2)已知sn是等差数列an的前n项和

11、，若a12 018，6，则s2 020_.2 020解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列设其公差为d，则6d6，所以d1.故2 019d2 0182 0191，所以s2 02012 0202 020.等差数列前n项和的性质在等差数列an中，sn为其前n项和，则：(1)sm，s2msm，s3ms2m，构成等差数列(2)s2nn(a1a2n)n(anan1)(3)s2n1(2n1)an.1已知数列an为等差数列，sn为其前n项和，2a5a6a3，则s7()a2b7 c14d28c解析：因为2a5a6a3，所以2a4da42da4d，解得a42.所以s77a414.2(2020海南模拟)已知等

12、差数列an，bn的前n项和分别为sn和tn，且，则()a. b.c. d.a解析：因为等差数列an，bn的前n项和分别为sn和tn，且，所以可设snkn(n5)，tnkn(2n1)，k0.所以a7s7s618k，b6t6t521k，所以.3设sn是等差数列an的前n项和，s1016，s100s9024，则s100_.200解析：依题意，s10，s20s10，s30s20，s100s90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又s1016，s100s9024，因此s100s902416(101)d169d，解得d，因此s10010s10d1016200.考点4等差数列前n项和的最值应用性等差数列

13、an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和sn的最大值为()as4bs5cs6ds7b解析：因为所以所以sn的最大值为s5.1本例若把条件改为“等差数列an中，s5s8”，则下列结论错误的是()ads5ds6，s7均为sn中的最大值c解析：由s5s6得a1a2a3a50.又因为s6s7，所以a1a2a6a1a2a6a7，所以a70，故b正确同理由s7s8，得a80.因为da7a6s5，即a6a7a8a90，可得2(a7a8)0，由结论a70，a80，显然c选项是错误的因为s5s8，所以s6与s7均为sn的最大值，故d正确2本例条件变为“等差数列an的前n项和为sn，若s130，s140，

14、s140，a1a14a7a80，a80，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；当a10时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.等差数列an中，若0时，n的最小值为()a14 b15 c16 d17c解析：因为数列an是等差数列，它的前n项和sn有最小值，所以公差d0，首项a10，an为递增数列因为1，所以a8a90，由等差数列的性质知，2a8a1a150.因为sn，所以当sn0时，n的最小值为16. 在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15.求当n取何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值四字程序读想算思n取何值时，sn取得最大值1.sn的表达式；2求最值的方法

15、？1.求通项公式an；2求前n项和sn转化与化归等差数列，a120，s10s151.利用等差数列的项的符号；2利用二次函数的性质1.ann；2snn2n1.数列的单调性；2二次函数的性质思路参考：先求基本量d，再由an确定sn取得最大值时n的值解：因为a120，s10s15，所以1020d1520d，所以d.由an20(n1)n.因为a1200，d0，所以数列an是递减数列由ann0，得n13，即a130.当n12时，an0，当n14时，an0，所以当n12或13时，sn取得最大值，且最大值为s12s131220130.思路参考：先求出d，再由sn的表达式确定其最大值解：因为a120，s10s

16、15，所以1020d1520d，所以d.sn20nn2n2.因为nn*，所以当n12或13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.思路参考：利用等差数列的性质求解解：由s10s15得s15 s10a11a12a13a14a150，所以5a130，即a130.又d，所以当n12或13时，sn有最大值所以s121220130.思路参考：结合二次函数知识解答解：因为等差数列an的前n项和sn是关于n的二次函数，且s10s15，所以1020d1520d，所以d.又12.5，所以n12或13时，sn取得最大值所以s121220130.1基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力2基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性等差数列an中，设sn为其前n项和，且a10，s3s11，则当n_时，sn最