2022版新教材高考数学一轮复习第二章2.4幂函数及三类不等式的解法绝对值高次无理课件新人教B版

1、2.42.4幂函数及三类不等式的幂函数及三类不等式的解法解法 ( (绝对值、高次、无理绝对值、高次、无理) )第二章第二章2022内容索引必备知识必备知识 预案自诊预案自诊关键能力关键能力 学案突破学案突破案例案例探究探究( (三三) ) f(x)=ax+ (ab0)f(x)=ax+ (ab0)型函数的性质及应用型函数的性质及应用必备知识必备知识 预案自诊预案自诊【知识梳理知识梳理】 1.幂函数(1)幂函数的定义:一般地,函数称为幂函数,其中为常数.(2)五种幂函数的图像y=x (3)五种幂函数的性质 幂函数y=xy=x2y=x3y=x-1定义域 值域 奇偶性 奇偶奇非奇非偶 奇单调性 公共点

2、 (1,1)rrr0,+)x|xr,且x0r0,+)r0,+)y|yr,且y0单调递增当x0,+)时,单调递增;当x(-,0)时,单调递减单调递增单调递增当x(0,+)时,单调递减;当x(-,0)时,单调递减2.分式不等式的解法 3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|a(-,-a)(a,+)(-,0)(0,+)r(2)|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.(3)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x).(4)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解

3、,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.(-a,a) 4.无理不等式的解法 5.一元高次不等式的解法(标根穿线法)(1)化x的最高次系数为正;(2)在数轴上标出方程的根;(3)从数轴上方穿针,奇穿偶回;(4)写出解集.常用结论1.幂函数y=x的图像在第一象限的两个重要结论(1)恒过点(1,1);(2)当x(0,1)时,越大,函数值越小;当x(1,+)时,越大,函数值越大.常用结论【考点自诊考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(2)幂函数y=x,当0时,在第一象限内,函数单调递增.()(3)幂函数y=x,当bcb.abcc.bcad.a

4、cb答案 d解析 根据幂函数的性质,可知选d.答案 c 4.不等式(x-1)(x-2)(x-3)0,否则0;若0,再观察第一象限的图像是上凸还是下凸,上凸时01;最后由x1时,在第一象限内的值按逆时针方向依次增大得出结论.对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应的是()(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点(a, )在幂函数f(x)=(a-1)xb的图像上,则函数f(x)是()a.奇函数b.偶函数c.定义域内的减函数d.定义域内的增函数答案 (1)b(2)a 考点考点3 3幂函数的性质及应用幂函数的性质及应用解题心得1.幂函数的主要性质(1)当0时,幂函数的图像都过

5、点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增;(2)当0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.答案 (1)(3,5)(2)a 考点考点4 4绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法【例4】 解下列不等式:(1)|x2+x|3x;(2)|x-1|+|x+2|5;(3)|2x-1|-|x-2|1时,不等式变为x-1+x+25

6、,解得x2,1x2;当-2x1时,不等式变为1-x+x+25,即35,当-2x1时不等式均成立;当x-2时,不等式变为1-x-x-2-3,-3x-2.综上,不等式的解集为(-3,2).(3)由|2x-1|-|x-2|0,得|2x-1|x-2|,(2x-1)2(x-2)2,3x23,解得-1xx2的解集为()a.(-4,1)b.(-1,4)c.(-4,-1)(1,4)d.(-,-4)(1,+)(2)不等式|x+3|2-x|的解集是.(3)设xr,不等式|x|+|2x-1|2的解集为.解析 (1)由|3x-4|x2可得3x-4x2或3x-4x2得无解;解3x-4-x2得-4x1.故原不等式的解集为

7、(-4,1),故选a.考点考点5 5一元高次不等式的解法一元高次不等式的解法【例5】 (1)解不等式(x-2)2(x-3)3(x+1)0.(2)解不等式(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解 (1)检查各因式中x的符号均正;求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根);在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始,如图),原不等式的解集为x|-1x2或2x3.(2)将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)20;求得相应方程的根为-2(二重),-1,3;如图,在数轴上表示各根并穿线;原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.解题心得1.在本例(1)中因为3是三重根

8、,所以在点c处穿三次,结果相当于直接穿一次;2是二重根,所以在点b处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,对于因式(x-x1)n,当n为奇数时,曲线在点x1处穿过数轴;当n为偶数时,曲线在点x1处不穿过数轴,归纳为“奇穿偶不穿”.2.在本例(2)中,不等式若带“=”号,点画为实心,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2点,但x=-2满足“=”的条件,不能漏掉.对点训练5解不等式x(x-1)2(2-x)(x+1)0. 解 原不等式可化为x(x-1)2(x-2)(x+1)0,标根穿线,如图:原不等式的解集为-1,012,+)考点考点6 6无理不等式的解法无理不等式的解法解题心得无理不等式的等价转化,即

9、由无理不等式转化为等价的有理不等式求通解,要求必须熟练掌握;其他解法要根据不等式的具体情况而定.案例探究案例探究( (三三) ) f(x)=ax+ (ab0)f(x)=ax+ (ab0)型型函数的性质及应用函数的性质及应用(1)定义域为(-,0)(0,+),值域为r.(2)奇函数.(3)函数在(-,0),(0,+)上单调递增,无最值.(1)定义域为(-,0)(0,+),值域为r.(2)奇函数.(3)函数在(-,0),(0,+)上单调递减,无最值.(5)图像:对勾函数就是以y轴和直线y=ax为渐近线的双曲线. (6)渐近线:y轴和直线y=ax. 答案5 对点训练1已知函数f(x)=2x,且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2ag(x)+h(2x)0对任意x1,2恒成立,求实数a的取值范围.【例2】 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?对点训练2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年