2022版新教材高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦余弦定理与解三角形学案新人教A版

1、4.6正弦、余弦定理与解三角形必备知识预案自诊知识梳理1.正弦定理和余弦定理在abc中,若角a,b,c所对的边分别是a,b,c,则正弦定理余弦定理内容asina=bsinb=csinc=2r(r为abc外接圆的半径)a2=b2+c2-2bccos a;b2=a2+c2-2cacos b;c2=a2+b2-2abcos c常见变形(1)a=2rsin a,b=2rsin b,c=2rsin c;(2)sin a=a2r,sin b=b2r,sin c=c2r;(3)abc=sin asin bsin ccos a=b2+c2-a22bc;cos b=a2+c2-b22ac;cos c=a2+b2

2、-c22ab解决的问题(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角2.abc的面积公式(1)sabc=12ah(h表示a边上的高).(2)sabc=12absin c=12acsin b=12bcsin a=abc4r.(3)sabc=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1).(2)方向角:相对于某正方向

3、的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等.(3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点b的方位角为(如图2).(4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角.1.在abc中,常有以下结论(1)a+b+c=.(2)在三角形中大边对大角,大角对大边.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)sin(a+b)=sin c;cos(a+b)=-cos c;tan(a+b)=-tan c;sina+b2=cosc2;cosa+b2=sinc2.(5)tan a+tan b+tan c=tan atan btan c.(6)ababsin asin bcos ac2

4、,则c90;(3)若a2+b290.3.三角形中的射影定理在abc中,a=bcos c+ccos b;b=acos c+ccos a;c=bcos a+acos b.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在abc中,已知a,b和角b,能用正弦定理求角a;已知a,b和角c,能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.()(3)在abc中,sin asin b的充分不必要条件是ab.()(4)在abc中,a2+b2c2是abc为钝角三角形的充分不必要条件.()(5)在abc的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()2.(

5、2020北京房山区二模,2)在abc中,若a=4,b=3,a=23,则b=()a.23b.32c.26d.333.(2020全国3,理7)在abc中,cos c=23,ac=4,bc=3,则cos b=()a.19b.13c.12d.234.(2019全国2,理15)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,b=3,则abc的面积为.5.(2020北京东城一模,14)abc是等边三角形,点d在边ac的延长线上,且ad=3cd,bd=27,则cd=,sinabd=.关键能力学案突破考点利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)(2019全国1,文11)abc的内角a,b,c

6、的对边分别为a,b,c.已知asin a-bsin b=4csin c,cos a=-14,则bc=()a.6b.5c.4d.3(2)(2020河北石家庄二模,文5)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin a-sin b)=c(sin c+sin b),b=1,c=2,则abc的面积为()a.12b.32c.1d.3解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,

7、在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大角”进行判断.对点训练1(1)(2020福建福州三模,理15)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若2sin2a+cos b=1,则cb-a的取值范围为.(2)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知bsin c+csin b=4asin bsin c,b2+c2-a2=8,则abc的面积为.考点判断三角形的形状【例2】(1)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若bcos c+cc

8、os b=asin a,则abc的形状为()a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.不确定(2)(2020山东济宁5月模拟,17)在sin a,sin b,sin c成等差数列;sin b,sin a,sin c成等比数列;2bcos c=2a-3c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知abc的内角a,b,c所对的边分别是a,b,c,面积为s.若,且4s=3(b2+c2-a2),试判断abc的形状.变式发散1若本例(1)条件改为“asin a+bsin bcsin c”,那么abc的形状为.变式发散2若本例(1)条件改为“c-acos b=(2a-b)cos a”,那么

9、abc的形状为.变式发散3若本例(1)条件改为“cosacosb=ba=2”,那么abc的形状为.解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法:(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用a+b+c=这个结论.考点正弦、余弦定理与三角变换的综合问题【例3】(2020河北保定二模,文16,理16)已知abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=absin c,aco

10、s b+bsin a=c,a=10,则b=.解题心得在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:a+b+c=的使用;运用正弦定理、余弦定理能够进行边角互化以及化异角为同角,从而实现消元的目的,为三角变换提供了条件.对点训练2(1)(2020安徽马鞍山二模,9)已知abc三内角a,b,c满足cos 2a+cos 2b=1+cos 2c,且2sin asin b=sin c,则下列结论正确的是()a.a=b,c2b.ab,c=2c.ab,c2d.a=b,c=2(2)(2020江苏镇江三模,14)在锐角abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.若(b-sin c)cos a=sin acos c,且a

11、=2,则tanatanbtanc的最大值为.考点正、余弦定理在实际问题中的应用【例4】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到a处时测得公路北侧一山脚c在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达b处,测得此山脚c在西偏北75的方向上,山顶d的仰角为30,则此山的高度cd= m.解题心得利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路是:1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先求解条件充足的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中

12、列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.对点训练3(2020河南实验中学4月模拟,14)如图,为测量出高mn,选择a和另一座山的山顶c为测量观测点,从点a测得点m的仰角man=60,点c的仰角cab=45,mac=75.从c点测得mca=60.已知山高bc=100 m,则山高mn=m.4.6正弦、余弦定理与解三角形必备知识预案自诊考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.b根据正弦定理asina=bsinb,故23sin4=bsin3,解得b=32.故选b.3.aab2=ac2+bc2-2acbccosc=16+9-2423=9,ab=3,cosb=ab2+bc2-ac22abbc=9

13、+9-16233=19.4.63b2=a2+c2-2accosb,(2c)2+c2-22cc12=62,即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).a=2c=43.sabc=12acsinb=12432332=63.5.232114如图所示,等边abc中,因为ad=3cd,所以ac=2cd,又bd=27,所以bd2=bc2+cd2-2bccdcosbcd,即(27)2=(2cd)2+cd2-4cdcdcos120,解得cd=2,所以ad=6.由adsinabd=bdsina,即6sinabd=27sin60,解得sinabd=32114.关键能力学案突破例1(1)a(2)b(1)由已知及

14、正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-14=cosa=b2+c2-a22bc,c2-4c22bc=-14,-3c2b=-14,bc=324=6,故选a.(2)由(a+b)(sina-sinb)=c(sinc+sinb),应用正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c+b),即a2=b2+c2+bc,故cosa=b2+c2-a22bc=-12,故a=23,又因为b=1,c=2,所以abc的面积s=12bcsina=32.故选b.对点训练1(1)(2,3)(2)233(1)在abc中,因为2sin2a+cosb=1,所以cosb=cos2a,所以b=2a.由正弦定理,cb-a=sinc

15、sinb-sina=sin(a+b)sinb-sina=sinacos2a+cosasin2asin2a-sina=sina(2cos2a-1)+2sinacos2a2sinacosa-sina=4cos2a-12cosa-1=2cosa+1,由0b=2a,0c=-3a,得0a3,故12cosa0,所以cosa0,0a2,因为asina=2r,所以sina=12,a=30,所以cosa=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以sabc=12bcsina=233.例2(1)b(方法1)由bcosc+ccosb=asina,应用正弦定理得sinbcosc+sinccosb=sinasi

16、na,即sin(b+c)=sinasina,所以sina=1,即a=2,因此abc是直角三角形.(方法2)因为bcosc+ccosb=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a,所以asina=a,即sina=1,故a=2,因此abc是直角三角形.(2)解方案一:选条件.由4s=3(b2+c2-a2),可得2bcsina=23bccosa,所以tana=3.又因为0a,所以a=3.由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因为sina,sinb,sinc成等差数列,所以2sinb=sina+sinc,即2b=a+c,即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.所以abc

17、为等边三角形.方案二:选条件.由4s=3(b2+c2-a2),可得2bcsina=23bccosa,所以tana=3.又因为0a,所以a=3.由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因为sinb,sina,sinc成等比数列,所以sin2a=sinbsinc,即a2=bc,所以(b-c)2=0,所以b=c.所以abc为等边三角形.方案三:选条件.由4s=3(b2+c2-a2),可得2bcsina=23bccosa,所以tana=3.又因为0a,所以a=3.因为2bcosc=2a-3c,所以2sinbcosc=2sina-3sinc,即2sinbcosc=2sin(b+c)-3sinc,可得cos

18、b=32,所以b=6,所以c=2.所以abc为直角三角形.变式发散1钝角三角形根据正弦定理可得a2+b2c2,由余弦定理得cosc=a2+b2-c22ab0,c为锐角.将sinc=2cosc代入sin2c+cos2c=1,解得sinc=255,cosc=55.acosb+bsina=c,sinacosb+sinasinb=sinc=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sinasinb=cosasinb.0b0,则tana=1,0a0,tanc0,tanb+tanc2tanbtanc,当且仅当tanb=tanc时,等号成立,2tanbtanc-22tanbtanc,解得tanbtanc3+52,tanatanbtanc=2tanbtanc23+52=3-5,故tanatanbtanc的最大值为3-5.例41006在abc中,