2022版新教材高考数学一轮复习课时规范练45抛物线含解析新人教A版

1、课时规范练45抛物线基础巩固组1.(2020福建厦门一模)若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=()a.2b.4c.2d.42.(2019全国2,理8)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()a.2b.3c.4d.83.(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()a.2512 mb.256 mc.95 md.185 m4.(2020河南安阳三模)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,准线为l,l与x

2、轴的交点为p,点a在抛物线c上,过点a作aal,垂足为a.若四边形aapf的面积为14,且cosfaa=35,则抛物线c的方程为()a.y2=xb.y2=2xc.y2=4xd.y2=8x5.(多选)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,直线l的斜率为3且经过点f,与抛物线c交于a,b两点(点a在第一象限),与抛物线c的准线交于点d,若|af|=4,则以下结论正确的是()a.p=2b.f为ad的中点c.|bd|=2|bf|d.|bf|=26.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线c:y2=8x相交于a,b两点,f为抛物线c的焦点.若|fa|=2|fb|,则k=()a.13b.23c.2

3、3d.2237.以抛物线c的顶点为圆心的圆交抛物线c于a,b两点,交抛物线c的准线于d,e两点.已知|ab|=42,|de|=25,则抛物线c的焦点到准线的距离为.8.过抛物线c:y2=2px(p0)的焦点f且倾斜角为锐角的直线l与抛物线c交于a,b两点,过线段ab的中点n且垂直于l的直线与抛物线c的准线交于点m,若|mn|=|ab|,则直线l的斜率为.9.(2020江西萍乡一模)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,准线l:x=-1,点m在抛物线c上,点m在准线l上的射影为a,且直线af的斜率为-3,则amf的面积为.10.已知点m(-1,1)和抛物线c:y2=4x,过抛物线c的焦点

4、且斜率为k的直线与抛物线c交于a,b两点.若amb=90,则k=.综合提升组11.(2020广东广州一模)已知f为抛物线c:y2=6x的焦点,过点f的直线l与抛物线c相交于a,b两点,且|af|=3|bf|,则|ab|=()a.6b.8c.10d.1212.(2020江西九江二模)已知抛物线c:x2=4y的焦点为f,直线l与抛物线c交于a,b两点,连接af并延长,交抛物线c于点d,若ab中点的纵坐标为|ab|-1,则当afb最大时,|ad|=()a.4b.8c.16d.16313.已知抛物线c:x2=2py(p0)和定点m(0,1),设过点m的动直线交抛物线c于a,b两点,抛物线c在点a,b处

5、的切线的交点为n.(1)若点n在以ab为直径的圆上,求p的值;(2)若abn的面积的最小值为4,求抛物线c的方程.创新应用组14.(多选)如图,已知椭圆c1:x24+y2=1,过抛物线c2:x2=4y的焦点f的直线交抛物线c2于m,n两点,连接no,mo并延长,分别交椭圆c1于点a,b,连接ab,omn与oab的面积分别记为somn,soab,则下列说法正确的为()a.若直线no,mo的斜率分别为k1,k2,则k1k2为定值-14b.soab为定值1c.|oa|2+|ob|2为定值5d.设=somnsoab,则215.(2020河北衡水二模)已知抛物线c:x2=2py(p0)的焦点为f,点m(

6、2,m)(m0)在抛物线c上,且|mf|=2.(1)求抛物线c的方程;(2)若点p(x0,y0)为抛物线c上任意一点,过该点的切线为l0,证明:过点f作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.参考答案课时规范练45抛物线1.cx2=ay,p=a2=1,a=2.故选c.2.dy2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8.故选d.3.d建立平面直角坐标系如图所示.设抛物线的解析式为x2=-2py,p0,因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.故选d.4.c过点f作

7、ffaa,垂足为f.设|af|=3x,因为cosfaa=35,所以|af|=5x,|ff|=4x.由抛物线的定义可知|af|=|aa|=5x,则|af|=2x=p,故x=p2.四边形aapf的面积s=(|pf|+|aa|)|ff|2=(p+52p)2p2=14,解得p=2,故抛物线c的方程为y2=4x.5.abc如图,点fp2,0,直线l的斜率为3,则直线l的方程为y=3x-p2.由y2=2px,y=3(x-p2),得12x2-20px+3p2=0,解得xa=32p,xb=16p.由|af|=32p+p2=2p=4,得p=2.故抛物线c的方程为y2=4x.又xb=16p=13,所以|bf|=1

8、3+1=43,所以|bd|=43cos60=83,所以|bd|=2|bf|.因为|bd|+|bf|=83+43=4=|af|,所以f为ad的中点.故选abc.6.d设抛物线c:y2=8x的准线为l,则直线l的方程为x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点p(-2,0).如图,分别过点a,b作aml于点m,bnl于点n,由|fa|=2|fb|,知|am|=2|bn|,所以b为线段ap的中点.连接ob,则|ob|=12|fa|,所以|ob|=|fb|,所以点b的横坐标为1.因为k0,点b在抛物线c上,所以点b的坐标为(1,22).所以k=22-01-(-2)=223.故选d.7.4依题意,不妨设抛物

9、线c的方程为y2=2px(p0).由|ab|=42,|de|=25,可取a4p,22,d-p2,5.设o为坐标原点,由|oa|=|od|,得16p2+8=p24+5,解得p=4.8.33设抛物线c的准线为m,分别过点a,n,b作aam,nnm,bbm,垂足分别为a,n,b(图略).因为直线l过抛物线c的焦点f,所以|bb|=|bf|,|aa|=|af|.又n为线段ab的中点,|mn|=|ab|,所以|nn|=12(|bb|+|aa|)=12(|bf|+|af|)=12|ab|=12|mn|,所以mnn=60,所以直线mn的倾斜角为120.又mnl,所以直线l的倾斜角为30,所以直线l的斜率为3

10、3.9.43设准线l与x轴交于点n,则|fn|=2.直线af的斜率为-3,afn=60,maf=60,|af|=4.由抛物线的定义可得|ma|=|mf|,amf是边长为4的等边三角形.samf=3442=43.10.2(方法1)由题意知抛物线c的焦点坐标为(1,0),则过抛物线c的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设点a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.所以y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=4k,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.由

11、amb=90,得mamb=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,即1+2k2+4k2+1+(-4)-4k+1=0,解得k=2.(方法2)设抛物线的焦点为f,点a(x1,y1),b(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,所以y12-y22=4(x1-x2),所以k=y1-y2x1-x2=4y1+y2.取ab的中点n(x0,y0),分别过点a,b作准线x=-1的垂线,垂足分别为a,b,又amb=90,点m在准线x=-1上,所以|mn|=12|ab|=12(|af|+|bf|)=12(|aa|+|bb|).又n为ab的中点,所以mn平行于x轴,所以y0=1,所以y

12、1+y2=2,所以k=2.11.b由已知得抛物线c:y2=6x的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32.设点a(x1,y1),b(x2,y2),因为|af|=3|bf|,所以x1+32=3x2+32,|y1|=3|y2|.所以x1=3x2+3,x1=9x2,所以x1=92,x2=12.所以|ab|=x1+32+x2+32=8.故选b.12.c设点a(x1,y1),b(x2,y2),d(x3,y3),由抛物线的定义得|af|+|bf|=y1+y2+2,因为y1+y22=|ab|-1,所以|af|+|bf|=2|ab|,所以cosafb=|af|2+|bf|2-|ab|22|af|bf|=3(|

13、af|2+|bf|2)-2|af|bf|8|af|bf|6|af|bf|-2|af|bf|8|af|bf|=12,当且仅当|af|=|bf|时,等号成立.所以当afb最大时,afb为等边三角形,abx轴.不妨设此时直线ad的方程为y=3x+1,由y=3x+1,x2=4y,消去y,得x2-43x-4=0,所以x1+x3=43,所以y1+y3=3(x1+x3)+2=14.所以|ad|=16.故选c.13.解设直线ab:y=kx+1,点a(x1,y1),b(x2,y2),将直线ab的方程代入抛物线c的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.(1)由x2=2py得y=x

14、p,则抛物线c在点a,b处的切线斜率的乘积为x1x2p2=-2p.因为点n在以ab为直径的圆上,所以anbn,所以-2p=-1,解得p=2.(2)由题意得直线an:y-y1=x1p(x-x1),直线bn:y-y2=x2p(x-x2),由y-y1=x1p(x-x1),y-y2=x2p(x-x2),解得x=pk,y=-1,即点n(pk,-1).因为|ab|=1+k2|x2-x1|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k24p2k2+8p,点n到直线ab的距离d=|pk2+2|1+k2,所以abn的面积sabn=12|ab|d=p(pk2+2)322p,当k=0时取等号.因为abn的面积的最小

15、值为4,所以22p=4,解得p=2.故抛物线c的方程为x2=4y.14.abcd由已知得点f(0,1),直线mn的斜率一定存在.设直线mn的方程为y=kx+1,点m(x1,y1),n(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y,消去y,得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,所以k1k2=y1y2x1x2=-14.故a正确.设直线oa的方程为y=mx(m0),则直线ob的方程为y=-14mx.由y=mx,x24+y2=1,得x2=41+4m2,由题图知点a在第三象限,则点a-21+4m2,-2

16、m1+4m2,同理点b-21+14m2,12m1+14m2,即点b-4m1+4m2,11+4m2,所以点a到直线ob的距离d=21+4m2+8m21+4m21+16m2=2+8m21+4m21+16m2,|ob|=16m21+4m2+11+4m2=16m2+11+4m2,所以soab=12|ob|d=1216m2+11+4m22+8m21+4m21+16m2=1.故b正确.因为|oa|2=41+4m2+4m21+4m2=4+4m21+4m2,|ob|2=16m2+11+4m2,所以|oa|2+|ob|2=5+20m21+4m2=5.故c正确.由y=mx,x2=4y,得x(x-4m)=0,解得x=0或x=4m,故点n(4m,4m2),所以|on|=4mm2+1.同理点m-1m,14m2,所以点m到直线oa的距离h=|-1-14m2|m2+1=1+14m2m2+1.所以somn=12|on|h=2m+12m2,当且仅当2m=12m,即m=12时,等号成立.又soab=1,所以=somnsoab=somn2.故d正确.故选abcd.15.(1)解由抛物线的定义,可知|mf|=m+p2=2.又点m(2,m)在抛物线c上,所以2pm=4.由解得p=2,m=1.所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)证明当x0=0,即点p为原点时,显然符合;当x00,即点p不在原点时,由(1)得x2