2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第六讲双曲线学案新人教版VIP

1、第六讲双曲线知识梳理双基自测知识点一双曲线的定义平面内与两个定点f1、f2的_距离的差的绝对值等于常数(小于|f1f2|)_的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_焦点_，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦距_注：设集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数，且a0，c0；(1)当ac时，p点的轨迹是_双曲线_；(2)当ac时，p点的轨迹是_两条射线_；(3)当ac时，集合p是_空集_知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：a1_(a,0)_，a

2、2_(a,0)_顶点坐标：a1_(0，a)_，a2_(0，a)_渐近线y_x_y_x_离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的_实轴_，它的长|a1a2|_2a_；线段b1b2叫做双曲线的_虚轴_，它的长|b1b2|_2b_；_a_叫做双曲线的_实半轴长_，b叫做双曲线的_虚半轴长_a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为(通径)过双曲线的焦点与双曲线一支相交

3、所得弦长的最小值为；与两支相交所得弦长的最小值为2a(4)过双曲线焦点f1的弦ab与双曲线交在同支上，则ab与另一个焦点f2构成的abf2的周长为4a2|ab|(5)双曲线的离心率公式可表示为e(6)双曲线的形状与e的关系：|k|，e越大，即渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔(7)1(a0，b0)与1(a0，b0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方和为1题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0

4、)的渐近线方程是0，即0()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)()题组二走进教材2(必修2p61t1)若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(a)ab5cd2解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab又a2b2c2，5a2c2e25，e3(必修2p61a组t3)已知ab0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为(a)axy0bxy0c

5、x2y0d2xy0解析椭圆c1的离心率为，双曲线c2的离心率为，所以，即a44b4，所以ab，所以双曲线c2的渐近线方程是yx，即xy0题组三走向高考4(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为(a)ayxbyxcyxdyx解析由题意e，双曲线的渐近线方程为yx，故选a5(2020新课标)设f1，f2是双曲线c：x21的两个焦点，o为坐标原点，点p在c上且|op|2，则pf1f2的面积是(b)ab3cd2解析由题意可得a1，b，c2，|f1f2|2c4，|op|2，|op|f1f2|，pf1f2为直角三角形，pf1pf2，|pf1|2|pf2|24c216，|pf1|

6、pf2|2a2，|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4，|pf1|pf2|6，pf1f2的面积为s|pf1|pf2|3，故选b考点突破互动探究考点一双曲线的定义及其应用自主练透例1(1)已知定点f1(2,0)，f2(2,0)，n是圆o：x2y21上任意一点，点f1关于点n的对称点为m，线段f1m的中垂线与直线f2m相交于点p，则点p的轨迹是(b)a椭圆b双曲线c抛物线d圆(2)(2021河南洛阳统考)已知f是双曲线1的左焦点，a(1,4)，p是双曲线右支上的动点，则|pf|pa|的最小值为_9_解析(1)如图，连接on，由题意可得|on|1，且n为mf1的中点，又o为f1f2的中点，|

7、mf2|2点f1关于点n的对称点为m，线段f1m的中垂线与直线f2m相交于点p，由垂直平分线的性质可得|pm|pf1|，|pf2|pf1|pf2|pm|mf2|2|f1f2|，由双曲线的定义可得，点p的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线(2)设双曲线的右焦点为f1，则由双曲线的定义，可知|pf|4|pf1|，所以当|pf1|pa|最小时满足|pf|pa|最小由双曲线的图形可知，当点a，p，f1共线时，满足|pf1|pa|最小，|af1|即|pf1|pa|的最小值又|af1|5，故所求的最小值为9名师点拨(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的

8、一支(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立与|pf1|pf2|的联系变式训练1(1)在abc中，b(4,0)，c(4,0)，动点a满足条件sin bsin csin a时，则点a的轨迹方程为_1(x2)_(2)(2021广东佛山质检)已知p为双曲线c：1(a0，b0)上一点，o为坐标原点，f1，f2为双曲线c左右焦点若|op|of2|，且满足tanpf2f13，则双曲线的离心率为(c)abcd解析(1)设a的坐标为(x，y)，在abc中，由正弦定理，得2r(其中r为abc外接圆的半径)，代入sin bsin csin a，得 又

9、|bc|8，|ac|ab|4，因此a的轨迹为以b，c为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a4,2c8，即a2，c4，b2c2a212所以所求a点的轨迹方程为1(x2)(2)点p在双曲线c的右支上，且满足|op|of2|，即有o为pf1f2外接圆的圆心，即有f1pf290，由双曲线的定义可得|pf1|pf2|2a，tanpf2f13，所以|pf1|3|pf2|，则|pf1|3a，|pf2|a，由|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即(3a)2a24c2，即有c2a2，e知，故选c考点二双曲线的标准方程师生共研例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与已知双曲线x24y24有共同渐近线

10、且经过点(2,2)；(2)渐近线方程为yx，焦距为10；(3)经过两点p(3,2)和q(6，7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)解析(1)设所求双曲线方程为x24y2(0)，将(2,2)的坐标代入上述方程，得22422，12所求双曲线方程为1(2)设所求双曲线方程为y2(0)，当0时，双曲线标准方程为1，c5，5；当0时，双曲线标准方程为1，c5，5所求双曲线方程为1或1(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解之得双曲线方程为1(4)依题意，eab设方程为1，则1，解得m61名师点拨求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，

11、由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为ax2by21(ab0)，根据条件确定a、b即可特别的与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)；与双曲线1(a0，b0)共焦点的双曲线方程可设为1(b2ka2)；渐近线为yx(或yx)的双曲线的方程可设为(0)特别地：离心率为的双曲线的方程可设为x2y2(0)变式训练2(1)(2017新课标)已知双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦

12、点，则c的方程为(b)a1b1c1d1(2)(2019新课标)双曲线c：1的右焦点为f点p在c的一条渐近线上，o为坐标原点若|po|pf|，则pfo的面积为(a)abc2d3解析(1)椭圆1的焦点坐标(3,0)，则双曲线的焦点坐标为(3,0)，可得c3，双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，可得，即，可得，解得a2，b，所求的双曲线方程为：1故选b(2)双曲线c：1的右焦点为f(，0)，渐近线方程为：yx，不妨设p在第一象限，可得tanpof，p，所以pfo的面积为：，故选a考点三双曲线的几何性质多维探究角度1双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围例3(2021武汉武昌区调研)

13、双曲线c：1(a0，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则c的实轴长等于_8_解析双曲线的焦点(0,5)到渐近线yx，即axby0的距离为b3，所以a4,2a8角度2双曲线的渐近线例4(1)(多选题)(2021河北张家口、衡水、邢台联考)已知双曲线e：1(m0)的一条渐近线方程为x3y0，则下列说法正确的是(ad)ae的焦点在x轴上bmce的实轴长为6de的离心率为(2)(2021福建厦门质检)已知双曲线c：1(a0，b0)的一个焦点为f，点a，b是c的一条渐近线上关于原点对称的两点，以ab为直径的圆过f且交c的左支于m，n两点，若|mn|2，abf的面积为8，则c的渐近线方程为(b)

14、ayxbyxcy2xdyx解析(1)由m0，可知双曲线e的焦点一定在x轴上，故a正确；根据题意得，所以m36，故b错误；双曲线e的实轴长为212，故c错误；双曲线e的离心率e，故d正确故选ad(2)设双曲线的另一个焦点为f，由双曲线的对称性，四边形afbf是矩形，所以sabfsaff，即bc8，由，得：y，所以|mn|2，所以b2c，所以b2，c4，所以a2，c的渐近线方程为yx故选b角度3双曲线的离心率例5(1)(2021福建三明期末质检)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与直线xy40垂直，则该双曲线的离心率为(c)abc2d4(2)(2018新课标)设f1，f2是双曲线c：1(a0，

15、b0)的左，右焦点，o是坐标原点，过f2作c的一条渐近线的垂线，垂足为p，若|pf1|op|，则c的离心率为(c)ab2cd(3)(2021河北省衡水中学调研)已知点f是双曲线1(a0，b0)的右焦点，点e是该双曲线的左顶点，过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若aeb是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是(c)a(1，)b(1,1)c(2，)d(2,1)解析(1)由题意可知1，e2故选c(2)点f2(c,0)到渐近线yx的距离|pf2|b(b0)，而|of2|c，所以在rtopf2中，由勾股定理可得|op|a，所以|pf1|op|a在rtopf2中，cospf2o，在f1f2p中

16、，cospf2o，所以3b24c26a2，则有3(c2a2) 4c26a2，解得(负值舍去)即e故选c(3)由题意，得ab为双曲线的通径，其长度为|ab|，因为aeb，所以aef，则tanaef1，即1，即c2a2a(ac)，即e2e20，解得e2故选c名师点拨1求双曲线离心率或其范围的方法(1)直接法：由题设条件求出a，c，从而得e(2)等价转化法：由e或e等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e(3)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解解题时要特别注意几何特点，以简化运算2求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线1(a0，b0

17、)的渐近线的方法是令0，即得两渐近线方程0或确定焦点位置并求出或的值，从而写出渐近线方程注：如图f为双曲线1的焦点，l为渐近线；fhl，则|fh|b，|oh|a变式训练3(1)(角度1)(2021安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为yx，一个焦点f(2,0)，则该双曲线的虚轴长为(c)a1bc2d2(2)(角度2)(2021河南郑州一中期中)设p是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，若|pf1|3，则|pf2|的值为_7_(3)(角度3)(2021安徽皖南八校联考)已知双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线与圆(x2)2y21相切，则双曲线

18、c的离心率为(a)abc2d解析(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，一个焦点f(2,0)，所以a2b2c24，联立、可得：a23，b21，b1，从而2b2，该双曲线的虚轴长2，故选c(2)双曲线的渐近线方程yx，得a2，由于|pf1|3,2a4，由双曲线定义知|pf1|pf2|2a4，得|pf2|7(3)由题意可知圆心(2,0)到渐近线yx的距离为半径r1，即1，即3b2a2，又a2b2c2，则3(c2a2)a2，解得e故选a考点四直线与双曲线多维探究角度1直线与双曲线位置关系例6(2021唐山一中模拟)过点a(0,1)作直线，与双曲线x21有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为(c)a

19、0b2c4d无数解析通解：由题意可得直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为ykx1，代入双曲线方程整理得(9k2)x22kx100当k3时，方程有一解，直线与双曲线只有一个公共点；当k3时，由0解得k，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4条，选项c正确优解：由图形可知，过点a(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项c正确引申1本例中，若过点a的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为_(3,3)_引申2本例中，若将“a(0,1)”改为“a(1,0)”，则符合条件的直线有_3_条引申3本

20、例中，若将“a(0,1)”改为“a(2,0)”，则符合条件的直线有_2_条引申4本例中，过点a与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为_(3，)_解析设直线方程为ykx1，由得(9k2)x22kx100由4k240(9k2)0，得k，即k切结合图形可知3k注：或由求解引申5本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为_(，3)(3，)_名师点拨1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系求解，注意整体代入2有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的

21、斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷角度2弦的问题例7(1)(2021山东师大附中模拟)过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线a，b两点，则满足|ab|6的直线l有(b)a4条b3条c2条d1条(2)以a(2,1)为中点的双曲线c：2x2y22的弦所在直线的方程为_4xy70_解析(1)当直线l的倾斜角为90时，|ab|6；当直线l的倾斜角为0时，|ab|26故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|ab|6故选b(2)设弦的端点分别为m(x1，y1)，n(x2，y2)，则，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，又mn的中点为a(2,1)，即x1x2

22、4，y1y22，4(x1x2)y1y2，即kmn4，所求直线方程为y14(x2)，即4xy70名师点拨(1)“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验(2)弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长间关系的应用如本例(1)中双曲线实轴长为2，通径长为6，则满足|ab|m的直线当2m6时有2条；当m6时有4条；当m2时有1条；当0m2有0条变式训练4(1)如果直线ykx1与双曲线x2y24的右支有两个公共点，则k的取值范围是_(2)已知双曲线x21，过p(2,1)点作一直线交双曲线于a，b两点，并使p为ab的中点，则直线ab的方程为_6xy110_解析(1)

23、由得(1k2)x22kx50，由4k220(1k2)0得k，结合图形可知1k(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入双曲线方程3x2y23，相减得直线ab的斜率kab6故所求直线的方程为y16(x2)，即6xy110名师讲坛素养提升高考中的离心率问题例8(1)(2021广东六校联考)已知双曲线：1(a0，b0)的左焦点为f(，0)，点a的坐标为(0,2)，点p为双曲线右支上的动点，且apf周长的最小值为8，则双曲线的离心率为(d)abc2d(2)(2019全国)已知双曲线c：1(a0，b0)，过c的左焦点且垂直于x轴的直线交c于m，n两点，若以mn为直径的圆经过c的右焦点，则c的离心率

24、为(a)a1b2cd(3)(2021江西吉安五校联考)已知f1，f2是双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点p与点f2关于直线y对称，则该双曲线的离心率为(b)abcd2(4)(2021天津南开区期末)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，点m在双曲线的左支上，且|mf2|7|mf1|，则此双曲线离心率的最大值为(a)abc2d(5)(2021安徽省安庆一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为f，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(d)a(1,2)b(1,2c(2，)d2，)解析(1)由题易知双曲线的右焦点f1(，0)，即c，|af|3，点p为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知|pf|pf1|2a，|pf|pf1|2a，所以apf周长为：|af|ap|pf|af|ap|pf1|2a，当点a，p，f1共线时，周长最小，即|af|af1|2a8，解得a1，故离心率e，故选d(2)设双曲线c：1(a0，b0)的左焦点为f1，右焦点为f2，以mn为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，|f1m|f1f2|，2c，c2a22ac，e22e10，e1，e1，e1，