2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练五十九圆锥曲线中的最值问题课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练五十九圆锥曲线中的最值问题【基础落实练】（30分钟50分）一、选择题(每小题5分，共35分)1已知双曲线c：4y21(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线e：y22px的焦点与双曲线c的右焦点重合，则抛物线e上的动点m到直线l1：4x3y60和l2：x1距离之和的最小值为()a1b2c3d4【解析】选b.由双曲线方程4y21(a0)可得双曲线的右顶点为(a，0)，渐近线方程为yx，即x2ay0.因为双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，所以，解得a2，所以双曲线的方程为4y21，所以双曲线的右焦点为(1，0).又抛物线e：y22px的焦点与双曲线c的右焦点重合，所以p2，所

2、以抛物线的方程为y24x，焦点坐标为f(1，0).如图，设点m到直线l1的距离为|ma|，到直线l2的距离为|mb|，因为|mb|mf|，所以|ma|mb|ma|mf|，结合图形可得当a，m，f三点共线时，|ma|mb|ma|mf|最小，且最小值为点f到直线l1的距离d2.2已知f1，f2分别为椭圆c的两个焦点，p为椭圆上任意一点若的最大值为3，则椭圆c的离心率为()a b c d【解析】选b.p点到椭圆c的焦点的最大距离为ac，最小距离为ac，又的最大值为3，所以3，所以e.3过抛物线x2y的焦点f作两条互相垂直的弦ac，bd，则四边形abcd面积的最小值为()a3 b2 c1 d【解析】选

3、b.由题意可知，直线ac和bd的斜率都存在且不为0，设直线ac的斜率为k，则直线bd的斜率为，焦点f的坐标为，则直线ac的方程为ykx，联立得x2kx0，则x1x2k，x1x2，所以|ac|k21，同理可得|bd|1，所以s四边形abcd|ac|bd|(k21)1122，当且仅当，即k21时，等号成立，所以四边形abcd面积的最小值为2.4已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，准线为l，a，b是c上两动点，且afb(为常数)，线段ab中点为m，过点m作l的垂线，垂足为n，若的最小值为1，则()a b c d【解析】选c.如图，过点a，b分别作准线的垂线aq，bp，垂足分别是q，p.设|a

4、f|a，|bf|b，由抛物线定义得|af|aq|，|bf|bp|.在梯形abpq中，2|mn|aq|bp|ab.在afb中，由余弦定理得|ab|2a2b22ab cos .所以44422cos ，当且仅当，即ab时等号成立因为的最小值为1，所以22cos 1，解得cos ，所以.5已知双曲线c：1(a0，b0)的一条准线与抛物线y24x的准线重合，当取得最小值时，双曲线c的离心率为()a4bc2d【解析】选d.抛物线y24x的准线方程为x1，双曲线c：1(a0，b0)的准线方程为x，所以1，即a2c，所以c4，当且仅当c2时等号成立所以a2c2，解得a，所以双曲线的离心率为e.6设o为坐标原点

5、，p是以f为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，m是线段pf上的点，且|pm|3|mf|，则直线om的斜率的最大值是()a3 b c d【解析】选d.由题意可知点f，p0，设p(y00)，由|pm|3|mf|可得pf4mf，则mf，所以点m，所以ko m，当且仅当时等号成立7过抛物线y24x的焦点f作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于a，b和c，d两点，则|ab|cd|的最小值为()a16 b12 c8 d4【解析】选a.因为抛物线的焦点为f(1，0)，所以设直线ab的方程为yk(x1)，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由消去y并化简得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24

6、k416k2160，则x1x22，x1x21.所以|ab|x1x2p24.由于abcd，所以直线cd的斜率为，所以直线cd的方程为y(x1)，设c(x3，y3)，d(x4，y4)，可求得x3x424k2，所以|cd|x3x4p24k2244k2.所以|ab|cd|444k28216，当且仅当4k2k1时等号成立，所以|ab|cd|的最小值为16.二、填空题(每小题5分，共15分)8设e1，e2分别为具有公共焦点f1与f2的椭圆和双曲线的离心率，p为两曲线的一个公共点，且满足pf1pf20，则4ee的最小值为_【解析】设椭圆的半长轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2(a1a2)，它们的半焦距为c，

7、p为两曲线的一个公共点，不妨设|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|2a1，|pf1|pf2|2a2，所以|pf1|a1a2，|pf2|a1a2，又pf1pf20，所以pf1pf2，|pf1|2|pf2|2(2c)2，所以(a1a2)2(a1a2)2(2c)2，即2c2aa，所以2，即2，所以4ee(4ee)，当且仅当e2e时等号成立，所以4ee的最小值为.答案：【加练备选拔高】已知直线l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点a,b,点p在椭圆+y2=1上运动,则pab面积的最大值为.【解析】因为l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点a,b,所以a(3,0),b(0,3),因此|ab|=3,又点

8、p在椭圆+y2=1上运动,所以可设p(cos ,sin ),所以点p到直线l的距离为d=(其中tan )，所以spab|ab|d.答案：9已知抛物线c：yx2，点p(0，2)，a，b是抛物线上两个动点，点p到直线ab的距离为1.则|ab|的最小值为_【解析】设直线ab的方程为ykxm，则1，所以k21(m2)2.由得x2kxm0，所以x1x2k，x1x2m，所以|ab|2(1k2)(x1x2)24x1x2(1k2)(k24m)(m2)2(m23).记f(m)(m2)2(m23)，所以f(m)2(m2)(2m22m3)，又k21(m2)21，所以m1或m3，当m(，1时，f(m)0，f(m)单调

9、递减，当m3，)时，f(m)0，f(m)单调递增，又因为f(1)4，f(3)12，所以f(m)minf(1)4，所以|ab|min2.答案：210已知抛物线y22px(p0)的焦点f到准线l的距离为2，若点p在抛物线上，且点p到l的距离为d，q在圆x2(y3)21上，则p_，|pq|d的最小值为_【解析】因为抛物线y22px(p0)的焦点f到准线l的距离为2，所以p2，f(1，0)，准线l：x1，由抛物线的定义可知点p到l的距离d|pf|，所以|pq|d|pq|pf|，设圆x2(y3)21的圆心为c，则c(0，3)，圆的半径为1，|pq|pf|cf|111，当且仅当c，p，q，f共线时等号成立

10、，所以|pq|d的最小值为1.答案：21【素养提升练】（25分钟35分）1已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点m在双曲线左支上，点n为圆e：x2(y)21上一点，则|mn|mf2|的最小值为()a8 b9 c10 d11【解析】选b.由题意可得2a6，即a3，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为f1(，0)，f2(，0)，由双曲线的定义可得|mf2|2a|mf1|6|mf1|，由圆e：x2(y)21可得e(0，)，半径r1，|mn|mf2|6|mn|mf1|，连接ef1，交双曲线于m，交圆于n，可得|mn|mf

11、1|取得最小值，且|ef1|4，则|mn|mf2|的最小值为6419.2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a2 b3 c d【解析】选a.直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，p到l2的距离等于p到抛物线的焦点f(1，0)的距离，故本题转化为在抛物线y24x上找一个点p，使得p到点f(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为f(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2.3.如图，已知抛物线c1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3，6)，圆c2：x2y26x80，过圆心c2的直线l与

12、抛物线和圆分别交于p，q，m，n，则|pn|3|qm|的最小值为_【解析】由题意，抛物线过点(3，6)，得抛物线方程y212x，设焦点为f(3，0)，圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心为(3，0)，与抛物线焦点重合半径r1.由于直线过焦点，所以有，又|pn|3|qm|(|pf|1)(3|qf|3)|pf|3|qf|43(|pf|3|qf|)434166.当且仅当|pf|qf|时取等号答案：1664已知椭圆c：1(ab0)的四个顶点组成的四边形的面积为2，且椭圆c经过点.(1)求椭圆c的方程；(2)若椭圆c的下顶点为p，如图所示，点m为直线x2上的一个动点，过椭圆c的右焦点f的直线l垂直于

13、om，且与椭圆c交于a，b两点，与om交于点n，设四边形ambo和onp的面积分别为s1，s2，求s1s2的最大值【解析】(1)因为在椭圆c上，所以1，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2，所以2a2b2，ab，解得a22，b21，所以椭圆c的方程为y21.(2)由(1)可知f(1，0)，设m(2，t)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则当t0时，om：yx，所以kab，直线ab的方程为y(x1)，即2xty20(t0)，由得(8t2)x216x82t20，则(16)24(8t2)(82t2)8(t44t2)0，x1x2，x1x2，所以|ab|.又om，所以s1omab.由得xn，所以

14、s21，所以s1s2，当t0时，直线l：x1，ab，s12，s211，s1s2，所以当t0时，(s1s2)max.5.(10分)已知椭圆c:+=1(ab0)过点m(2,3),点a为其左顶点,且am的斜率为.(1)求c的方程;(2)点n为c上一动点,求amn的面积的最大值.【解析】(1)由题意,点a的坐标为a(-a,0),所以kam=,解得a=4,因为点m(2,3)在椭圆c上,所以+=1,解得b2=12,所以椭圆c的方程为+=1.(2)由题意,直线am的方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0,因为点n在椭圆c上,所以设n(4cos ,2sin ),0,2),设点n到直线am的距离为d,所以

15、d=|sin -cos -1|=,因为|am|=3,所以samn=|am|d=3=6,因为0,2),所以2sin-1-3,1,所以0,3,所以当=3时,(samn)max=63=18.【加练备选拔高】在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆c:+=1(ab0)的离心率为,左、右焦点分别为f1,f2,以f1为圆心以3为半径的圆与以f2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆c上.(1)求椭圆c的方程.(2)设椭圆e：1，p为椭圆c上任意一点，过点p的直线ykxm交椭圆e于a，b两点，射线po交椭圆e于点q.()求的值；()求abq面积的最大值【解析】(1)因为两圆的公共点在椭圆c上，所以2a314，a2.又因为椭圆c的离心率为e，所以c，b2a2c21.即椭圆c的方程为y21.(2)()由(1)知，椭圆e：1.设p(x0，y0)是椭圆c上任意一点，则x4y4.直线op：yx与椭圆e：1联立消y得x2(1)16，即x24x，所以q(2x0，2y0).即2.() 因为点p(x0，y0)在直线ykxm上，所以y0kx0m，点q(2x0，2y0)到直线ykxm的距离为d.将ykxm